ทฤษฎีบทของนอร์ตัน: คำอธิบายการใช้งานตัวอย่างและแบบฝึกหัด - กายภาพ - 2025

ทฤษฎีบทนอร์ตันนำไปใช้กับวงจรไฟฟ้า, ชุดวงจรเชิงเส้นที่มีสองขั้ว และ ขสามารถแทนที่ด้วยอีกเทียบเท่าอย่างเต็มที่ซึ่งประกอบด้วยแหล่งปัจจุบันผมเรียก_{ไม่ได้}เชื่อมต่อในแบบคู่ขนานกับความต้านทาน R ไม่มี

บอกว่ากระแส I _{ไม่ใช่}หรือ I _Nคือจุดที่จะไหลระหว่างจุด a และ b ถ้ามันลัดวงจร ความต้านทาน R _Nคือความต้านทานเทียบเท่าระหว่างขั้วเมื่อแหล่งที่มาอิสระทั้งหมดปิดลง สิ่งที่กล่าวมาทั้งหมดได้ระบุไว้ในรูปที่ 1

รูปที่ 1. วงจรเทียบเท่า Norton ที่มา: Wikimedia Commons ดรัมกิด

กล่องดำในรูปประกอบด้วยวงจรเชิงเส้นที่จะถูกแทนที่ด้วย Norton ที่เทียบเท่า วงจรเชิงเส้นคือวงจรที่อินพุตและเอาต์พุตมีการพึ่งพาเชิงเส้นเช่นความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันไฟฟ้า V และกระแสตรง I ในองค์ประกอบโอห์มมิก: V = IR

นิพจน์นี้สอดคล้องกับกฎของโอห์มโดยที่ R คือความต้านทานซึ่งอาจเป็นอิมพีแดนซ์ได้เช่นกันหากเป็นวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ

ทฤษฎีบทของนอร์ตันได้รับการพัฒนาโดยวิศวกรไฟฟ้าและนักประดิษฐ์ Edward L. Norton (1898-1983) ซึ่งทำงานให้กับ Bell Labs มาเป็นเวลานาน

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของนอร์ตัน

เมื่อคุณมีเครือข่ายที่ซับซ้อนมากโดยมีความต้านทานหรืออิมพีแดนซ์จำนวนมากและคุณต้องการคำนวณแรงดันไฟฟ้าระหว่างใด ๆ หรือกระแสที่ไหลผ่านทฤษฎีบทของ Norton จะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นเนื่องจากอย่างที่เราเห็นเครือข่ายสามารถถูกแทนที่ได้ด้วย วงจรขนาดเล็กและจัดการได้มากขึ้น

ด้วยวิธีนี้ทฤษฎีบทของ Norton จึงมีความสำคัญมากในการออกแบบวงจรที่มีองค์ประกอบหลายอย่างรวมทั้งศึกษาการตอบสนองของพวกมัน

ความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎี Norton และ Thevenin

ทฤษฎีบทของนอร์ตันเป็นทฤษฎีบทคู่ของ Thevenin ซึ่งหมายความว่าเทียบเท่ากัน เทเวอแน็ฯ ทฤษฎีบทว่ากล่องดำในรูปที่ 1 จะถูกแทนที่ด้วยแหล่งที่มาของแรงดันไฟฟ้าในซีรีส์ที่มีความต้านทานที่เรียกว่าเทเวอแน็ต้านทาน R Th สิ่งนี้แสดงในรูปต่อไปนี้:

รูปที่ 2. วงจรดั้งเดิมทางด้านซ้ายและเทียบเท่ากับThéveninและ Norton ที่มา: F. Zapata

วงจรทางด้านซ้ายคือวงจรดั้งเดิมเครือข่ายเชิงเส้นในกล่องดำวงจร A ที่ด้านบนขวาเท่ากับ Thevenin และวงจร B เทียบเท่า Norton ตามที่อธิบายไว้ เมื่อมองจากขั้ว a และ b วงจรทั้งสามจะเท่ากัน

ตอนนี้โปรดทราบว่า:

-in วงจรเดิมแรงดันไฟฟ้าระหว่างขั้วคือ V AB

-V _ab = V _Thในวงจร A

- สุดท้าย V _ab = I _N .R _Nในวงจร B

หากขั้ว a และ b ลัดวงจรในทั้งสามวงจรจะต้องพึงพอใจว่าแรงดันและกระแสระหว่างจุดเหล่านี้ต้องเท่ากันทั้งสามจุดเนื่องจากมีค่าเท่ากัน ดังนั้น:

- ในวงจรเดิมกระแสคือ i.

