ทฤษฎีบททวินาม: หลักฐานและตัวอย่าง - เลข - 2026

ทฤษฎีบททวินามเป็นสมการที่บอกเราว่าในการพัฒนาการแสดงออกในรูปแบบ (A + B) เป็นนักⁿสำหรับบางจำนวนธรรมชาติ n ทวินามไม่ใช่อะไรมากไปกว่าผลรวมของสององค์ประกอบเช่น (a + b) นอกจากนี้ยังช่วยให้เราทราบคำศัพท์ที่กำหนดโดย^k b ^n-kว่าสัมประสิทธิ์ที่มาพร้อมกับมันคืออะไร

ทฤษฎีบทนี้มักมาจากนักประดิษฐ์ชาวอังกฤษนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์เซอร์ไอแซกนิวตัน อย่างไรก็ตามมีการค้นพบบันทึกต่างๆที่บ่งชี้ว่าการมีอยู่ของมันเป็นที่รู้จักในตะวันออกกลางประมาณปี 1000

ตัวเลข Combinatorial

ทฤษฎีบททวินามทางคณิตศาสตร์บอกเราดังต่อไปนี้:

ในนิพจน์นี้ a และ b เป็นจำนวนจริงและ n เป็นจำนวนธรรมชาติ

ก่อนที่จะสาธิตเรามาดูแนวคิดพื้นฐานที่จำเป็น

จำนวนผสมหรือชุดค่าผสมของ n ใน k แสดงดังนี้:

แบบฟอร์มนี้แสดงค่าของจำนวนชุดย่อยที่มีองค์ประกอบ k ที่สามารถเลือกได้จากชุดขององค์ประกอบ n นิพจน์พีชคณิตได้รับจาก:

ลองดูตัวอย่างสมมติว่าเรามีลูกบอลเจ็ดลูกซึ่งสองลูกเป็นสีแดงและส่วนที่เหลือเป็นสีน้ำเงิน

เราอยากรู้ว่าเราจะจัดเรียงแถวได้กี่วิธี วิธีหนึ่งคือการวางสีแดงทั้งสองในตำแหน่งแรกและตำแหน่งที่สองและลูกบอลที่เหลือในตำแหน่งที่เหลือ

เช่นเดียวกับกรณีก่อนหน้านี้เราสามารถให้ลูกบอลสีแดงอยู่ในตำแหน่งแรกและตำแหน่งสุดท้ายตามลำดับและครองตำแหน่งอื่น ๆ ด้วยลูกบอลสีน้ำเงิน

ตอนนี้วิธีที่มีประสิทธิภาพในการนับจำนวนวิธีที่เราสามารถจัดเรียงลูกบอลในแถวคือการใช้ตัวเลขแบบผสม เราสามารถเห็นแต่ละตำแหน่งเป็นองค์ประกอบของชุดต่อไปนี้:

จากนั้นจะเหลือเพียงการเลือกชุดย่อยของสององค์ประกอบซึ่งแต่ละองค์ประกอบเหล่านี้แสดงถึงตำแหน่งที่ลูกบอลสีแดงจะครอบครอง เราสามารถเลือกได้ตามความสัมพันธ์ที่กำหนดโดย:

ด้วยวิธีนี้เรามี 21 วิธีในการสั่งซื้อลูกบอลเหล่านี้

แนวคิดทั่วไปของตัวอย่างนี้จะเป็นประโยชน์อย่างมากในการพิสูจน์ทฤษฎีบททวินาม ลองดูกรณีเฉพาะ: ถ้า n = 4 เรามี (a + b) ⁴ซึ่งไม่มีอะไรมากไปกว่า:

เมื่อเราพัฒนาผลิตภัณฑ์นี้เราจะเหลือผลรวมของเงื่อนไขที่ได้จากการคูณหนึ่งองค์ประกอบของแต่ละปัจจัยสี่ (a + b) ดังนั้นเราจะมีเงื่อนไขที่จะอยู่ในรูปแบบ:

ถ้าเราอยากได้เทอมในรูปแบบ a ⁴เราก็ต้องคูณดังนี้:

โปรดทราบว่ามีเพียงวิธีเดียวที่จะได้รับองค์ประกอบนี้ แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรามองหาเทอมของแบบฟอร์ม a ² b ² ? เนื่องจาก "a" และ "b" เป็นจำนวนจริงดังนั้นกฎการสับเปลี่ยนจึงมีผลบังคับใช้เราจึงมีวิธีหนึ่งที่จะได้รับคำนี้คือคูณกับสมาชิกตามที่ลูกศรระบุ

การดำเนินการทั้งหมดนี้มักจะค่อนข้างน่าเบื่อ แต่ถ้าเราเห็นคำว่า "a" เป็นชุดค่าผสมที่เราต้องการทราบว่าเราสามารถเลือก "a" สองตัวจากชุดปัจจัยสี่ได้กี่วิธีเราสามารถใช้แนวคิดจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ได้ ดังนั้นเราจึงมีสิ่งต่อไปนี้:

ดังนั้นเราจึงรู้ว่าในการขยายตัวครั้งสุดท้ายของการแสดงออก (A + B) ⁴เราจะได้ว่า 6a ²ข2 โดยใช้แนวคิดเดียวกันกับองค์ประกอบอื่น ๆ คุณต้อง:

จากนั้นเราเพิ่มนิพจน์ที่ได้รับก่อนหน้านี้และเรามีสิ่งนั้น:

นี่เป็นการพิสูจน์อย่างเป็นทางการสำหรับกรณีทั่วไปโดยที่ "n" คือจำนวนธรรมชาติใด ๆ

สาธิต

สังเกตว่าคำที่เหลือโดยการขยาย (a + b) ⁿอยู่ในรูปแบบ^k b ^n-kโดยที่ k = 0,1, …, n จากแนวคิดของตัวอย่างก่อนหน้านี้เรามีวิธีเลือก« k »ตัวแปร« a »ของปัจจัย« n »คือ:

การเลือกด้วยวิธีนี้เราจะเลือกตัวแปร nk "b" โดยอัตโนมัติ จากสิ่งนี้เป็นไปตามนั้น:

ตัวอย่าง

เมื่อพิจารณาถึง (a + b) ⁵การพัฒนาจะเป็นอย่างไร?

โดยทฤษฎีบททวินามเรามี:

ทฤษฎีบททวินามมีประโยชน์มากหากเรามีนิพจน์ที่เราต้องการทราบว่าสัมประสิทธิ์ของศัพท์เฉพาะคืออะไรโดยไม่ต้องทำการขยายเต็ม ตัวอย่างเช่นเราสามารถใช้สิ่งที่ไม่รู้จักต่อไปนี้: สัมประสิทธิ์ของ x ⁷และ⁹ในการขยาย (x + y) ¹⁶คืออะไร?

โดยทฤษฎีบททวินามเรามีสัมประสิทธิ์คือ:

อีกตัวอย่างหนึ่งคือค่าสัมประสิทธิ์ของ x ⁵และ⁸ในการขยายตัวของ (3x-7y) ¹³คืออะไร?

ก่อนอื่นเราเขียนนิพจน์ใหม่ด้วยวิธีที่สะดวก นี่คือ:

จากนั้นใช้ทฤษฎีบททวินามเราพบว่าค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการคือเมื่อเรามี k = 5

อีกตัวอย่างหนึ่งของการใช้ทฤษฎีบทนี้คือการพิสูจน์อัตลักษณ์ทั่วไปบางประการเช่นที่เราจะกล่าวถึงต่อไป

เอกลักษณ์ 1

ถ้า« n »เป็นจำนวนธรรมชาติเรามี:

สำหรับการพิสูจน์เราใช้ทฤษฎีบททวินามโดยที่ทั้ง« a »และ« b »รับค่าเป็น 1 จากนั้นเรามี:

ด้วยวิธีนี้เราได้พิสูจน์ตัวตนครั้งแรก

เอกลักษณ์ 2

ถ้า "n" เป็นจำนวนธรรมชาติดังนั้น

โดยทฤษฎีบททวินามเรามี:

การสาธิตอีกครั้ง

เราสามารถสร้างข้อพิสูจน์ที่แตกต่างกันสำหรับทฤษฎีบททวินามโดยใช้วิธีอุปนัยและเอกลักษณ์ของปาสคาลซึ่งบอกเราว่าถ้า« n »และ« k »เป็นจำนวนเต็มบวกที่ตรงตาม n ≥ k แล้ว:

หลักฐานการเหนี่ยวนำ

เรามาดูกันก่อนว่าฐานอุปนัยถือ ถ้า n = 1 เรามี:

แท้จริงเราเห็นว่าสมหวัง ตอนนี้ให้ n = j เช่นนั้น:

เราต้องการเห็นว่าสำหรับ n = j + 1 มันเป็นจริงที่:

ดังนั้นเราต้อง:

โดยสมมติฐานเรารู้ว่า:

จากนั้นใช้คุณสมบัติการกระจาย:

ต่อจากนั้นการพัฒนาข้อสรุปแต่ละข้อเรามี:

ตอนนี้ถ้าเราจัดกลุ่มอย่างสะดวกเรามี:

โดยใช้เอกลักษณ์ของปาสคาลเรามี:

สุดท้ายโปรดทราบว่า:

ดังนั้นเราจะเห็นว่าทฤษฎีบททวินามถือไว้สำหรับ "n" ทั้งหมดที่เป็นของจำนวนธรรมชาติและด้วยเหตุนี้การพิสูจน์จึงสิ้นสุดลง

ความอยากรู้

จำนวนรวมกัน (NK) จะเรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์ทวินามเพราะมันเป็นเพราะค่าสัมประสิทธิ์ที่ปรากฏขึ้นในการพัฒนาของทวินาม (A + B) n

ไอแซกนิวตันให้การสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทนี้สำหรับกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง ทฤษฎีบทนี้เรียกว่าทฤษฎีบททวินามของนิวตัน

ในสมัยโบราณผลการศึกษานี้เป็นที่ทราบกันดีในกรณีเฉพาะซึ่ง n = 2 กรณีนี้ถูกกล่าวถึงในองค์ประกอบของยุคลิด

อ้างอิง

1. Johnsonbaugh Richard คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง พช
2. เคนเน็ ธ H. Rosen คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและการประยุกต์ใช้ SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง. McGRAW-HILL
4. ราล์ฟพีกริมัลดี คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและ Combinatorial Addison-Wesley Iberoamericana
5. กรีนสตาร์หลุยส์. . Anthropos คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและ Combinatorial