- ทฤษฎีบทของ Moivre คืออะไร?
- สาธิต
- ฐานอุปนัย
- สมมติฐานอุปนัย
- การยืนยัน
- จำนวนเต็มลบ
- แบบฝึกหัดที่แก้ไข
- การคำนวณพลังบวก
- แบบฝึกหัด 1
- สารละลาย
- แบบฝึกหัด 2
- สารละลาย
- การคำนวณพลังลบ
- แบบฝึกหัด 3
- สารละลาย
- อ้างอิง
ทฤษฎีบทของ Moivreใช้พีชคณิตกระบวนการพื้นฐานเช่นอำนาจและรากสกัดในตัวเลขที่ซับซ้อน ทฤษฎีบทนี้ระบุโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อดัง Abraham de Moivre (1730) ซึ่งเชื่อมโยงจำนวนเชิงซ้อนกับตรีโกณมิติ
Abraham Moivre สร้างความสัมพันธ์นี้ผ่านการแสดงออกของไซน์และโคไซน์ นักคณิตศาสตร์คนนี้สร้างสูตรขึ้นมาซึ่งเป็นไปได้ที่จะเพิ่มจำนวนเชิงซ้อน z ยกกำลัง n ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่าหรือเท่ากับ 1

ทฤษฎีบทของ Moivre คืออะไร?
ทฤษฎีบทของ Moivre ระบุสิ่งต่อไปนี้:
ถ้าเรามีจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว z = r Ɵโดยที่ r คือโมดูลของจำนวนเชิงซ้อน z และมุมƟเรียกว่าแอมพลิจูดหรืออาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ที่มี 0 ≤Ɵ≤2πเพื่อคำนวณ n– พลังมันไม่จำเป็นต้องคูณด้วยตัวมันเอง n-times; นั่นคือไม่จำเป็นต้องทำผลิตภัณฑ์ต่อไปนี้:
Z n = z * z * z * . . * z = r Ɵ * r Ɵ * r Ɵ *. . . * r Ɵ n- ครั้ง.
ในทางตรงกันข้ามทฤษฎีบทกล่าวว่าเมื่อเขียน z ในรูปตรีโกณมิติเพื่อคำนวณกำลังที่ n เราจะดำเนินการดังนี้:
ถ้า z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ) แล้ว z n = r n (cos n * Ɵ + i * sin n * Ɵ)
ตัวอย่างเช่นถ้า n = 2 แล้ว Z 2 r = 2 ถ้า n = 3 แล้ว z 3 = z 2 * z นอกจากนี้:
Z 3 r = 2 * r = R 3
ด้วยวิธีนี้อัตราส่วนตรีโกณมิติของไซน์และโคไซน์สำหรับการทวีคูณของมุมได้ตราบเท่าที่ทราบอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม
ในทำนองเดียวกันสามารถใช้เพื่อค้นหานิพจน์ที่แม่นยำและสับสนน้อยกว่าสำหรับรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z ดังนั้น z n = 1
เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Moivre จะใช้หลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์: ถ้าจำนวนเต็ม "a" มีคุณสมบัติ "P" และถ้าสำหรับจำนวนเต็ม "n" ที่มากกว่า "a" ที่มีคุณสมบัติ "P" มันเติมเต็มให้ n + 1 มีคุณสมบัติ "P" ด้วยดังนั้นจำนวนเต็มทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ "a" มีคุณสมบัติ "P"
สาธิต
ดังนั้นการพิสูจน์ทฤษฎีบททำได้ตามขั้นตอนต่อไปนี้:
ฐานอุปนัย
จะถูกตรวจสอบก่อนสำหรับ n = 1
เนื่องจาก z 1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) 1 = r 1 (cos Ɵ + i * sin Ɵ) 1 = r 1ทฤษฎีบทถือสำหรับ n = 1
สมมติฐานอุปนัย
สูตรนี้ถือว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกนั่นคือ n = k
z k = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) k = r k (cos k Ɵ + i * sin k Ɵ)
การยืนยัน
พิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงสำหรับ n = k + 1
ตั้งแต่ z k + 1 = z k * z แล้ว z k + 1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) k + 1 = r k (cos kƟ + i * sin kƟ) * r (cos Ɵ + ฉัน* senƟ)
จากนั้นนิพจน์จะถูกคูณ:
z k + 1 = r k + 1 ((cos kƟ) * (cosƟ) + (cos kƟ) * (i * sinƟ) + (i * sin kƟ) * (cosƟ) + (i * sin kƟ) * (i * senƟ)).
