ทฤษฎีบทนิทานของมิเลทัส: ที่หนึ่งวินาทีและตัวอย่าง - เลข - 2026

ทฤษฎีบทที่หนึ่งและสองของ Thales of Miletusมีพื้นฐานมาจากการกำหนดรูปสามเหลี่ยมจากรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน (ทฤษฎีบทแรก) หรือจากวงกลม (ทฤษฎีบทที่สอง) มีประโยชน์อย่างมากในด้านต่างๆ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทแรกมีประโยชน์มากสำหรับการวัดโครงสร้างขนาดใหญ่เมื่อไม่มีเครื่องมือวัดที่ซับซ้อน

Thales of Miletus เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่ให้การสนับสนุนอย่างมากในเรื่องเรขาคณิตซึ่งทั้งสองทฤษฎีนี้มีความโดดเด่น (ในบางตำราเขาเขียนว่า Thales ด้วย) และการประยุกต์ใช้ที่เป็นประโยชน์ ผลลัพธ์เหล่านี้ถูกนำมาใช้ตลอดประวัติศาสตร์และทำให้สามารถแก้ปัญหาทางเรขาคณิตที่หลากหลายได้

ธาเลสแห่งมิเลทัส

ทฤษฎีบทแรกของ Thales

ทฤษฎีบทแรกของ Thales เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากซึ่งช่วยให้สามารถสร้างสามเหลี่ยมที่คล้ายกับอีกอันที่รู้จักกันก่อนหน้านี้ จากที่นี่ทฤษฎีบทรุ่นต่างๆได้มาซึ่งสามารถนำไปใช้ในหลายบริบท

ก่อนที่จะให้คำแถลงของคุณขอให้เราระลึกถึงความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม โดยพื้นฐานแล้วสามเหลี่ยมสองรูปจะคล้ายกันหากมุมของมันมีความเท่ากัน (มีขนาดเท่ากัน) สิ่งนี้ส่งผลให้ข้อเท็จจริงที่ว่าหากสามเหลี่ยมสองรูปมีความคล้ายคลึงกันด้านที่ตรงกัน (หรือเหมือนกัน) จะเป็นสัดส่วน

ทฤษฎีบทแรกของ Thales ระบุว่าหากลากเส้นขนานกับด้านใดด้านหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดสามเหลี่ยมใหม่ที่ได้จะคล้ายกับสามเหลี่ยมเริ่มต้น

นอกจากนี้ยังได้รับความสัมพันธ์ระหว่างมุมที่เกิดขึ้นดังแสดงในรูปต่อไปนี้

ใบสมัคร

ในบรรดาแอปพลิเคชั่นมากมายสิ่งหนึ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษนั้นโดดเด่นและเกี่ยวข้องกับวิธีการหนึ่งในการวัดที่ทำจากโครงสร้างขนาดใหญ่ในสมัยโบราณซึ่งเป็นช่วงเวลาที่ Thales อาศัยอยู่และไม่มีอุปกรณ์วัดที่ทันสมัย พวกเขามีอยู่แล้ว

ว่ากันว่านี่คือวิธีที่ Thales จัดการวัดพีระมิดที่สูงที่สุดในอียิปต์ Cheops ด้วยเหตุนี้ Thales จึงคิดว่าการสะท้อนของรังสีดวงอาทิตย์สัมผัสพื้นดินเป็นเส้นขนาน ภายใต้สมมติฐานนี้เขาตอกไม้หรือไม้เท้าลงในพื้นดินในแนวดิ่ง

จากนั้นเขาก็ใช้ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมสองอันที่เกิดขึ้นอันหนึ่งเกิดจากความยาวของเงาของพีระมิด (ซึ่งสามารถคำนวณได้ง่าย) และความสูงของพีระมิด (ไม่ทราบ) และอีกรูปหนึ่งเกิดจากความยาวของเงา และความสูงของก้าน (ซึ่งสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดาย)

