ทฤษฎีบทของ MOIVRE: แบบฝึกหัดพิสูจน์และแก้ไข - เลข - 2026

ทฤษฎีบทของ Moivreใช้พีชคณิตกระบวนการพื้นฐานเช่นอำนาจและรากสกัดในตัวเลขที่ซับซ้อน ทฤษฎีบทนี้ระบุโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อดัง Abraham de Moivre (1730) ซึ่งเชื่อมโยงจำนวนเชิงซ้อนกับตรีโกณมิติ

Abraham Moivre สร้างความสัมพันธ์นี้ผ่านการแสดงออกของไซน์และโคไซน์ นักคณิตศาสตร์คนนี้สร้างสูตรขึ้นมาซึ่งเป็นไปได้ที่จะเพิ่มจำนวนเชิงซ้อน z ยกกำลัง n ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่าหรือเท่ากับ 1

ทฤษฎีบทของ Moivre คืออะไร?

ทฤษฎีบทของ Moivre ระบุสิ่งต่อไปนี้:

ถ้าเรามีจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว z = r _Ɵโดยที่ r คือโมดูลของจำนวนเชิงซ้อน z และมุมƟเรียกว่าแอมพลิจูดหรืออาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ที่มี 0 ≤Ɵ≤2πเพื่อคำนวณ n– พลังมันไม่จำเป็นต้องคูณด้วยตัวมันเอง n-times; นั่นคือไม่จำเป็นต้องทำผลิตภัณฑ์ต่อไปนี้:

Z ⁿ = z _* z _* z _{* . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n- ครั้ง.

ในทางตรงกันข้ามทฤษฎีบทกล่าวว่าเมื่อเขียน z ในรูปตรีโกณมิติเพื่อคำนวณกำลังที่ n เราจะดำเนินการดังนี้:

ถ้า z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) แล้ว z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ)

ตัวอย่างเช่นถ้า n = 2 แล้ว Z ² r = 2 ถ้า n = 3 แล้ว z ³ = z ² _* z นอกจากนี้:

Z ³ r = ² _* r = R 3

ด้วยวิธีนี้อัตราส่วนตรีโกณมิติของไซน์และโคไซน์สำหรับการทวีคูณของมุมได้ตราบเท่าที่ทราบอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม

ในทำนองเดียวกันสามารถใช้เพื่อค้นหานิพจน์ที่แม่นยำและสับสนน้อยกว่าสำหรับรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z ดังนั้น z ⁿ = 1

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Moivre จะใช้หลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์: ถ้าจำนวนเต็ม "a" มีคุณสมบัติ "P" และถ้าสำหรับจำนวนเต็ม "n" ที่มากกว่า "a" ที่มีคุณสมบัติ "P" มันเติมเต็มให้ n + 1 มีคุณสมบัติ "P" ด้วยดังนั้นจำนวนเต็มทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ "a" มีคุณสมบัติ "P"

สาธิต

ดังนั้นการพิสูจน์ทฤษฎีบททำได้ตามขั้นตอนต่อไปนี้:

ฐานอุปนัย

จะถูกตรวจสอบก่อนสำหรับ n = 1

เนื่องจาก z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ทฤษฎีบทถือสำหรับ n = 1

สมมติฐานอุปนัย

สูตรนี้ถือว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกนั่นคือ n = k

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ)

การยืนยัน

พิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงสำหรับ n = k + 1

ตั้งแต่ z ^{k + 1} = z ^k _* z แล้ว z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + ฉัน_* senƟ)

จากนั้นนิพจน์จะถูกคูณ:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

ชั่วขณะหนึ่งปัจจัย r ^{k + 1}จะถูกละเว้นและปัจจัยทั่วไปที่ฉันถูกนำมา:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ)

เนื่องจาก i ² = -1 เราแทนที่มันในนิพจน์และเราได้รับ:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ)

ตอนนี้มีการเรียงลำดับส่วนจริงและส่วนจินตภาพ:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์อัตลักษณ์ตรีโกณมิติของผลรวมของมุมจะถูกนำไปใช้กับโคไซน์และไซน์ซึ่ง ได้แก่ :

cos (A + B) = cos A _* cos B - บาป A _*บาป B

บาป (A + B) = บาป A _* cos B - cos A _* cos B

ในกรณีนี้ตัวแปรคือมุมƟและkƟ การใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติเรามี:

cos kƟ _* cosƟ - บาปkƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

บาปkƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = บาป (kƟ + Ɵ)

ด้วยวิธีนี้นิพจน์คือ:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + ฉัน_*บาป (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin)

ดังนั้นจึงสามารถแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์เป็นจริงสำหรับ n = k + 1 โดยหลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์สรุปได้ว่าผลลัพธ์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด นั่นคือ n ≥ 1

จำนวนเต็มลบ

ยังใช้ทฤษฎีบทของ Moivre เมื่อ n ≤ 0 ให้เราพิจารณาจำนวนเต็มลบ« n »; จากนั้น "n" สามารถเขียนเป็น "-m" นั่นคือ n = -m โดยที่ "m" เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

เพื่อให้ได้เลขชี้กำลัง« m »ในทางบวกนิพจน์จะเขียนผกผัน:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^ม.

