ลักษณะเวกเตอร์พร้อมกันตัวอย่างและแบบฝึกหัด - เลข - 2026

เวกเตอร์พร้อมกันเป็นกลุ่มเวกเตอร์ที่มีแกนตรงจุดหนึ่งที่สร้างระหว่างคู่ของภายในและภายนอกในแต่ละมุมมองอื่น ตัวอย่างที่ชัดเจนมีให้เห็นในรูปด้านล่างโดยที่ A, B และ C เป็นเวกเตอร์พร้อมกัน

D และ E ไม่เหมือนกับส่วนที่เหลือไม่ได้ มีมุมเกิดขึ้นระหว่างเวกเตอร์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน AB, AC และ CB เรียกว่ามุมสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์

ลักษณะเฉพาะ

- พวกเขามีจุดที่เหมือนกันซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับที่มา: ขนาดทั้งหมดของเวกเตอร์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันเริ่มต้นจากจุดร่วมกันไปยังจุดสิ้นสุดตามลำดับ

- จุดกำเนิดถือเป็นจุดกระทำของเวกเตอร์: ต้องกำหนดจุดดำเนินการซึ่งจะได้รับผลกระทบโดยตรงจากเวกเตอร์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันแต่ละตัว

- โดเมนในระนาบและอวกาศคือR ²และ R ³ตามลำดับ: เวกเตอร์พร้อมกันนั้นมีอิสระที่จะครอบคลุมพื้นที่เรขาคณิตทั้งหมด

- อนุญาตให้ใช้สัญกรณ์ที่แตกต่างกันในกลุ่มเวกเตอร์เดียวกัน ตามสาขาของการศึกษามีการนำเสนอสัญกรณ์ที่แตกต่างกันในการดำเนินการกับเวกเตอร์

ประเภทของเวกเตอร์

สาขาของเวกเตอร์มีการแบ่งย่อยหลายส่วนในบางส่วนสามารถตั้งชื่อได้: ขนาน, ตั้งฉาก, coplanar, ตรงข้าม, ตรงข้ามและรวมกัน เวกเตอร์พร้อมกันแสดงอยู่ที่นี่และเช่นเดียวกับที่ระบุไว้ข้างต้นพวกเขามีการใช้งานมากมายในศาสตร์ต่างๆ

พวกมันเป็นเรื่องธรรมดามากในการศึกษาเวกเตอร์เพราะมันแสดงถึงลักษณะทั่วไปที่เป็นประโยชน์ในการดำเนินการกับพวกมัน ทั้งในระนาบและในอวกาศมักใช้เวกเตอร์พร้อมกันเพื่อแสดงองค์ประกอบที่แตกต่างกันและศึกษาอิทธิพลที่มีต่อระบบหนึ่ง ๆ

สัญกรณ์เวกเตอร์

มีหลายวิธีในการแสดงองค์ประกอบเวกเตอร์ หลักและที่รู้จักกันดี ได้แก่ :

คาร์ทีเซียน

เสนอโดยวิธีการทางคณิตศาสตร์เดียวกันนี้แสดงเวกเตอร์ด้วยค่าสามเท่าที่สอดคล้องกับขนาดของแต่ละแกน (x, y, z)

A: (1, 1, -1) ช่องว่าง A: (1, 1) เครื่องบิน

ขั้ว

พวกเขาทำหน้าที่แสดงเวกเตอร์ในระนาบเท่านั้นแม้ว่าในแคลคูลัสอินทิกรัลจะมีการกำหนดองค์ประกอบความลึก ประกอบด้วยขนาดเชิงเส้นrและมุมเทียบกับแกนเชิงขั้วƟ

A: (3, 45 ⁰ ) เครื่องบิน A: (2, 45 ⁰ , 3) ช่องว่าง

เชิงวิเคราะห์

พวกเขากำหนดขนาดของเวกเตอร์โดยใช้โวลท์ โองการ (i + j + k) แสดงเวกเตอร์หน่วยที่ตรงกับแกนX, Yและ

A: 3i + 2j - 3k

ทรงกลม

พวกมันคล้ายกับสัญกรณ์เชิงขั้ว แต่มีการเพิ่มมุมที่สองที่กวาดไปบนระนาบ xy ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของδ

