ตัวแปรต่อเนื่อง: ลักษณะตัวอย่างและแบบฝึกหัด - กายภาพ - 2025

ตัวแปรอย่างต่อเนื่องเป็นสิ่งหนึ่งที่สามารถใช้จำนวนอนันต์ของค่าตัวเลขระหว่างสองค่าที่กำหนดแม้ว่าทั้งสองมีค่าโดยพลการอย่างใกล้ชิด ใช้เพื่ออธิบายคุณลักษณะที่วัดได้ เช่นส่วนสูงและน้ำหนัก ค่าที่ตัวแปรต่อเนื่องรับได้อาจเป็นจำนวนตรรกยะจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนแม้ว่ากรณีหลังจะใช้สถิติน้อยกว่าก็ตาม

ลักษณะสำคัญของตัวแปรต่อเนื่องคือระหว่างสองค่าที่เป็นเหตุเป็นผลหรือค่าจริงอีกค่าหนึ่งจะพบได้เสมอและระหว่างค่าอื่นกับค่าอื่นค่าแรกสามารถพบได้และต่อไปเรื่อย ๆ

รูปที่ 1. เส้นโค้งแสดงถึงการกระจายอย่างต่อเนื่องและแท่งที่ไม่ต่อเนื่อง ที่มา: pixabay

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าน้ำหนักผันแปรในกลุ่มที่น้ำหนักมากที่สุดคือ 95 กก. และน้ำหนักต่ำสุด 48 กก. นั่นจะเป็นช่วงของตัวแปรและจำนวนค่าที่เป็นไปได้คือไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างเช่นระหว่าง 50.00 กก. ถึง 50.10 กก. สามารถเป็น 50.01 แต่ระหว่าง 50.00 ถึง 50.01 สามารถวัดได้ 50.005. นั่นคือตัวแปรต่อเนื่อง ในทางกลับกันถ้าในการวัดน้ำหนักที่เป็นไปได้มีการกำหนดความแม่นยำของทศนิยมหนึ่งตำแหน่งตัวแปรที่ใช้จะไม่ต่อเนื่อง

ตัวแปรต่อเนื่องอยู่ในหมวดหมู่ของตัวแปรเชิงปริมาณเนื่องจากมีค่าตัวเลขที่เกี่ยวข้อง ด้วยค่าตัวเลขนี้ทำให้สามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ได้ตั้งแต่วิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์ไปจนถึงวิธีการคำนวณที่น้อยที่สุด

ตัวอย่าง

ตัวแปรส่วนใหญ่ในฟิสิกส์เป็นตัวแปรต่อเนื่องซึ่งเราสามารถตั้งชื่อได้ ได้แก่ ความยาวเวลาความเร็วความเร่งพลังงานอุณหภูมิและอื่น ๆ

ตัวแปรต่อเนื่องและตัวแปรไม่ต่อเนื่อง

ในทางสถิติสามารถกำหนดตัวแปรประเภทต่างๆได้ทั้งเชิงคุณภาพและเชิงปริมาณ ตัวแปรต่อเนื่องอยู่ในประเภทหลัง ด้วยพวกเขาเป็นไปได้ที่จะดำเนินการเลขคณิตและการคำนวณ

ตัวอย่างเช่นตัวแปร h ซึ่งสอดคล้องกับคนที่มีความสูงระหว่าง 1.50 ม. ถึง 1.95 ม. เป็นตัวแปรต่อเนื่อง

ลองเปรียบเทียบตัวแปรนี้กับตัวแปรนี้: จำนวนครั้งที่มีการโยนเหรียญขึ้นมาซึ่งเราจะเรียกว่า n

ตัวแปร n สามารถรับค่าระหว่าง 0 ถึงอินฟินิตี้อย่างไรก็ตาม n ไม่ใช่ตัวแปรต่อเนื่องเนื่องจากไม่สามารถรับค่า 1.3 หรือ 1.5 ได้เนื่องจากระหว่างค่า 1 และ 2 ไม่มีค่าอื่น นี่คือตัวอย่างของตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่อง

ตัวแปรต่อเนื่องออกกำลังกาย

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: เครื่องผลิตไม้ขีดไฟและบรรจุในกล่อง มีการกำหนดตัวแปรทางสถิติสองตัวแปร:

ความยาวไม้ขีดที่กำหนดคือ 5.0 ซม. โดยมีค่าเผื่อ 0.1 ซม. จำนวนการแข่งขันต่อกล่องคือ 50 โดยมีค่าความคลาดเคลื่อน 3

ก) ระบุช่วงของค่าที่ L และ N สามารถรับได้

b) L รับค่าได้กี่ค่า?

c) n รับค่าได้กี่ค่า?

