เวกเตอร์: ลักษณะและคุณสมบัติองค์ประกอบประเภทตัวอย่าง - วิทยาศาสตร์ - 2025

เวกเตอร์เป็นหน่วยงานทางคณิตศาสตร์ที่มีมาพร้อมกับโดยทั่วไปขนาดหน่วยวัด -positiva- และทิศทางที่ดี ลักษณะดังกล่าวเหมาะสมมากในการอธิบายปริมาณทางกายภาพเช่นความเร็วแรงความเร่งและอื่น ๆ อีกมากมาย

ด้วยเวกเตอร์มันเป็นไปได้ที่จะดำเนินการต่างๆเช่นการบวกการลบและผลิตภัณฑ์ การหารไม่ได้กำหนดไว้สำหรับเวกเตอร์และสำหรับผลิตภัณฑ์มีสามคลาสที่เราจะอธิบายในภายหลัง: ผลิตภัณฑ์จุดหรือจุดผลิตภัณฑ์เวกเตอร์หรือกากบาทและผลคูณของสเกลาร์โดยเวกเตอร์

รูปที่ 1. องค์ประกอบของเวกเตอร์ ที่มา: Wikimedia Commons

ในการอธิบายเวกเตอร์อย่างสมบูรณ์ต้องระบุลักษณะทั้งหมด ขนาดหรือโมดูลเป็นค่าตัวเลขที่มาพร้อมกับหน่วยในขณะที่ทิศทางและความรู้สึกถูกกำหนดขึ้นด้วยความช่วยเหลือของระบบพิกัด

ลองดูตัวอย่างสมมติว่าเครื่องบินบินจากเมืองหนึ่งไปยังอีกเมืองหนึ่งด้วยอัตรา 850 กม. / ชม. ในทิศทาง NE ที่นี่เรามีเวกเตอร์ที่ระบุไว้อย่างครบถ้วนเนื่องจากมีขนาด: 850 กม. / ชม. ในขณะที่ทิศทางและความรู้สึกคือ NE

โดยปกติเวกเตอร์จะแสดงเป็นกราฟิกโดยส่วนของเส้นเชิงเส้นซึ่งมีความยาวเป็นสัดส่วนกับขนาด

ในขณะที่จะระบุทิศทางและความรู้สึกจำเป็นต้องใช้เส้นอ้างอิงซึ่งโดยปกติจะเป็นแกนนอนแม้ว่าทิศเหนือจะสามารถใช้อ้างอิงได้เช่นกันเช่นในกรณีของความเร็วของเครื่องบิน:

รูปที่ 2. เวกเตอร์ความเร็ว ที่มา: F. Zapata

แสดงให้เห็นว่ารูปแบบเวกเตอร์ความเร็วของเครื่องบินที่แสดงเป็นวีในตัวหนา , ความแตกต่างจากปริมาณสเกลาร์ซึ่งเพียง แต่ต้องใช้ค่าตัวเลขและหน่วยงานบางอย่างที่จะระบุ

องค์ประกอบของเวกเตอร์

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วองค์ประกอบของเวกเตอร์คือ:

- ขนาดหรือโมดูลบางครั้งเรียกว่าค่าสัมบูรณ์หรือบรรทัดฐานของเวกเตอร์

- ที่อยู่

-Sense

ในตัวอย่างในรูปที่ 2 โมดูลัสของvคือ 850 กม. / ชม. โมดูลัสแสดงเป็น v โดยไม่มีตัวหนาหรือเป็น - v - โดยที่แท่งแทนค่าสัมบูรณ์

ทิศทางของvถูกระบุโดยสัมพันธ์กับทิศเหนือ ในกรณีนี้คือ45ºทางตะวันออกเฉียงเหนือ (45º NE) สุดท้ายปลายลูกศรแจ้งเกี่ยวกับความรู้สึกของโวลต์

ในตัวอย่างนี้จุดกำเนิดของเวกเตอร์ถูกวาดขึ้นโดยตรงกับจุดกำเนิด O ของระบบพิกัดซึ่งเรียกว่าเวกเตอร์ที่เชื่อมโยง ในทางกลับกันถ้าต้นกำเนิดของเวกเตอร์ไม่ตรงกับระบบอ้างอิงก็จะบอกว่าเป็นเวกเตอร์อิสระ

