- ลักษณะเฉพาะ
- วิธีการตามหลักโบราณหรือเนื้อหา
- วิธีสัจพจน์ที่ไม่ใช่แบบยุคลิด
- วิธีการสัจพจน์สมัยใหม่หรือเป็นทางการ
- ขั้นตอน
- ตัวอย่าง
- อ้างอิง
วิธีจริงหรือที่เรียกว่า Axiomatics เป็นขั้นตอนอย่างเป็นทางการใช้โดยวิทยาศาสตร์โดยวิธีการซึ่งงบหรือข้อเสนอที่เรียกว่าหลักการเป็นสูตรที่เชื่อมต่อกับแต่ละอื่น ๆ โดยความสัมพันธ์ของการลดหย่อนและที่เป็นพื้นฐานของสมมติฐานหรือเงื่อนไขของระบบบางอย่าง
คำจำกัดความทั่วไปนี้ต้องอยู่ในกรอบของวิวัฒนาการที่วิธีการนี้มีมาตลอดประวัติศาสตร์ ในตอนแรกมีวิธีการแบบโบราณหรือเนื้อหาเกิดในกรีกโบราณจากยุคลิดและพัฒนาต่อมาโดยอริสโตเติล
ประการที่สองในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 ลักษณะของรูปทรงเรขาคณิตที่มีสัจพจน์แตกต่างจากยุคลิด และในที่สุดวิธีการตามจริงที่เป็นทางการหรือสมัยใหม่ซึ่งมีเลขชี้กำลังมากที่สุดคือเดวิดฮิลเบิร์ต
นอกเหนือจากการพัฒนาเมื่อเวลาผ่านไปขั้นตอนนี้ยังเป็นพื้นฐานของวิธีการนิรนัยซึ่งถูกใช้ในรูปทรงเรขาคณิตและตรรกะที่กำเนิด นอกจากนี้ยังถูกนำมาใช้ในฟิสิกส์เคมีและชีววิทยา
และยังถูกนำไปใช้ในวิทยาศาสตร์ทางกฎหมายสังคมวิทยาและเศรษฐศาสตร์การเมือง อย่างไรก็ตามปัจจุบันขอบเขตของการประยุกต์ใช้ที่สำคัญที่สุดคือคณิตศาสตร์และตรรกะเชิงสัญลักษณ์และสาขาฟิสิกส์บางสาขาเช่นอุณหพลศาสตร์กลศาสตร์และสาขาวิชาอื่น ๆ
ลักษณะเฉพาะ
แม้ว่าลักษณะพื้นฐานของวิธีนี้คือการกำหนดสัจพจน์ แต่สิ่งเหล่านี้ไม่ได้รับการพิจารณาในลักษณะเดียวกันเสมอไป
มีบางอย่างที่สามารถกำหนดและสร้างขึ้นโดยพลการ และอื่น ๆ ตามแบบจำลองที่มีการพิจารณาความจริงที่รับประกันโดยสังหรณ์ใจ
เพื่อที่จะเข้าใจโดยเฉพาะว่าความแตกต่างนี้และผลที่ตามมาประกอบด้วยอะไรจึงจำเป็นต้องผ่านวิวัฒนาการของวิธีนี้
วิธีการตามหลักโบราณหรือเนื้อหา
เป็นสิ่งที่ก่อตั้งขึ้นในกรีกโบราณในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราชขอบเขตของการประยุกต์ใช้คือรูปทรงเรขาคณิต งานพื้นฐานของขั้นตอนนี้คือองค์ประกอบของยุคลิดแม้ว่าจะมีการพิจารณาว่าก่อนหน้าเขา Pythagoras ได้ให้กำเนิดวิธีการสัจพจน์แล้ว
ดังนั้นชาวกรีกจึงถือเอาข้อเท็จจริงบางประการเป็นสัจพจน์โดยไม่ต้องมีการพิสูจน์เชิงตรรกะใด ๆ นั่นคือโดยไม่จำเป็นต้องมีการพิสูจน์เนื่องจากพวกเขาเป็นความจริงที่ชัดเจนในตัวเอง
ในส่วนของเขา Euclid นำเสนอสัจพจน์ห้าประการสำหรับเรขาคณิต:
1- ให้สองจุดมีบรรทัดที่มีหรือรวมเข้าด้วยกัน
2- ส่วนใด ๆ สามารถขยายได้อย่างต่อเนื่องในไม่ จำกัด บรรทัดทั้งสองด้าน
3- คุณสามารถวาดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดใดก็ได้และรัศมีใดก็ได้
4- มุมฉากเหมือนกันทั้งหมด
5- ถ่ายเส้นตรงและจุดใด ๆ ที่ไม่ได้อยู่ในนั้นมีเส้นตรงขนานกับมันและมีจุดนั้นอยู่ สัจพจน์นี้เป็นที่รู้จักกันในภายหลังว่าเป็นสัจพจน์ของแนวขนานและยังได้รับการตีแผ่เป็น: เส้นขนานเดียวสามารถลากจากจุดที่อยู่นอกเส้นได้