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

ตอนนี้ใช้ว่าถ้า z = a + b * i เป็นจำนวนเชิงซ้อนแล้ว 1 ÷ z = ab * i ดังนั้น:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - ฉัน_*บาป (mƟ)

การใช้ cos (x) = cos (-x) และ -sen (x) = sin (-x) นั้นเรามี:

(cos Ɵ + ฉัน_*บาปƟ) ⁿ =

(cos Ɵ + ฉัน_*บาปƟ) ⁿ = cos (- mƟ) + ฉัน_*บาป (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - ฉัน_*บาป (nƟ)

ดังนั้นอาจกล่าวได้ว่าทฤษฎีบทใช้กับค่าจำนวนเต็มทั้งหมดของ "n"

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

การคำนวณพลังบวก

หนึ่งในการดำเนินการที่มีจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วคือการคูณด้วยสองสิ่งนี้ ในกรณีนั้นโมดูลจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์

หากคุณมีจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน z _{1 และ} z ₂และคุณต้องการคำนวณ (z ₁ * z ₂ ) ²ให้ดำเนินการดังนี้:

z ₁ z ₂ = *

คุณสมบัติการกระจายใช้:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ).

พวกมันถูกจัดกลุ่มโดยใช้คำว่า "i" เป็นปัจจัยร่วมของนิพจน์:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

เนื่องจาก i ² = -1 จึงถูกแทนที่ในนิพจน์:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

คำศัพท์จริงถูกจัดกลุ่มใหม่ด้วยของจริงและจินตภาพด้วยจินตภาพ:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

สุดท้ายคุณสมบัติตรีโกณมิติใช้:

Z ₁ Z ₂ r = ₁ R 2

สรุปแล้ว:

(Z ₁ * Z ₂ ) ² = (R ₁ R ₂ ) ²

= ร₁ ²ร₂ ² .

แบบฝึกหัด 1

เขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วถ้า z = - 2 -2i จากนั้นใช้ทฤษฎีบท Moivre ของการคำนวณ Z 4

สารละลาย

จำนวนเชิงซ้อน z = -2 -2i แสดงในรูปสี่เหลี่ยม z = a + bi โดยที่:

a = -2.

b = -2.

เมื่อรู้ว่ารูปแบบเชิงขั้วคือ z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) เราจำเป็นต้องกำหนดค่าของโมดูลัส "r" และค่าของอาร์กิวเมนต์ "Ɵ" เนื่องจาก r = √ (a² + b²) ค่าที่กำหนดจะถูกแทนที่:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2

จากนั้นในการกำหนดค่าของ«Ɵ»จะใช้รูปทรงสี่เหลี่ยมของสิ่งนี้ซึ่งกำหนดโดยสูตร:

ตาลƟ = b ÷ก

ตาลƟ = (-2) ÷ (-2) = 1.

เนื่องจาก tan (Ɵ) = 1 และเรามี <0 เราจึงมี:

Ɵ = arctan (1) + Π

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

เนื่องจากได้รับค่า« r »และ«Ɵ»แล้วจำนวนเชิงซ้อน z = -2 -2i สามารถแสดงในรูปเชิงขั้วได้โดยการแทนที่ค่า:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4))

ตอนนี้เราใช้ทฤษฎีบทของ Moivre เพื่อคำนวณ z ⁴ :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π))

แบบฝึกหัด 2

ค้นหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนโดยแสดงในรูปเชิงขั้ว:

z1 = 4 (เพราะ 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o )

จากนั้นคำนวณ (z1 * z2) ²

สารละลาย

ขั้นแรกให้สร้างผลคูณของตัวเลขที่กำหนด:

z ₁ z ₂ = *

จากนั้นโมดูลจะถูกคูณกันและมีการเพิ่มอาร์กิวเมนต์:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

นิพจน์ถูกทำให้ง่ายขึ้น:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )

สุดท้ายทฤษฎีบทของ Moivre ใช้:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o ))

การคำนวณพลังลบ

ในการหารจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน z _{1 และ} z ₂ในรูปเชิงขั้วโมดูลัสจะถูกหารและอาร์กิวเมนต์จะถูกลบออก ดังนั้นผลหารคือ z ₁ ÷ z ₂และแสดงดังนี้:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ()

เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ถ้าเราต้องการคำนวณ (z1 ÷ z2) ³การหารจะถูกดำเนินการก่อนจากนั้นจึงใช้ทฤษฎีบทของ Moivre

แบบฝึกหัด 3

ลูกเต๋า:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * บาป (3π / 4))

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * บาป (π / 4))

คำนวณ (z1 ÷ z2) ³

สารละลาย

ทำตามขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้นสรุปได้ว่า:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * บาป (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2))

อ้างอิง

1. อาเธอร์กู๊ดแมน LH (2539) พีชคณิตและตรีโกณมิติกับเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
2. Croucher, M. (nd). จาก Moivre's Theorem for Trig Identities โครงการสาธิตวุลแฟรม
3. เฮซวิงเคิล, M. (2001). สารานุกรมคณิตศาสตร์.
4. แม็กซ์ปีเตอร์ส WL (2515) พีชคณิตและตรีโกณมิติ.
5. เปเรซ, ซีดี (2010). การศึกษาของเพียร์สัน.
6. สแตนลีย์, G. (nd). พีชคณิตเชิงเส้น Graw-Hill
7. , ม. (2540). การคำนวณล่วงหน้า การศึกษาของเพียร์สัน.