ชั่วขณะหนึ่งปัจจัย r k + 1จะถูกละเว้นและปัจจัยทั่วไปที่ฉันถูกนำมา:
(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (sinƟ) + i (sin kƟ) * (cosƟ) + i 2 (sin kƟ) * (sinƟ)
เนื่องจาก i 2 = -1 เราแทนที่มันในนิพจน์และเราได้รับ:
(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (sinƟ) + i (sin kƟ) * (cosƟ) - (sin kƟ) * (sinƟ)
ตอนนี้มีการเรียงลำดับส่วนจริงและส่วนจินตภาพ:
(cos kƟ) * (cosƟ) - (sin kƟ) * (sinƟ) + i.
เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์อัตลักษณ์ตรีโกณมิติของผลรวมของมุมจะถูกนำไปใช้กับโคไซน์และไซน์ซึ่ง ได้แก่ :
cos (A + B) = cos A * cos B - บาป A *บาป B
บาป (A + B) = บาป A * cos B - cos A * cos B
ในกรณีนี้ตัวแปรคือมุมƟและkƟ การใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติเรามี:
cos kƟ * cosƟ - บาปkƟ * sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)
บาปkƟ * cosƟ + cos kƟ * sinƟ = บาป (kƟ + Ɵ)
ด้วยวิธีนี้นิพจน์คือ:
z k + 1 = r k + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + ฉัน*บาป (kƟ + Ɵ))
z k + 1 = r k + 1 (cos + i * sin)
ดังนั้นจึงสามารถแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์เป็นจริงสำหรับ n = k + 1 โดยหลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์สรุปได้ว่าผลลัพธ์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด นั่นคือ n ≥ 1
จำนวนเต็มลบ
ยังใช้ทฤษฎีบทของ Moivre เมื่อ n ≤ 0 ให้เราพิจารณาจำนวนเต็มลบ« n »; จากนั้น "n" สามารถเขียนเป็น "-m" นั่นคือ n = -m โดยที่ "m" เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = (cos Ɵ + i * sin Ɵ) -m
เพื่อให้ได้เลขชี้กำลัง« m »ในทางบวกนิพจน์จะเขียนผกผัน:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos Ɵ + i * sin Ɵ) ม.
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos mƟ + i * sin mƟ)
ตอนนี้ใช้ว่าถ้า z = a + b * i เป็นจำนวนเชิงซ้อนแล้ว 1 ÷ z = ab * i ดังนั้น:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (mƟ) - ฉัน*บาป (mƟ)
การใช้ cos (x) = cos (-x) และ -sen (x) = sin (-x) นั้นเรามี:
(cos Ɵ + ฉัน*บาปƟ) n =
(cos Ɵ + ฉัน*บาปƟ) n = cos (- mƟ) + ฉัน*บาป (-mƟ)
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (nƟ) - ฉัน*บาป (nƟ)
ดังนั้นอาจกล่าวได้ว่าทฤษฎีบทใช้กับค่าจำนวนเต็มทั้งหมดของ "n"
แบบฝึกหัดที่แก้ไข
การคำนวณพลังบวก
หนึ่งในการดำเนินการที่มีจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วคือการคูณด้วยสองสิ่งนี้ ในกรณีนั้นโมดูลจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์
หากคุณมีจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน z 1 และ z 2และคุณต้องการคำนวณ (z 1 * z 2 ) 2ให้ดำเนินการดังนี้:
z 1 z 2 = *
คุณสมบัติการกระจายใช้:
z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i * cos Ɵ 1 * i * sin Ɵ 2 + i * sin Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i 2 * sin Ɵ 1 * sin Ɵ 2 ).
พวกมันถูกจัดกลุ่มโดยใช้คำว่า "i" เป็นปัจจัยร่วมของนิพจน์:
z 1 z 2 = r 1 r 2
เนื่องจาก i 2 = -1 จึงถูกแทนที่ในนิพจน์:
z 1 z 2 = r 1 r 2
คำศัพท์จริงถูกจัดกลุ่มใหม่ด้วยของจริงและจินตภาพด้วยจินตภาพ:
z 1 z 2 = r 1 r 2
สุดท้ายคุณสมบัติตรีโกณมิติใช้:
Z 1 Z 2 r = 1 R 2
สรุปแล้ว:
(Z 1 * Z 2 ) 2 = (R 1 R 2 ) 2
= ร1 2ร2 2 .