ควรสังเกตว่าในการระบุเวกเตอร์อย่างสมบูรณ์ต้องสังเกตองค์ประกอบทั้งสามนี้มิฉะนั้นคำอธิบายของเวกเตอร์จะไม่สมบูรณ์

ส่วนประกอบสี่เหลี่ยมของเวกเตอร์

รูปที่ 3. ส่วนประกอบสี่เหลี่ยมของเวกเตอร์ในระนาบ ที่มา: Wikimedia Commons uranther

ในภาพเรากลับเวกเตอร์ตัวอย่างvซึ่งอยู่ในระนาบ xy

มันง่ายที่จะเห็นว่าเส้นโครงของ v บนแกนพิกัด x และ y กำหนดสามเหลี่ยมมุมฉาก การคาดการณ์เหล่านี้เป็นวี_{Y และ}วี_xและจะเรียกว่าส่วนประกอบสี่เหลี่ยมของโวลต์

วิธีหนึ่งในการแสดงว่าvโดยส่วนประกอบสี่เหลี่ยมมีดังนี้: v =x, v _และ > วงเล็บเหล่านี้ใช้แทนวงเล็บเพื่อเน้นความจริงที่ว่ามันเป็นเวกเตอร์ไม่ใช่จุดเนื่องจากในกรณีนี้จะใช้วงเล็บ

หากเวกเตอร์อยู่ในปริภูมิสามมิติจำเป็นต้องมีอีกหนึ่งองค์ประกอบเพื่อให้:

v =x, v _y , v _z >

รู้ส่วนประกอบที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดของเวกเตอร์ที่มีการคำนวณเทียบเท่ากับการหาด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมที่มีขาโว_x และ โวลต์_{และ ,} ด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีดังต่อไปนี้:

รูปเชิงขั้วของเวกเตอร์

เมื่อทราบขนาดของเวกเตอร์ - v - และมุมθที่ทำกับแกนอ้างอิงโดยทั่วไปคือแกนนอนจะมีการระบุเวกเตอร์ด้วย จากนั้นเวกเตอร์จะถูกกล่าวว่าแสดงในรูปเชิงขั้ว

ส่วนประกอบสี่เหลี่ยมในกรณีนี้คำนวณได้ง่าย:

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้นส่วนประกอบสี่เหลี่ยมของเวกเตอร์ความเร็วvของเครื่องบินจะเป็น:

ประเภท

เวกเตอร์มีหลายประเภท มีเวกเตอร์ของความเร็วตำแหน่งการกระจัดแรงสนามไฟฟ้าโมเมนตัมและอื่น ๆ อีกมากมาย ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วในทางฟิสิกส์มีปริมาณเวกเตอร์จำนวนมาก

เกี่ยวกับเวกเตอร์ที่มีลักษณะเฉพาะเราสามารถกล่าวถึงเวกเตอร์ประเภทต่อไปนี้:

-Null : เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเป็น 0 และแสดงเป็น0โปรดจำไว้ว่าตัวอักษรตัวหนาเป็นสัญลักษณ์ของลักษณะพื้นฐานสามประการของเวกเตอร์ในขณะที่ตัวอักษรปกติแสดงเฉพาะโมดูล

ตัวอย่างเช่นบนร่างกายในสภาวะสมดุลคงที่ผลรวมของกองกำลังจะต้องเป็นเวกเตอร์ว่าง

- อิสระและเชื่อมโยง : เวกเตอร์อิสระคือเวกเตอร์ที่มีจุดกำเนิดและการมาถึงเป็นคู่ของจุดใด ๆ ในระนาบหรืออวกาศซึ่งแตกต่างจากเวกเตอร์ที่เชื่อมโยงซึ่งมีจุดกำเนิดตรงกับระบบอ้างอิงที่ใช้อธิบาย

คู่หรือโมเมนต์ที่เกิดจากกองกำลังสองคู่เป็นตัวอย่างที่ดีของเวกเตอร์อิสระเนื่องจากทั้งคู่ไม่ได้ใช้กับจุดใดจุดหนึ่ง

- Equipolentes : พวกเขาเป็นสองเวกเตอร์ฟรีที่มีลักษณะเหมือนกัน ดังนั้นจึงมีขนาดทิศทางและความรู้สึกเท่ากัน