อย่างไรก็ตามทั้งในยุคลิดและนักคณิตศาสตร์รุ่นหลังต่างเห็นพ้องกันว่าสัจพจน์ที่ 5 นั้นไม่ชัดเจนโดยสังหรณ์ใจเหมือนกับข้อ 4 อื่น ๆ แม้ในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาการพยายามที่จะอนุมานที่ห้าจากอีก 4 คน แต่ก็เป็นไปไม่ได้
สิ่งนี้ทำให้ในศตวรรษที่ XIX ผู้ที่ดูแลทั้งห้าคนนี้นิยมใช้เรขาคณิตแบบยุคลิดและผู้ที่ปฏิเสธข้อที่ห้าคือผู้ที่สร้างรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด
วิธีสัจพจน์ที่ไม่ใช่แบบยุคลิด
มันคือ Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai และ Johann Karl Friedrich Gauss ที่มองเห็นความเป็นไปได้ในการสร้างโดยไม่มีความขัดแย้งเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มาจากระบบสัจพจน์อื่นที่ไม่ใช่ยุคลิด สิ่งนี้ทำลายความเชื่อในสัจจะสัมบูรณ์หรือพื้นฐานของสัจพจน์และทฤษฎีที่สืบเนื่องมาจากพวกเขา
ดังนั้นสัจพจน์จึงเริ่มถูกมองว่าเป็นจุดเริ่มต้นของทฤษฎีที่กำหนด ทั้งทางเลือกของเขาและปัญหาของความถูกต้องในแง่ใดแง่หนึ่งก็เริ่มมีความเกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่อยู่นอกทฤษฎีสัจพจน์
ด้วยวิธีนี้ทฤษฎีทางเรขาคณิตพีชคณิตและเลขคณิตจึงปรากฏขึ้นโดยใช้วิธีเชิงสัจพจน์
ขั้นตอนนี้จะสิ้นสุดในการสร้างระบบสัจพจน์สำหรับเลขคณิตเช่นเดียวกับจูเซปเปพีอาโนในปี พ.ศ. 2434 รูปทรงเรขาคณิตของ David Hubert ในปีพ. ศ. 2442 ข้อความและการคำนวณเพรดิเคตของ Alfred North Whitehead และ Bertrand Russell ในอังกฤษในปี 2453 ทฤษฎีสัจพจน์ของ Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo ในปี 1908
วิธีการสัจพจน์สมัยใหม่หรือเป็นทางการ
เดวิดฮิวเบิร์ตเป็นผู้ริเริ่มแนวคิดเกี่ยวกับวิธีการสัจพจน์อย่างเป็นทางการและนั่นนำไปสู่จุดสุดยอดเดวิดฮิลเบิร์ต
ฮิลเบิร์ตเป็นผู้กำหนดภาษาวิทยาศาสตร์อย่างเป็นทางการโดยพิจารณาว่าข้อความนั้นเป็นสูตรหรือลำดับสัญญาณที่ไม่มีความหมายในตัวเอง พวกเขาได้รับความหมายในการตีความบางอย่างเท่านั้น
ใน "ฐานรากของรูปทรงเรขาคณิต" เขาอธิบายตัวอย่างแรกของวิธีการนี้ จากนี้ไปเรขาคณิตกลายเป็นศาสตร์แห่งผลลัพธ์เชิงตรรกะที่บริสุทธิ์ซึ่งสกัดมาจากระบบของสมมติฐานหรือสัจพจน์ซึ่งดีกว่าระบบยูคลิด
เนื่องจากในระบบโบราณทฤษฎีสัจพจน์ตั้งอยู่บนหลักฐานของสัจพจน์ ในขณะที่อยู่ในรากฐานของทฤษฎีที่เป็นทางการมันได้รับจากการสาธิตความไม่ขัดแย้งของสัจพจน์
ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ดำเนินการจัดโครงสร้างตามความเป็นจริงภายในทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ยอมรับว่า:
ก - ทางเลือกของสัจพจน์จำนวนหนึ่งนั่นคือข้อเสนอจำนวนหนึ่งของทฤษฎีหนึ่งที่ได้รับการยอมรับโดยไม่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์
b- แนวคิดที่เป็นส่วนหนึ่งของข้อเสนอเหล่านี้ไม่ได้ถูกกำหนดภายในกรอบของทฤษฎีที่กำหนด
c- กฎของการนิยามและการหักล้างของทฤษฎีที่กำหนดได้รับการตั้งค่าและอนุญาตให้มีการนำแนวคิดใหม่ ๆ ภายในทฤษฎีมาใช้และสรุปข้อเสนอบางส่วนจากผู้อื่นอย่างมีเหตุผล