ระบุในแต่ละกรณีว่าเป็นตัวแปรไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง

สารละลาย

ค่าของ L อยู่ในช่วง นั่นคือค่าของ L อยู่ในช่วงเวลาและตัวแปร L สามารถรับค่าที่ไม่มีที่สิ้นสุดระหว่างการวัดทั้งสองนี้ จากนั้นเป็นตัวแปรต่อเนื่อง

ค่าของตัวแปร n อยู่ในช่วงเวลา ตัวแปร n สามารถรับค่าที่เป็นไปได้ 6 ค่าในช่วงความคลาดเคลื่อนจากนั้นจึงเป็นตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่อง

การออกกำลังกายของ

หากนอกเหนือจากความต่อเนื่องแล้วค่าที่นำมาจากตัวแปรมีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นที่เกี่ยวข้องด้วยดังนั้นจึงเป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะต้องแยกแยะว่าตัวแปรนั้นไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องเนื่องจากแบบจำลองความน่าจะเป็นที่ใช้กับตัวแปรอื่นนั้นแตกต่างกัน

ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์เมื่อทราบค่าที่สามารถสันนิษฐานได้และความน่าจะเป็นที่แต่ละค่าจะเกิดขึ้น

-Exercise 1 ของความน่าจะเป็น

เครื่องมือจับคู่ทำให้พวกเขาอยู่ในลักษณะที่ความยาวของแท่งไม้อยู่ระหว่างค่า 4.9 ซม. และ 5.1 ซม. เสมอและเป็นศูนย์นอกค่าเหล่านี้ มีความเป็นไปได้ที่จะได้รับไม้ที่มีขนาดระหว่าง 5.00 ถึง 5.05 ซม. แม้ว่าเราจะดึงออกมาได้ 5,0003 ซม. ค่าเหล่านี้มีแนวโน้มเท่ากันหรือไม่?

สารละลาย

สมมติว่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสม่ำเสมอ ความน่าจะเป็นของการค้นหาคู่ที่มีความยาวระบุไว้ด้านล่าง:

- การจับคู่ที่อยู่ในช่วงมีความน่าจะเป็น = 1 (หรือ 100%) เนื่องจากเครื่องไม่จับคู่การจับคู่นอกค่าเหล่านั้น

- การค้นหาการจับคู่ที่อยู่ระหว่าง 4.9 ถึง 5.0 มีความน่าจะเป็น = ½ = 0.5 (50%) เนื่องจากเป็นครึ่งหนึ่งของช่วงความยาว

- และความน่าจะเป็นที่การแข่งขันจะมีความยาวระหว่าง 5.0 ถึง 5.1 ก็เท่ากับ 0.5 (50%)

- เป็นที่ทราบกันดีว่าไม่มีไม้ขีดที่มีความยาวระหว่าง 5.0 ถึง 5.2 ความน่าจะเป็น: ศูนย์ (0%)

ความน่าจะเป็นในการหาไม้จิ้มฟันในช่วงหนึ่ง

ตอนนี้ให้เราสังเกตความน่าจะเป็นต่อไปนี้ P ของการได้รับไม้ที่มีความยาวระหว่าง l ₁ถึงl ₂ :

-P ที่การจับคู่มีความยาวระหว่าง 5.00 ถึง 5.05 แสดงเป็น P ():

-P ที่เนินเขามีความยาวระหว่าง 5.00 ถึง 5.01 คือ:

-P ที่เนินเขามีความยาวระหว่าง 5,000 ถึง 5,001 ยิ่งน้อยกว่า:

ถ้าเราลดช่วงเวลาลงเรื่อย ๆ เพื่อเข้าใกล้ 5.00 มากขึ้นความน่าจะเป็นที่ไม้จิ้มฟันเท่ากับ 5.00 ซม. จะเป็นศูนย์ (0%) สิ่งที่เรามีคือความน่าจะเป็นที่จะพบการแข่งขันภายในช่วงที่กำหนด