- Coplanar หรือ coplanar : เวกเตอร์ที่อยู่ในระนาบเดียวกัน

- ตรงกันข้าม : เวกเตอร์ที่มีขนาดและทิศทางเดียวกัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม เวกเตอร์ตรงข้ามเวกเตอร์โวลต์เป็นเวกเตอร์ - วีและผลรวมของทั้งสองเป็นเวกเตอร์โมฆะ: V + (- วี ) = 0

- พร้อมกัน : เวกเตอร์ที่เส้นของการกระทำทั้งหมดผ่านจุดเดียวกัน

- แถบเลื่อน : คือเวกเตอร์ที่จุดแอปพลิเคชันสามารถเลื่อนไปตามบรรทัดเฉพาะได้

- Collinear : เวกเตอร์ที่อยู่ในบรรทัดเดียวกัน

- Unitary : เวกเตอร์ที่มีโมดูลคือ 1

เวกเตอร์หน่วยมุมฉาก

มีเวกเตอร์ประเภทหนึ่งที่มีประโยชน์มากในฟิสิกส์ที่เรียกว่าเวกเตอร์หน่วยมุมฉาก เวกเตอร์หน่วยมุมฉากมีโมดูลเท่ากับ 1 และหน่วยสามารถเป็นหน่วยใดก็ได้ตัวอย่างเช่นความเร็วตำแหน่งแรงหรืออื่น ๆ

มีเวกเตอร์พิเศษชุดหนึ่งที่ช่วยในการแสดงเวกเตอร์อื่น ๆ ได้อย่างง่ายดายและดำเนินการกับเวกเตอร์เหล่านี้คือเวกเตอร์หน่วยมุมฉากi , jและk , หน่วยและตั้งฉากซึ่งกันและกัน

ในสองมิติเวกเตอร์เหล่านี้จะชี้ไปตามทิศทางบวกของทั้งแกน x และแกน y และในสามมิติเวกเตอร์หน่วยจะถูกเพิ่มในทิศทางของแกน z บวก มีการแสดงดังนี้:

ผม = <1, 0.0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

เวกเตอร์สามารถแทนด้วยเวกเตอร์หน่วยi , jและk ได้ดังนี้:

v = v _x i + v _y j + v _z k

ตัวอย่างเช่นเวกเตอร์ความเร็วvในตัวอย่างก่อนหน้านี้สามารถเขียนเป็น:

v = 601.04 i + 601.04 jกม. / ชม

ไม่จำเป็นต้องใช้ส่วนประกอบในkเนื่องจากเวกเตอร์นี้อยู่ในระนาบ

นอกจากนี้เวกเตอร์

ผลรวมของเวกเตอร์จะปรากฏบ่อยมากในสถานการณ์ต่างๆเช่นเมื่อคุณต้องการหาแรงที่เป็นผลลัพธ์บนวัตถุที่ได้รับผลกระทบจากแรงต่างๆ ในการเริ่มต้นสมมติว่าเรามีเวกเตอร์ฟรีสองตัวuและvบนระนาบดังแสดงในรูปต่อไปนี้ทางด้านซ้าย:

รูปที่ 4. ผลรวมกราฟิกของเวกเตอร์สองตัว ที่มา: Wikimedia Commons Lluc Cabanach

มันเป็นเรื่องที่โอนได้ทันทีอย่างระมัดระวังเพื่อเวกเตอร์โวลต์โดยไม่ต้องปรับเปลี่ยนขนาดทิศทางหรือความรู้สึกของตนเพื่อที่เกิดขึ้นพร้อมกับต้นกำเนิดของมันในตอนท้ายของยู

ผลรวมเวกเตอร์เรียกว่าwและวาดโดยเริ่มจาก u ลงท้ายด้วยvตามรูปด้านขวา มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะทราบว่าขนาดของเวกเตอร์ที่W นั้นไม่จำเป็นต้องเป็นผลรวมของขนาดของโวลต์และยู

หากคุณคิดอย่างรอบคอบเวลาเดียวที่ขนาดของเวกเตอร์ที่ได้คือผลรวมของขนาดของส่วนบวกคือเมื่อค่าที่บวกทั้งสองอยู่ในทิศทางเดียวกันและมีความหมายเดียวกัน

แล้วจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์ไม่ฟรี? นอกจากนี้ยังง่ายมากที่จะเพิ่มเข้าไป วิธีการทำคือการเพิ่มส่วนประกอบลงในองค์ประกอบหรือวิธีการวิเคราะห์