A: (4, 60 ^หรือ , π / 4)

การดำเนินการเวกเตอร์พร้อมกัน

เวกเตอร์พร้อมกันส่วนใหญ่จะใช้เพื่อกำหนดการดำเนินการระหว่างเวกเตอร์เนื่องจากง่ายต่อการเปรียบเทียบองค์ประกอบของเวกเตอร์เมื่อนำเสนอพร้อมกัน

ผลรวม (A + B)

ผลรวมของเวกเตอร์พร้อมกันมีวัตถุประสงค์เพื่อหาผลลัพธ์เวกเตอร์V R ซึ่งตามสาขาของการศึกษาสอดคล้องกับการดำเนินการขั้นสุดท้าย

ตัวอย่างเช่น 3 สตริง {A, B, C} ผูกติดอยู่กับกล่องโดยปลายแต่ละด้านของสตริงจะถูกยึดไว้ด้วยหัวเรื่องเดียว ผู้เข้าร่วม 3 คนต้องดึงเชือกไปในทิศทางที่แตกต่างจากอีก 2 คน

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz) = V _r

กล่องจะเคลื่อนที่ได้เพียงทิศทางเดียวดังนั้นV _rจะระบุทิศทางและทิศทางการเคลื่อนที่ของกล่อง

ความแตกต่าง (A - B)

มีหลายเกณฑ์เกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์ผู้เขียนหลายคนเลือกที่จะไม่รวมมันและระบุว่ากำหนดเฉพาะผลรวมระหว่างเวกเตอร์เท่านั้นโดยที่ความแตกต่างนั้นเกี่ยวกับผลรวมของเวกเตอร์ตรงข้าม ความจริงก็คือเวกเตอร์สามารถหักลบได้ในเชิงพีชคณิต

A: (ขวาน, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ (A. B)

หรือที่เรียกว่าผลิตภัณฑ์ดอทจะสร้างค่าสเกลาร์ที่เกี่ยวข้องกับขนาดต่างๆขึ้นอยู่กับสาขาที่ศึกษา

สำหรับรูปทรงเรขาคณิตระบุพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันทั้งคู่โดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมด้านขนาน สำหรับฟิสิกส์เชิงกลจะกำหนดงานที่ทำโดยแรงFเมื่อเคลื่อนไหวร่างกายเป็นระยะทางΔr

ѡ = ฉ . Δr

ตามชื่อของมันจะสร้างค่าสเกลาร์และกำหนดดังนี้:

ให้เวกเตอร์ A และ B เป็น

A: (ขวาน, ay, az) B: (bx, by, bz)

- รูปแบบการวิเคราะห์:

(อ. B) = -A -.- B-.Cos θ

โดยที่θคือมุมภายในระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง

- รูปแบบพีชคณิต:

(อ. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

ข้ามผลิตภัณฑ์ (A x B)

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์หรือผลิตภัณฑ์ dot ระหว่างสองเวกเตอร์กำหนดเวกเตอร์สามCมีคุณภาพของการตั้งฉากกับBและCในทางฟิสิกส์เวกเตอร์แรงบิดτเป็นองค์ประกอบพื้นฐานของพลวัตการหมุน

- รูปแบบการวิเคราะห์:

- ก x ข - = -A -.- B -.Sen θ

- รูปแบบพีชคณิต:

(ก x ข) = = (ขวาน. โดย - ay. bx) - (ขวาน. bz - az. bx) j + (ขวาน. โดย - ay. Bx) k

- การเคลื่อนไหวสัมพัทธ์: r _{A / B}

พื้นฐานของทฤษฎีสัมพัทธภาพคือการเคลื่อนที่แบบสัมพัทธ์และเวกเตอร์พร้อมกันเป็นพื้นฐานของการเคลื่อนที่แบบสัมพัทธ์ ตำแหน่งสัมพัทธ์ความเร็วและความเร่งสามารถอนุมานได้โดยใช้ลำดับความคิดต่อไปนี้

r _{A / B} = r _A - r _B ; ตำแหน่งสัมพัทธ์ของ A เทียบกับ B

v _{A / B} = v _A - v _B ; ความเร็วสัมพัทธ์ของ A เทียบกับ B

ก_{A / B} = _ก - ก_B ; ความเร่งสัมพัทธ์ของ A เทียบกับ B

ตัวอย่าง: แบบฝึกหัดที่มีการแก้ไข

แบบฝึกหัด 1

ให้ A, B และ C เป็นเวกเตอร์พร้อมกัน

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

- กำหนดเวกเตอร์ผลลัพธ์V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

- กำหนดผลิตภัณฑ์ดอท (A.C)

