เวกเตอร์กรรมการ: สมการของเส้นแบบฝึกหัดที่แก้ไขได้ - กายภาพ - 2025

เวกเตอร์ไดเรกเตอร์เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นสิ่งที่กำหนดทิศทางของเส้นไม่ว่าจะในระนาบหรือในอวกาศ ดังนั้นเวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นจึงถือได้ว่าเป็นเวกเตอร์กำกับของมัน

สิ่งนี้เป็นไปได้ด้วยสัจพจน์ของเรขาคณิตแบบยูคลิดที่บอกว่าจุดสองจุดกำหนดเส้น จากนั้นส่วนที่มุ่งเน้นที่เกิดจากสองจุดนี้ยังกำหนดเวกเตอร์กรรมการของเส้นดังกล่าว

รูปที่ 1. เวกเตอร์กรรมการของเส้น (ความประณีตของตัวเอง)

กำหนดจุด P ที่เป็นของเส้น (L) และกำหนดเวกเตอร์กรรมการuของเส้นนั้นเส้นจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์

สมการของเส้นและเวกเตอร์กรรมการ

รูปที่ 2. สมการของเส้นและเวกเตอร์กรรมการ (ความประณีตของตัวเอง)

กำหนดจุด P ของพิกัด P: (Xo, I) และเวกเตอร์uไดเร็กทอรีของเส้น (L) ทุกจุด Q ของพิกัด Q: (X, Y) ต้องเป็นไปตามที่เวกเตอร์ PQ ขนานกับ u เงื่อนไขสุดท้ายนี้รับประกันได้หากPQเป็นสัดส่วนกับu :

PQ = t⋅ u

ในนิพจน์ด้านบน t คือพารามิเตอร์ที่เป็นของจำนวนจริง

หากเขียนส่วนประกอบคาร์ทีเซียนของPQและuสมการข้างต้นจะเขียนได้ดังนี้:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

หากองค์ประกอบของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ถูกทำให้เท่ากันจะได้คู่สมการต่อไปนี้:

X - Xo = a⋅ty Y - ฉัน = b⋅t

สมการเชิงพาราเมตริกของเส้น

พิกัด X และ Y ของจุดที่อยู่ในเส้น (L) ที่ผ่านจุดพิกัด (Xo, Yo) และขนานกับเวกเตอร์กรรมการ u = (a, b) ถูกกำหนดโดยการกำหนดค่าจริงให้กับพารามิเตอร์ตัวแปร t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

ตัวอย่าง 1

เพื่อแสดงความหมายของสมการพาราเมตริกของเส้นเราใช้เป็นเวกเตอร์กำกับ

คุณ = (a, b) = (2, -1)

และเป็นจุดที่รู้จักกันของเส้นคือจุด

P = (Xo, I) = (1, 5)

สมการพาราเมตริกของเส้นคือ:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

เพื่อแสดงความหมายของสมการนี้รูปที่ 3 จะแสดงโดยที่พารามิเตอร์ t เปลี่ยนค่าและจุด Q ของพิกัด (X, Y) รับตำแหน่งต่างกันบนเส้น

รูปที่ 3. PQ = t u. (ความประณีตของตัวเอง)

เส้นในรูปแบบเวกเตอร์

เมื่อกำหนดจุด P บนเส้นและเวกเตอร์ผู้กำกับ u สมการของเส้นสามารถเขียนในรูปแบบเวกเตอร์:

OQ = OP + λ⋅ u

ในสมการข้างต้น Q คือจุดใด ๆ แต่เป็นของเส้นตรงและλคือจำนวนจริง

สมการเวกเตอร์ของเส้นสามารถใช้ได้กับมิติข้อมูลจำนวนเท่าใดก็ได้แม้กระทั่งเส้นไฮเปอร์ไลน์ก็สามารถกำหนดได้

ในกรณีสามมิติสำหรับเวกเตอร์กรรมการu = (a, b, c) และจุด P = (Xo, Yo, Zo) พิกัดของจุดทั่วไป Q = (X, Y, Z) ที่อยู่ในเส้นคือ :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

ตัวอย่าง 2

พิจารณาเส้นที่มีเป็นเวกเตอร์กำกับอีกครั้ง

คุณ = (a, b) = (2, -1)

และเป็นจุดที่รู้จักกันของเส้นคือจุด

P = (Xo, I) = (1, 5)

สมการเวกเตอร์ของเส้นดังกล่าวคือ:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

รูปแบบต่อเนื่องของเส้นและเวกเตอร์กรรมการ

เริ่มจากรูปแบบพาราเมตริกการล้างและการกำหนดพารามิเตอร์λเรามี:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

นี่คือรูปแบบสมมาตรของสมการของเส้นตรง สังเกตว่า a, b และ c เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์กรรมการ

ตัวอย่างที่ 3

พิจารณาเส้นที่มีเป็นเวกเตอร์กำกับ

คุณ = (a, b) = (2, -1)