การใช้สัดส่วนระหว่างความยาวเหล่านี้ความสูงของพีระมิดสามารถแก้ไขและทราบได้

แม้ว่าวิธีการวัดนี้สามารถให้ข้อผิดพลาดในการประมาณที่สำคัญเกี่ยวกับความแม่นยำของความสูงและขึ้นอยู่กับความขนานของรังสีสุริยะ (ซึ่งขึ้นอยู่กับเวลาที่แม่นยำ) แต่ต้องยอมรับว่าเป็นความคิดที่แยบยลมาก และเป็นทางเลือกในการวัดผลที่ดีสำหรับเวลานั้น

ตัวอย่าง

ค้นหาค่า x ในแต่ละกรณี:

ทฤษฎีบทที่สองของ Thales

ทฤษฎีบทที่สองของ Thales กำหนดสามเหลี่ยมมุมฉากที่จารึกเป็นวงกลมในแต่ละจุดที่เหมือนกัน

สามเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ที่เส้นรอบวงคือรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่บนเส้นรอบวงดังนั้นจึงเหลืออยู่ในนั้น

โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทที่สองของ Thales ระบุสิ่งต่อไปนี้: กำหนดวงกลมที่มีศูนย์กลาง O และเส้นผ่านศูนย์กลาง AC แต่ละจุด B บนเส้นรอบวง (นอกเหนือจาก A และ C) กำหนดสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ด้วยมุมฉาก

ขอให้เราสังเกตว่าทั้ง OA และ OB และ OC สอดคล้องกับรัศมีของเส้นรอบวง ดังนั้นการวัดของพวกเขาจึงเหมือนกัน จากนี้จะเป็นไปตามที่สามเหลี่ยม OAB และ OCB เป็นหน้าจั่วโดยที่

เป็นที่ทราบกันดีว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ180º ใช้สิ่งนี้กับสามเหลี่ยม ABC เรามี:

2b + 2a = 180º.

เรามี b + a = 90ºและ b + a =

สังเกตว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่จัดทำโดยทฤษฎีบทที่สองของ Thales นั้นแม่นยำตรงที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นรอบวง ดังนั้นจึงถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยครึ่งวงกลมที่มีจุดของสามเหลี่ยม ในกรณีนี้คือครึ่งวงกลมด้านบน

ให้เราสังเกตด้วยว่าในสามเหลี่ยมมุมฉากที่ได้จากทฤษฎีบทที่สองของธาเลสด้านตรงข้ามมุมฉากจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันโดย OA และ OC (รัศมี) ในทางกลับกันการวัดนี้จะเท่ากับส่วน OB (เช่นเดียวกับรัศมี) ซึ่งสอดคล้องกับค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม ABC โดย B

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือความยาวของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่สอดคล้องกับจุดยอด B จะถูกกำหนดโดยครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก จำไว้ว่าค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมคือส่วนจากจุดยอดจุดหนึ่งไปยังจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ในกรณีนี้ส่วน BO

เส้นรอบวงที่ล้อมรอบ

อีกวิธีหนึ่งในการดูทฤษฎีบทที่สองของ Thales คือการใช้เส้นรอบวงที่ล้อมรอบเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

โดยทั่วไปเส้นรอบวงที่ล้อมรอบไปยังรูปหลายเหลี่ยมประกอบด้วยเส้นรอบวงที่ผ่านจุดยอดแต่ละจุดเมื่อใดก็ตามที่สามารถวาดได้

ด้วยการใช้ทฤษฎีบทที่สองของธาเลสซึ่งกำหนดให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเราสามารถสร้างเส้นรอบวงที่มีเส้นรอบวงอยู่เสมอโดยมีรัศมีเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉากและเส้นรอบวง (ศูนย์กลางของเส้นรอบวง) เท่ากับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ใบสมัคร

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทที่สองของ Thales ที่สำคัญมากและอาจใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดคือการค้นหาเส้นสัมผัสของวงกลมที่กำหนดผ่านจุด P ภายนอก (รู้จักกัน)

สังเกตว่าเมื่อกำหนดวงกลม (วาดเป็นสีน้ำเงินในรูปด้านล่าง) และจุดภายนอก P มีเส้นสัมผัสกับวงกลมที่ผ่าน P ให้ T และ T 'เป็นจุดสัมผัส r รัศมีของวงกลมและ หรือศูนย์.