แบบฝึกหัด 1
เขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วถ้า z = - 2 -2i จากนั้นใช้ทฤษฎีบท Moivre ของการคำนวณ Z 4
สารละลาย
จำนวนเชิงซ้อน z = -2 -2i แสดงในรูปสี่เหลี่ยม z = a + bi โดยที่:
a = -2.
b = -2.
เมื่อรู้ว่ารูปแบบเชิงขั้วคือ z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ) เราจำเป็นต้องกำหนดค่าของโมดูลัส "r" และค่าของอาร์กิวเมนต์ "Ɵ" เนื่องจาก r = √ (a² + b²) ค่าที่กำหนดจะถูกแทนที่:
r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)
= √ (4 + 4)
= √ (8)
= √ (4 * 2)
= 2√2
จากนั้นในการกำหนดค่าของ«Ɵ»จะใช้รูปทรงสี่เหลี่ยมของสิ่งนี้ซึ่งกำหนดโดยสูตร:
ตาลƟ = b ÷ก
ตาลƟ = (-2) ÷ (-2) = 1.
เนื่องจาก tan (Ɵ) = 1 และเรามี <0 เราจึงมี:
Ɵ = arctan (1) + Π
= Π / 4 + Π
= 5Π / 4.
เนื่องจากได้รับค่า« r »และ«Ɵ»แล้วจำนวนเชิงซ้อน z = -2 -2i สามารถแสดงในรูปเชิงขั้วได้โดยการแทนที่ค่า:
z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sin (5Π / 4))
ตอนนี้เราใช้ทฤษฎีบทของ Moivre เพื่อคำนวณ z 4 :
z 4 = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sin (5Π / 4)) 4
= 32 (cos (5Π) + i * sin (5Π))
แบบฝึกหัด 2
ค้นหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนโดยแสดงในรูปเชิงขั้ว:
z1 = 4 (เพราะ 50 o + i * sin 50 o )
z2 = 7 (cos 100 o + i * sin 100 o )
จากนั้นคำนวณ (z1 * z2) ²
สารละลาย
ขั้นแรกให้สร้างผลคูณของตัวเลขที่กำหนด:
z 1 z 2 = *
จากนั้นโมดูลจะถูกคูณกันและมีการเพิ่มอาร์กิวเมนต์:
z 1 z 2 = (4 * 7) *
นิพจน์ถูกทำให้ง่ายขึ้น:
z 1 z 2 = 28 * (cos 150 o + (i * sin 150 o )
สุดท้ายทฤษฎีบทของ Moivre ใช้:
(z1 * z2) ² = (28 * (cos 150 o + (i * sin 150 o )) ² = 784 (cos 300 o + (i * sin 300 o ))
การคำนวณพลังลบ
ในการหารจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน z 1 และ z 2ในรูปเชิงขั้วโมดูลัสจะถูกหารและอาร์กิวเมนต์จะถูกลบออก ดังนั้นผลหารคือ z 1 ÷ z 2และแสดงดังนี้:
z 1 ÷ z 2 = r1 / r2 ()
เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ถ้าเราต้องการคำนวณ (z1 ÷ z2) ³การหารจะถูกดำเนินการก่อนจากนั้นจึงใช้ทฤษฎีบทของ Moivre
แบบฝึกหัด 3
ลูกเต๋า:
z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * บาป (3π / 4))
z2 = 4 (cos (π / 4) + i * บาป (π / 4))
คำนวณ (z1 ÷ z2) ³
สารละลาย
ทำตามขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้นสรุปได้ว่า:
(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * บาป (3π / 4 - π / 4))) ³
= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³
= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2))
อ้างอิง
- อาเธอร์กู๊ดแมน LH (2539) พีชคณิตและตรีโกณมิติกับเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
- Croucher, M. (nd). จาก Moivre's Theorem for Trig Identities โครงการสาธิตวุลแฟรม
- เฮซวิงเคิล, M. (2001). สารานุกรมคณิตศาสตร์.
- แม็กซ์ปีเตอร์ส WL (2515) พีชคณิตและตรีโกณมิติ.
- เปเรซ, ซีดี (2010). การศึกษาของเพียร์สัน.
- สแตนลีย์, G. (nd). พีชคณิตเชิงเส้น Graw-Hill
- , ม. (2540). การคำนวณล่วงหน้า การศึกษาของเพียร์สัน.