- สำหรับวงจร A กระแสคือ i = V _Th / R _Thตามกฎของโอห์ม

- สุดท้ายในวงจร B กระแสคือ I _N

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าค่าความต้านทานของ Norton และ Thevenin มีค่าเท่ากันและให้กระแสโดย:

ฉัน = ฉัน_N = V _Th / R _Th = V _Th / R _N

ตัวอย่าง

ในการใช้ทฤษฎีบทของนอร์ตันอย่างถูกต้องให้ปฏิบัติตามขั้นตอนต่อไปนี้:

- แยกออกจากเครือข่ายส่วนของวงจรที่จะพบ Norton เทียบเท่า

- ในวงจรที่เหลือระบุขั้ว a และ b

- แทนแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าสำหรับการลัดวงจรและแหล่งกระแสสำหรับวงจรเปิดเพื่อค้นหาความต้านทานที่เท่ากันระหว่างขั้ว a และ b นี่คือ R N

- คืนแหล่งที่มาทั้งหมดไปยังตำแหน่งเดิมลัดวงจรขั้วและค้นหากระแสที่ไหลเวียนระหว่างพวกเขา นี้คือผมยังไม่มี

- วาดวงจรเทียบเท่า Norton ตามที่ระบุไว้ในรูปที่ 1 ทั้งแหล่งกระแสและความต้านทานเทียบเท่าจะขนานกัน

ทฤษฎีบทของ Thevenin สามารถนำไปใช้ในการหา R _Thซึ่งเรารู้อยู่แล้วว่าเท่ากับ R _Nจากนั้นตามกฎของโอห์มเราจะพบ I _Nและดำเนินการวาดวงจรผลลัพธ์

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่าง:

ค้นหา Norton ที่เทียบเท่าระหว่างจุด A และ B ของวงจรต่อไปนี้:

รูปที่ 3. ตัวอย่างวงจร ที่มา: F. Zapata

ส่วนของวงจรที่มีค่าเทียบเท่าจะถูกแยกออกไปแล้ว และจุด A และ B ถูกกำหนดอย่างชัดเจน ต่อไปนี้คือการลัดวงจรแหล่งกำเนิด 10 V และค้นหาความต้านทานที่เท่ากันของวงจรที่ได้รับ:

รูปที่ 4. แหล่งกำเนิดไฟฟ้าลัดวงจร ที่มา: F. Zapata

เมื่อมองจากขั้ว A และ B ตัวต้านทานทั้งสอง R ₁และ R ₂จะขนานกันดังนั้น:

1 / R _eq = 1 / R ₁₂ = (1/4) + (1/6) Ω ^-1 = 5/12 Ω ^-1 → R _eq = 12/5 Ω = 2.4 Ω

แล้วแหล่งที่มากลับมาอยู่ในสถานที่และจุด A และ B จะ shorted เพื่อหาปัจจุบันที่ไหลมีนี้เราจะไม่มี ในกรณีนั้น:

รูปที่ 5. วงจรคำนวณกระแส Norton ที่มา: F. Zapata

ฉัน_N = 10 V / 4 Ω = 2.5 A

เทียบเท่า Norton

ในที่สุดค่าที่เทียบเท่ากับ Norton จะถูกวาดด้วยค่าที่พบ:

รูปที่ 6. Norton เทียบเท่ากับวงจรในรูปที่ 3 ที่มา: F. Zapata

การออกกำลังกายได้รับการแก้ไข

ในวงจรของรูปต่อไปนี้:

รูปที่ 7. วงจรสำหรับการออกกำลังกายที่ได้รับการแก้ไข ที่มา: Alexander, C. 2006. พื้นฐานของวงจรไฟฟ้า. วันที่ 3. ฉบับ Mc Graw Hill

a) ค้นหาวงจรเทียบเท่า Norton ของเครือข่ายภายนอกกับตัวต้านทานสีน้ำเงิน

b) ค้นหาเทียบเท่าThéveninด้วย

วิธีแก้ปัญหา

ทำตามขั้นตอนที่ระบุไว้ข้างต้นแหล่งที่มาจะต้องลัดวงจร:

รูปที่ 8. แหล่งกำเนิดไฟฟ้าลัดวงจรในวงจรของรูปที่ 7 ที่มา: F. Zapata

การคำนวณ RN

เมื่อมองจากขั้ว A และ B ตัวต้านทาน R ₃อยู่ในอนุกรมกับขนานที่สร้างขึ้นโดยตัวต้านทาน R ₁และ R ₂ก่อนอื่นเรามาคำนวณความต้านทานที่เท่ากันของคู่ขนานนี้:

จากนั้นขนานนี้อยู่ในอนุกรมกับ R ₃ดังนั้นความต้านทานที่เท่ากันคือ:

นี่คือค่าของทั้ง R _Nและ R _Thตามที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้

ในการคำนวณ

จากนั้นเทอร์มินัล A และ B จะลัดวงจรโดยส่งคืนแหล่งที่มาไปยังตำแหน่ง:

รูปที่ 9. วงจรเพื่อค้นหากระแส Norton ที่มา: F. Zapata

กระแสที่ผ่าน I ₃คือ I _{N ที่}ค้นหาในปัจจุบันซึ่งสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีตาข่ายหรือใช้อนุกรมและขนาน ในวงจรนี้ R ₂และ R ₃จะขนานกัน:

ตัวต้านทาน R ₁อยู่ในอนุกรมกับขนานนี้จากนั้น:

กระแสที่ออกจากแหล่งกำเนิด (สีฟ้า) คำนวณโดยใช้กฎของโอห์ม:

ปัจจุบันนี้จะแบ่งออกเป็นสองส่วนหนึ่งที่ผ่าน R ₂และอื่น ๆ ที่ผ่าน R 3 อย่างไรก็ตามกระแสที่ผ่านแบบขนาน R ₂₃จะเหมือนกับที่ผ่าน R ₁ดังที่เห็นได้จากวงจรกลางในรูป แรงดันไฟฟ้ามี:

ตัวต้านทานทั้งสอง R ₂และ R ₃อยู่ที่แรงดันไฟฟ้านั้นเนื่องจากอยู่ในแนวขนานดังนั้น:

เรามีการค้นหาปัจจุบันของ Norton อยู่แล้วเนื่องจากก่อนหน้านี้กล่าวว่า I ₃ = I _Nดังนั้น:

เทียบเท่า Norton

ทุกอย่างพร้อมที่จะวาด Norton เทียบเท่ากับวงจรนี้ระหว่างจุด A และ B:

รูปที่ 10. Norton เทียบเท่ากับวงจรในรูปที่ 7 ที่มา: F. Zapata

แนวทางแก้ไข b

การหาค่าเทียบเท่าThéveninนั้นง่ายมากเนื่องจาก R _Th = R _N = 6 Ωและตามที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้านี้:

V _Th = ฉันN R _N = 1 ก. 6 Ω = 6 โวลต์

วงจรเทียบเท่าThéveninคือ:

รูปที่ 11. Thevenin เทียบเท่ากับวงจรในรูปที่ 7 ที่มา: F. Zapata

อ้างอิง

1. Alexander, C. 2006. พื้นฐานของวงจรไฟฟ้า. วันที่ 3. ฉบับ Mc Graw Hill
2. Boylestad, R. 2011. การวิเคราะห์วงจรเบื้องต้น. ครั้งที่ 2 ฉบับ เพียร์สัน
3. Dorf, R. 2006. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้า. วันที่ 7. ฉบับ John Wiley & Sons
4. Edminister, J. 1996. วงจรไฟฟ้า. ซีรีส์ Schaum วันที่ 3. ฉบับ Mc Graw Hill
5. วิกิพีเดีย ทฤษฎีบทของนอร์ตัน สืบค้นจาก: es.wikipedia.org.