เป็นที่ทราบกันดีว่าส่วนที่เคลื่อนจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังจุดสัมผัสที่เหมือนกันนั้นตั้งฉากกับเส้นสัมผัสนี้ ดังนั้นมุม OTP จึงถูกต้อง

จากสิ่งที่เราเห็นก่อนหน้านี้ในทฤษฎีบทแรกของ Thales และเวอร์ชันที่แตกต่างกันเราเห็นว่าเป็นไปได้ที่จะจารึกสามเหลี่ยม OTP ไว้ในวงกลมอื่น (เป็นสีแดง)

ในทำนองเดียวกันจะได้รับว่า OT'P สามเหลี่ยมสามารถถูกจารึกไว้ภายในเส้นรอบวงก่อนหน้าเดียวกัน

ตามทฤษฎีบทที่สองของ Thales เรายังได้ว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นรอบวงใหม่นี้คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม OTP (ซึ่งเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม OT'P) และจุดศูนย์กลางคือจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากนี้

ในการคำนวณจุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงใหม่ก็เพียงพอแล้วที่จะคำนวณจุดกึ่งกลางระหว่างจุดศูนย์กลาง - พูดว่า M - ของวงกลมเริ่มต้น (ซึ่งเรารู้อยู่แล้ว) และจุด P (ซึ่งเรารู้ด้วย) จากนั้นรัศมีจะเป็นระยะห่างระหว่างจุดนี้ M และ P

ด้วยรัศมีและศูนย์กลางของวงกลมสีแดงเราสามารถหาสมการคาร์ทีเซียนซึ่งเราจำได้ว่ากำหนดโดย (xh) ² + (yk) ² = c ²โดยที่ c คือรัศมีและจุด (h, k) คือ ศูนย์กลางของเส้นรอบวง

เมื่อรู้ว่าสมการของทั้งสองวงกลมแล้วเราสามารถตัดกันพวกมันได้โดยการแก้ระบบสมการที่สร้างขึ้นโดยพวกมันและได้รับจุดสัมผัส T และ T ' ในที่สุดเพื่อทราบเส้นสัมผัสที่ต้องการก็เพียงพอที่จะหาสมการของเส้นที่ผ่าน T และ P และผ่าน T 'และ P

ตัวอย่าง

พิจารณาเส้นรอบวงของเส้นผ่านศูนย์กลาง AC ศูนย์กลาง O และรัศมี 1 ซม. ให้ B เป็นจุดบนเส้นรอบวงเพื่อให้ AB = AC AB สูงแค่ไหน?

สารละลาย

ตามทฤษฎีบทที่สองของ Thales เราพบว่าสามเหลี่ยม ABC นั้นถูกต้องและด้านตรงข้ามมุมฉากตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางซึ่งในกรณีนี้จะวัดได้ 2 ซม. (รัศมีคือ 1 ซม.) จากนั้นโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสเรามี:

อ้างอิง

1. Ana Lira, PJ (2549). เรขาคณิตและตรีโกณมิติ. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral
2. Goodman, A. , & Hirsch, L. (1996). พีชคณิตและตรีโกณมิติกับเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
3. Gutiérrez, Á. ถึง. (2004) ระเบียบวิธีและการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ในสพท. กระทรวงศึกษาธิการ
4. IGER. (2014) คณิตศาสตร์ภาคเรียนที่ 2 Zaculeu. กัวเตมาลา: IGER.
5. JoséJiménez, LJ (2006). คณิตศาสตร์ 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. ม., ส. (2540). ตรีโกณมิติและเรขาคณิตวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
7. เปเรซ, MA (2009). ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์: ความท้าทายและการพิชิตด้วยตัวละคร บรรณาธิการวิสัยทัศน์ Libros
8. Viloria, N. , & Leal, J. (2005). เรขาคณิตวิเคราะห์เครื่องบิน บทบรรณาธิการ Venezolana CA