และเป็นจุดที่รู้จักกันของเส้นคือจุด

P = (Xo, I) = (1, 5) ค้นหารูปร่างสมมาตร

รูปแบบสมมาตรหรือต่อเนื่องของเส้นคือ:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

รูปแบบทั่วไปของสมการของเส้น

รูปแบบทั่วไปของเส้นในระนาบ XY เรียกว่าสมการที่มีโครงสร้างดังนี้

A⋅X + B⋅Y = C

นิพจน์สำหรับรูปแบบสมมาตรสามารถเขียนใหม่ให้มีรูปแบบทั่วไป:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

เปรียบเทียบกับรูปร่างทั่วไปของเส้นคือ:

A = b, B = -a และ C = b⋅Xo - a⋅Yo

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหารูปแบบทั่วไปของเส้นที่มีเวกเตอร์กรรมการคือ u = (2, -1)

และผ่านจุด P = (1, 5)

ในการค้นหารูปแบบทั่วไปเราสามารถใช้สูตรที่กำหนดได้อย่างไรก็ตามจะเลือกเส้นทางอื่น

เราเริ่มต้นด้วยการหาเวกเตอร์คู่ w ของเวกเตอร์กรรมการ u ซึ่งกำหนดเป็นเวกเตอร์ที่ได้จากการแลกเปลี่ยนส่วนประกอบของ u และคูณวินาทีด้วย -1:

w = (-1, -2)

เวกเตอร์คู่Wสอดคล้องกับการหมุน 90 °ตามเข็มนาฬิกาของกรรมการเวกเตอร์โวลต์

เราคูณwด้วย (X, Y) และด้วย (Xo, Yo) และตั้งค่าให้เท่ากับ:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

เหลือในที่สุด:

X + 2Y = 11

รูปแบบมาตรฐานของสมการของเส้น

เป็นที่รู้จักกันในชื่อรูปแบบมาตรฐานของเส้นในระนาบ XY ซึ่งมีโครงสร้างดังนี้

Y = m⋅X + d

โดยที่ m แสดงถึงความชันและ d จุดตัดกับแกน Y

กำหนดเวกเตอร์ทิศทาง u = (a, b) ความชัน m คือ b / a

Y d หาได้จากการแทนที่ X และ Y สำหรับจุดที่ทราบ Xo, I:

ฉัน = (b / a) Xo + d

ในระยะสั้น m = b / a และ d = I - (b / a) Xo

โปรดสังเกตว่าความชัน m คือผลหารระหว่างองค์ประกอบ y ของเวกเตอร์ไดเรกเตอร์และส่วนประกอบ x ของมัน

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหารูปแบบมาตรฐานของเส้นที่มีเวกเตอร์กรรมการคือ u = (2, -1)

และผ่านจุด P = (1, 5)

m = -½และ d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- การออกกำลังกาย 1

หาเวกเตอร์กรรมการของเส้น (L) ที่เป็นจุดตัดของระนาบ (Π): X - Y + Z = 3 และระนาบ (Ω): 2X + Y = 1

จากนั้นเขียนรูปแบบต่อเนื่องของสมการของเส้น (L)

สารละลาย

จากสมการของระนาบ (Ω) ระยะห่าง Y: Y = 1 -2X

จากนั้นเราแทนที่ในสมการของเครื่องบิน (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

จากนั้นเรากำหนดพารามิเตอร์ X เราเลือกพารามิเตอร์ X = λ

ซึ่งหมายความว่าเส้นมีสมการเวกเตอร์ที่กำหนดโดย:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

ซึ่งสามารถเขียนใหม่เป็น:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

ซึ่งเป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์u = (1, -2, -3) เป็นเวกเตอร์กำกับเส้น (L)

รูปแบบต่อเนื่องของเส้น (L) คือ:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

- การออกกำลังกาย 2

ระบุเครื่องบิน 5X + a Y + 4Z = 5

และเส้นที่มีสมการคือ X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

กำหนดค่าของสิ่งนั้นให้ระนาบและเส้นขนานกัน

โซลูชันที่ 2

เวกเตอร์n = (5, a, 4) เป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบ

เวกเตอร์u = (1, 3, -2) เป็นเวกเตอร์กำกับเส้น

ถ้าเส้นขนานกับระนาบn • v = 0

(5, ก, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 ก -8 = 0 ⇒ a = 1.

อ้างอิง

1. Fleming, W. , & Varberg, DE (1989). คณิตศาสตร์ Precalculus Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2549). พีชคณิตเชิงเส้น การศึกษาของเพียร์สัน.
3. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). เรขาคณิตวิเคราะห์เครื่องบิน เมริดา - เวเนซุเอลา: กองบรรณาธิการ Venezolana CA
4. Navarro, Rocio เวกเตอร์ ดึงมาจาก: books.google.co.ve.
5. เปเรซ, ซีดี (2549). การคำนวณล่วงหน้า การศึกษาของเพียร์สัน.
6. Prenowitz, W. 2012. แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต. Rowman & Littlefield
7. ซัลลิแวน, M. (1997). การคำนวณล่วงหน้า การศึกษาของเพียร์สัน.