d- ข้อเสนออื่น ๆ ของทฤษฎีนั่นคือทฤษฎีบทนั้นอนุมานได้จากพื้นฐานของ c
ตัวอย่าง
วิธีนี้สามารถตรวจสอบได้โดยการพิสูจน์ทฤษฎีบทยูคลิดที่รู้จักกันดีสองประการคือทฤษฎีบทขาและทฤษฎีบทความสูง
ทั้งสองอย่างเกิดขึ้นจากการสังเกตของมาตรวัดทางภูมิศาสตร์ของกรีกที่ว่าเมื่อความสูงที่เกี่ยวกับด้านตรงข้ามมุมฉากถูกพล็อตภายในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีสามเหลี่ยมอีกสองรูปของต้นฉบับปรากฏขึ้น สามเหลี่ยมเหล่านี้มีลักษณะคล้ายกันและในเวลาเดียวกันก็คล้ายกับสามเหลี่ยมต้นกำเนิด สิ่งนี้ถือว่าด้านที่คล้ายคลึงกันตามลำดับเป็นสัดส่วน
จะเห็นได้ว่ามุมที่สอดคล้องกันในรูปสามเหลี่ยมด้วยวิธีนี้จะตรวจสอบความคล้ายคลึงกันที่มีอยู่ระหว่างสามเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องทั้งสามตามเกณฑ์ความคล้ายคลึงกันของ AAA เกณฑ์นี้ถือได้ว่าเมื่อสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมเท่ากันทั้งหมดจะมีความคล้ายคลึงกัน
เมื่อแสดงให้เห็นว่ารูปสามเหลี่ยมมีความคล้ายคลึงกันสามารถกำหนดสัดส่วนที่ระบุไว้ในทฤษฎีบทแรกได้ คำสั่งเดียวกันกับในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากการวัดของแต่ละขาคือค่าเฉลี่ยสัดส่วนทางเรขาคณิตระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากและการฉายของขาที่อยู่บนขา
ทฤษฎีบทที่สองคือความสูง ระบุว่าสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ที่มีความสูงที่วาดตามด้านตรงข้ามมุมฉากคือค่าเฉลี่ยสัดส่วนทางเรขาคณิตระหว่างส่วนต่างๆที่กำหนดโดยค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตดังกล่าวในด้านตรงข้ามมุมฉาก
แน่นอนทฤษฎีทั้งสองมีการประยุกต์ใช้มากมายทั่วโลกไม่เพียง แต่ในการเรียนการสอน แต่ยังรวมถึงวิศวกรรมฟิสิกส์เคมีและดาราศาสตร์ด้วย
อ้างอิง
- Giovannini, Eduardo N. (2014) เรขาคณิตพิธีการและสัญชาตญาณ: David Hilbert และวิธีสัจพจน์อย่างเป็นทางการ (1895-1905) Revista de Filosofía, Vol. 39 No. 2, pp.121-146. นำมาจาก magazine.ucm.es.
- ฮิลเบิร์ตเดวิด (2461) ความคิดที่เป็นจริง ใน W. Ewald บรรณาธิการจาก Kant ถึง Hilbert: หนังสือแหล่งที่มาในรากฐานของคณิตศาสตร์ เล่ม II, หน้า 1105-1114 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด 2548 ก.
- Hintikka, Jaako. (2009) วิธีสัจพจน์คืออะไร? Synthese พฤศจิกายน 2554 เล่ม 189 หน้า 69-85 นำมาจาก link.springer.com.
- LópezHernández, José (2005) บทนำสู่ปรัชญากฎหมายร่วมสมัย. (pp.48-49) นำมาจาก books.google.com.ar
- Nirenberg, Ricardo (1996) The Axiomatic Method, การอ่านโดย Ricardo Nirenberg, Fall 1996, the University at Albany, Project Renaissance นำมาจาก Albany.edu.
- เวนตูรี, จอร์จิโอ (2015) ฮิลเบิร์ตระหว่างคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการและไม่เป็นทางการ. ต้นฉบับเล่ม 38 เลขที่ 2, Campinas กรกฎาคม / Augusto 2015 นำมาจาก scielo.br.