ความน่าจะเป็นในการหาไม้จิ้มฟันหลายอันในช่วงที่กำหนด

หากเหตุการณ์ไม่เป็นอิสระความน่าจะเป็นที่ไม้จิ้มฟันสองอันอยู่ในช่วงหนึ่งจะเป็นผลคูณของความน่าจะเป็น

- ความน่าจะเป็นที่ตะเกียบสองอันอยู่ระหว่าง 5.0 ถึง 5.1 คือ 0.5 * 0.5 = 0.25 (0.25%)

- ความน่าจะเป็นที่ไม้จิ้มฟัน 50 อันอยู่ระหว่าง 5.0 ถึง 5.1 คือ (0.5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16 กล่าวคือเกือบจะเป็นศูนย์

- ความน่าจะเป็นที่ไม้จิ้มฟัน 50 อันอยู่ระหว่าง 4.9 ถึง 5.1 คือ (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Exercise 2 ของความน่าจะเป็น

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้มีการตั้งสมมติฐานว่าความน่าจะเป็นมีความสม่ำเสมอในช่วงเวลาที่กำหนดอย่างไรก็ตามไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป

ในกรณีของเครื่องจริงที่ผลิตไม้จิ้มฟันโอกาสที่ไม้จิ้มฟันจะอยู่ที่ค่ากึ่งกลางจะมากกว่าค่าที่สูงมาก จากมุมมองทางคณิตศาสตร์สิ่งนี้ถูกจำลองขึ้นด้วยฟังก์ชัน f (x) ที่เรียกว่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นที่การวัด L อยู่ระหว่าง a และ b คำนวณโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชัน f (x) ระหว่าง a และ b

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเราต้องการหาฟังก์ชัน f (x) ซึ่งแสดงถึงการแจกแจงแบบสม่ำเสมอระหว่างค่า 4.9 และ 5.1 จากแบบฝึกหัด 1

ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นสม่ำเสมอ f (x) จะเท่ากับค่าคงที่ c ซึ่งกำหนดโดยการหาค่าอินทิกรัลระหว่าง 4.9 ถึง 5.1 ของ c เนื่องจากอินทิกรัลนี้คือความน่าจะเป็นดังนั้นผลลัพธ์จึงต้องเป็น 1

รูปที่ 2. ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสม่ำเสมอ (ความประณีตของตัวเอง)

ซึ่งหมายความว่า c มีค่า 1 / 0.2 = 5 นั่นคือฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสม่ำเสมอคือ f (x) = {5 ถ้า4.9≤x≤5.1และ 0 นอกช่วงนี้ ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสม่ำเสมอแสดงในรูปที่ 2

สังเกตว่าในช่วงเวลาที่มีความกว้างเท่ากัน (เช่น 0.02) ความน่าจะเป็นเท่ากันที่จุดศูนย์กลางเมื่อสิ้นสุดช่วงของตัวแปรต่อเนื่อง L (ความยาวไม้จิ้มฟัน)

แบบจำลองที่สมจริงยิ่งขึ้นจะเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้:

รูปที่ 3. ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นไม่สม่ำเสมอ (ความประณีตของตัวเอง)

ในรูปที่ 3 จะเห็นได้ว่าความน่าจะเป็นของการหาไม้จิ้มฟันระหว่าง 4.99 ถึง 5.01 (กว้าง 0.02) มากกว่าการหาไม้จิ้มฟันระหว่าง 4.90 ถึง 4.92 (กว้าง 0.02)

อ้างอิง

1. Dinov, Ivo ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและการแจกแจงความน่าจะเป็น ดึงมาจาก: stat.ucla.edu
2. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง ดึงมาจาก: ocw.mit.edu
3. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและการแจกแจงความน่าจะเป็น ดึงมาจาก: homepage.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับความน่าจะเป็น สืบค้นจาก: probability course.com
5. Mendenhall, W. 1978. สถิติสำหรับการจัดการและเศรษฐศาสตร์. Grupo Editorial Iberoamericana 103-106.
6. ปัญหาตัวแปรสุ่มและแบบจำลองความน่าจะเป็น กู้คืนจาก: ugr.es.
7. วิกิพีเดีย ตัวแปรต่อเนื่อง กู้คืนจาก wikipedia.com
8. วิกิพีเดีย ตัวแปรสถิติ กู้คืนจาก wikipedia.com.