ตัวอย่างเช่นลองพิจารณาเวกเตอร์ในรูปต่อไปนี้สิ่งแรกคือการแสดงเวกเตอร์ด้วยวิธีคาร์ทีเซียนที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้:

รูปที่ 5. ผลรวมของเวกเตอร์ที่เชื่อมโยงสองตัว ที่มา: Wikimedia Commons

v = <5.1>

คุณ = <2,3>

ในการรับองค์ประกอบ x ของเวกเตอร์ผลรวมwให้เพิ่มส่วนประกอบ x ตามลำดับของvและu : w _x = 5 + 2 = 7 และเพื่อให้ได้ W _Yขั้นตอนคล้ายมีผู้ติดตาม: W _Y = 1 + 3 ดังนั้น:

คุณ = <7.4>

คุณสมบัติของการบวกเวกเตอร์

- ผลรวมของเวกเตอร์สองตัวขึ้นไปส่งผลให้เวกเตอร์อื่น

- เป็นการสับเปลี่ยนลำดับของการบวกจะไม่เปลี่ยนผลรวมในลักษณะที่:

คุณ + v = v + u

-องค์ประกอบที่เป็นกลางของผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ว่าง: v + 0 = v

-การลบเวกเตอร์สองตัวถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของสิ่งที่ตรงกันข้าม: v - u = v + (-u)

ตัวอย่างเวกเตอร์

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วมีปริมาณเวกเตอร์มากมายในฟิสิกส์ ในบรรดาสิ่งที่รู้จักกันดี ได้แก่ :

-ตำแหน่ง

- การกำจัด

- ความเร็วเฉลี่ยและความเร็วทันที

- การเร่งความเร็ว

-บังคับ

- จำนวนการเคลื่อนไหว

- แรงบิดหรือช่วงเวลาของแรง

- แรงกระตุ้น

-สนามไฟฟ้า

-สนามแม่เหล็ก

- ช่วงเวลาแม่เหล็ก

ในทางกลับกันพวกมันไม่ใช่เวกเตอร์ แต่เป็นสเกลาร์:

- สภาพอากาศ

-มวล

-อุณหภูมิ

- ปริมาณ

- ความหนาแน่น

- งานเครื่องกล

-พลังงาน

-ร้อน

- พลังงาน

-แรงดันไฟฟ้า

-กระแสไฟฟ้า

การดำเนินการอื่น ๆ ระหว่างเวกเตอร์

นอกเหนือจากการบวกและการลบเวกเตอร์แล้วยังมีการดำเนินการที่สำคัญอีกสามอย่างระหว่างเวกเตอร์เนื่องจากพวกมันก่อให้เกิดปริมาณทางกายภาพที่สำคัญมากใหม่:

- ผลิตภัณฑ์ของสเกลาร์โดยเวกเตอร์

- ผลิตภัณฑ์จุดหรือผลิตภัณฑ์จุดระหว่างเวกเตอร์

- และผลคูณกากบาทหรือเวกเตอร์ระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์

ผลคูณของสเกลาร์และเวกเตอร์

พิจารณากฎข้อที่สองของนิวตันซึ่งระบุว่าแรงFและความเร่งaเป็นสัดส่วน ค่าคงที่ของสัดส่วนคือมวล m ของวัตถุดังนั้น:

F = ม. ถึง

มวลเป็นสเกลาร์ ส่วนแรงและความเร่งเป็นเวกเตอร์ เนื่องจากแรงได้มาจากการคูณมวลด้วยความเร่งจึงเป็นผลมาจากผลคูณของสเกลาร์และเวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์ประเภทนี้จะให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์เสมอ นี่คืออีกตัวอย่างหนึ่ง: จำนวนการเคลื่อนไหว ให้P เป็นเวกเตอร์โมเมนตัมvเวกเตอร์ความเร็วและเช่นเคย m คือมวล:

P = ม. v

Dot product หรือ dot product ระหว่างเวกเตอร์

เราได้วางงานเชิงกลไว้ในรายการปริมาณที่ไม่ใช่เวกเตอร์ อย่างไรก็ตามงานในฟิสิกส์เป็นผลมาจากการดำเนินการระหว่างเวกเตอร์ที่เรียกว่าผลิตภัณฑ์สเกลาร์ผลิตภัณฑ์ภายในหรือผลิตภัณฑ์ดอท