(ก. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(ก. C) = 3

- คำนวณมุมระหว่าง A และ C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θโดยที่θคือมุมที่สั้นที่สุดระหว่างเวกเตอร์

θ = 88.63 ⁰

- ค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ A และ B

สำหรับสิ่งนี้จำเป็นต้องกำหนดผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ระหว่าง (-1, 3, 5) และ (3, 5, -2) ดังที่ได้อธิบายไว้ก่อนหน้านี้เมทริกซ์ 3 x 3 ถูกสร้างขึ้นโดยที่แถวแรกประกอบด้วยเวกเตอร์สามหน่วย (i, j, k) จากนั้นแถวที่ 2 และ 3 ประกอบด้วยเวกเตอร์เพื่อดำเนินการตามลำดับการปฏิบัติงาน

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

แบบฝึกหัด 2

ให้ V _aและ V _{b เป็น}เวกเตอร์ความเร็วของ A และ B ตามลำดับ คำนวณความเร็วของ B ที่เห็นจาก A

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

ในกรณีนี้จะขอความเร็วสัมพัทธ์ของ B เทียบกับ A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

นี่คือเวกเตอร์ความเร็วของ B ที่เห็นจาก A โดยที่เวกเตอร์ใหม่ของความเร็วของ B ถูกอธิบายโดยอ้างอิงจากผู้สังเกตที่อยู่ในตำแหน่ง A และเคลื่อนที่ด้วยความเร็วของ A

แบบฝึกหัดที่เสนอ

1- สร้างเวกเตอร์ 3 ตัว A, B และ C ที่พร้อมกันและเชื่อมโยงการดำเนินการ 3 อย่างระหว่างกันผ่านแบบฝึกหัดจริง

2- ให้เวกเตอร์ A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) และ C: (-2, -1, 10) ค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ: A และ B, C และ B ผลรวม A + B + C

4- กำหนดเวกเตอร์ 3 ตัวที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันโดยไม่คำนึงถึงแกนพิกัด

5- กำหนดงานที่ทำโดยแรงที่ยกบล็อกมวล 5 กก. จากก้นหลุมลึก 20 ม.

6 - แสดงพีชคณิตว่าการลบเวกเตอร์เท่ากับผลรวมของเวกเตอร์ตรงข้าม ปรับสมมุติฐานของคุณ

7 - แสดงเวกเตอร์ในสัญลักษณ์ทั้งหมดที่พัฒนาในบทความนี้ (คาร์ทีเซียนขั้ววิเคราะห์และทรงกลม)

8- แรงแม่เหล็กกระทำกับแม่เหล็กที่วางอยู่บนโต๊ะได้รับจากเวกเตอร์ต่อไปนี้ V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4) กำหนดว่าแม่เหล็กจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางใดหากแรงแม่เหล็กทั้งหมดกระทำในเวลาเดียวกัน

อ้างอิง

1. เรขาคณิตแบบยุคลิดและการเปลี่ยนแปลง เคลย์ตันดับบลิว. Courier Corporation, 1 ม.ค. พ.ศ. 2547
2. วิธีแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ประยุกต์ L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10 เม.ย. พ.ศ. 2556
3. แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต Walter Prenowitz, Meyer Jordan Rowman & Littlefield 4 ต.ค. 2555
4. เวกเตอร์ Rocío Navarro Lacoba, 7 มิ.ย. พ.ศ. 2557
5. พีชคณิตเชิงเส้น เบอร์นาร์ดคอลแมนเดวิดอาร์ฮิลล์ การศึกษาของเพียร์สัน, 2549