ให้เวกเตอร์vและuกำหนดจุดหรือผลคูณสเกลาร์ระหว่างพวกเขาเป็น:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

โดยที่θคือมุมระหว่างทั้งสอง จากสมการแสดงให้เห็นทันทีว่าผลลัพธ์ของดอทโปรดัคเป็นสเกลาร์และถ้าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกันผลิตภัณฑ์ดอทจะเป็น 0

กลับไปทำงานกล W นี้เป็นผลคูณระหว่างเวกเตอร์แรงFและกระจัดℓ

เมื่อเวกเตอร์พร้อมใช้งานในแง่ของส่วนประกอบผลิตภัณฑ์ดอทก็คำนวณได้ง่ายเช่นกัน ถ้าv =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z > ผลิตภัณฑ์จุดระหว่างทั้งสองคือ:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

ผลิตภัณฑ์ดอทระหว่างเวกเตอร์เป็นแบบสับเปลี่ยนดังนั้น:

v ∙ u = u ∙ v

ข้ามผลิตภัณฑ์หรือผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ระหว่างเวกเตอร์

ถ้าv และ u เป็นเวกเตอร์สองตัวอย่างของเราเราจะกำหนดผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เป็น:

วี x U = W

ตามทันทีที่ผลคูณไขว้ส่งผลให้เกิดเวกเตอร์ซึ่งโมดูลัสถูกกำหนดเป็น:

โดยที่θคือมุมระหว่างเวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์ไขว้ไม่สับเปลี่ยนดังนั้นv x u ≠ u x v ในความเป็นจริงv x u = - (u x v)

หากเวกเตอร์ตัวอย่างทั้งสองแสดงในรูปของเวกเตอร์หน่วยการคำนวณผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะอำนวยความสะดวก:

v = v _x i + v _y j + v _z k

คุณ = u _x i + u _y j + u _z k

ผลิตภัณฑ์ข้ามระหว่างเวกเตอร์หน่วย

ผลคูณระหว่างเวกเตอร์หน่วยที่เหมือนกันคือศูนย์เนื่องจากมุมระหว่างพวกเขาคือ0º แต่ระหว่างเวกเตอร์หน่วยต่างกันมุมระหว่างพวกมันคือ90ºและ sin 90º = 1

แผนภาพต่อไปนี้ช่วยในการค้นหาผลิตภัณฑ์เหล่านี้ ในทิศทางของลูกศรจะมีทิศทางที่เป็นบวกและในทิศทางตรงกันข้ามเป็นลบ:

ฉัน x j = k, j x k = ฉัน; k x ผม = j; j x ผม = -k; k x j = -i; ผม x k = -j

การใช้คุณสมบัติการกระจายซึ่งยังคงใช้ได้กับผลิตภัณฑ์ระหว่างเวกเตอร์บวกคุณสมบัติของเวกเตอร์หน่วยเรามี:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- แบบฝึกหัด 1

ให้เวกเตอร์:

v = -5 ผม + 4 j + 1 k

คุณ = 2 ผม -3 j + 7 k

เวกเตอร์ต้องเป็นเท่าใดจึงจะได้ผลรวมv + u + w เป็น 6 i +8 j -10 k ?

สารละลาย

ดังนั้นจึงต้องทำให้สำเร็จว่า:

คำตอบคือw = 9 i +7 j - 18 k

- แบบฝึกหัด 2

มุมระหว่างเวกเตอร์vและuในแบบฝึกหัด 1 คืออะไร?

สารละลาย

เราจะใช้ผลิตภัณฑ์ดอท จากคำจำกัดความที่เรามี:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

การแทนที่ค่าเหล่านี้:

อ้างอิง

1. Figueroa, D. (2005). ซีรี่ส์: ฟิสิกส์สำหรับวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม เล่มที่ 1. Kinematics. แก้ไขโดย Douglas Figueroa (USB)
2. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. วันที่ 6. Ed Prentice Hall
3. Rex, A. 2011. ความรู้พื้นฐานทางฟิสิกส์. เพียร์สัน
4. เซียร์เซมันสกี้ 2559. ฟิสิกส์มหาวิทยาลัยกับฟิสิกส์สมัยใหม่. 14. เอ็ดเล่ม 1.
5. Serway, R. , Jewett, J. 2008 ฟิสิกส์สำหรับวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม เล่ม 1. 7th. Ed. Cengage Learning.