สีเขียว 's ทฤษฎีบทเป็นวิธีการคำนวณที่ใช้ในการเชื่อมต่อปริพันธ์เส้นปริพันธ์คู่หรือพื้นที่ผิว ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องต้องแสดงเป็นฟิลด์เวกเตอร์และกำหนดไว้ภายในเส้นทาง C
ตัวอย่างเช่นนิพจน์อินทิกรัลบรรทัดสามารถแก้ได้ยากมาก อย่างไรก็ตามการใช้ทฤษฎีบทของกรีนทำให้ปริพันธ์คู่กลายเป็นพื้นฐาน การเคารพทิศทางบวกของวิถีเป็นสิ่งสำคัญเสมอซึ่งหมายถึงทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
ทฤษฎีบทของกรีนเป็นกรณีเฉพาะของทฤษฎีบทของสโตกส์ซึ่งการฉายภาพของฟังก์ชันเวกเตอร์จะดำเนินการในระนาบ xy
คำนิยาม
การแสดงออกของ Green's Theorem มีดังนี้:
คำแรกแสดงปริพันธ์ของเส้นที่กำหนดโดยเส้นทาง“ C” ของผลคูณสเกลาร์ระหว่างฟังก์ชันเวกเตอร์“ F” และของเวกเตอร์“ r”
C: เป็นเส้นทางที่กำหนดไว้ซึ่งฟังก์ชันเวกเตอร์จะถูกฉายตราบเท่าที่กำหนดไว้สำหรับระนาบนั้น
F: ฟังก์ชัน Vector โดยที่แต่ละองค์ประกอบถูกกำหนดโดยฟังก์ชันเช่นนี้ (f, g)
r: มันคือเวกเตอร์แทนเจนต์ของพื้นที่ R ซึ่งอินทิกรัลถูกกำหนดไว้ ในกรณีนี้เราทำงานโดยใช้ส่วนต่างของเวกเตอร์นี้
ในระยะที่สองเราจะเห็นทฤษฎีบทของกรีนได้รับการพัฒนาโดยที่อินทิกรัลคู่ที่กำหนดไว้ในพื้นที่ R ของความแตกต่างของอนุพันธ์ย่อยของ g และ f นั้นสังเกตได้โดยเทียบกับ x และ y ตามลำดับ โดยความแตกต่างของพื้นที่ที่ไม่มีอะไรมากไปกว่าผลคูณของความแตกต่างสองมิติ (dx.dy)
ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้อย่างสมบูรณ์แบบสำหรับปริพันธ์ของปริภูมิและพื้นผิว
สาธิต
ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของกรีนด้วยวิธีง่ายๆงานนี้จะแบ่งออกเป็น 2 ส่วน ก่อนอื่นเราจะถือว่าฟังก์ชันเวกเตอร์ F มีคำจำกัดความในข้อที่1 เท่านั้น ในขณะที่ฟังก์ชัน "g" ที่ตรงกับข้อjจะเท่ากับศูนย์
ผู้เขียน
F = f (x, y) ผม + g (x, y) j = f (x, y) ผม + 0
r = x i + y j
dr = dx ผม + dy j
อันดับแรกเราพัฒนาเส้นอินทิกรัลเหนือพา ธ C ซึ่งพา ธ ถูกแบ่งออกเป็น 2 ส่วนโดยเริ่มจาก a ถึง b ก่อนแล้วจาก b ถึง a
นิยามของทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสถูกนำไปใช้กับอินทิกรัลที่แน่นอน
นิพจน์ถูกจัดเรียงใหม่เป็นอินทิกรัลเดียวค่าลบถูกสร้างขึ้นเป็นปัจจัยร่วมและลำดับของปัจจัยจะกลับกัน
เมื่อสังเกตนิพจน์นี้โดยละเอียดจะเห็นได้ว่าเมื่อใช้เกณฑ์ฟังก์ชันดั้งเดิมเราอยู่ต่อหน้าอินทิกรัลของนิพจน์ที่ได้มาจาก f เทียบกับ y ประเมินในพารามิเตอร์
ตอนนี้ก็เพียงพอที่จะสมมติว่าฟังก์ชันเวกเตอร์ F ถูกกำหนดไว้สำหรับ g (x, y) jเท่านั้น เมื่อดำเนินการในลักษณะที่คล้ายคลึงกับกรณีก่อนหน้าจะได้รับสิ่งต่อไปนี้:
ในการดำเนินการให้เสร็จสิ้นการพิสูจน์ 2 ตัวจะถูกนำมารวมกันในกรณีที่ฟังก์ชันเวกเตอร์รับค่าสำหรับทั้งสองค่า ด้วยวิธีนี้จะแสดงให้เห็นว่าอินทิกรัลของเส้นหลังจากถูกกำหนดและถือว่าเป็นวิถีมิติเดียวสามารถพัฒนาได้อย่างสมบูรณ์สำหรับระนาบและอวกาศได้อย่างไร
F = f (x, y) i + g (x, y) j
ด้วยวิธีนี้ทฤษฎีบทของกรีนได้รับการพิสูจน์แล้ว
การประยุกต์ใช้งาน
การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของกรีนนั้นกว้างในสาขาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ สิ่งเหล่านี้ขยายไปถึงแอปพลิเคชันหรือการใช้งานใด ๆ ที่สามารถกำหนดให้กับการรวมบรรทัด
งานเชิงกลที่ทำโดยแรง F ผ่านเส้นทาง C สามารถพัฒนาได้โดยอินทิกรัลของเส้นที่แสดงเป็นอินทิกรัลคู่ของพื้นที่โดยทฤษฎีบทของกรีน
ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของร่างกายจำนวนมากที่อยู่ภายใต้แรงภายนอก ณ จุดต่างๆของการใช้งานยังตอบสนองต่อปริพันธ์ของเส้นที่สามารถพัฒนาได้ด้วยทฤษฎีบทของกรีน
สิ่งนี้มีฟังก์ชันที่หลากหลายในการศึกษาความต้านทานของวัสดุที่อยู่ภายใต้การใช้งาน โดยที่ค่าภายนอกสามารถหาปริมาณและนำมาพิจารณาก่อนการพัฒนาองค์ประกอบต่างๆ
โดยทั่วไปทฤษฎีบทของกรีนช่วยอำนวยความสะดวกในการทำความเข้าใจและคำจำกัดความของพื้นที่ที่ฟังก์ชันเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยเกี่ยวกับพื้นที่ตามเส้นทาง
ประวัติศาสตร์
ได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2371 ในผลงานการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีไฟฟ้าและแม่เหล็กซึ่งเขียนโดยจอร์จกรีนนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ในนั้นมีการสำรวจส่วนที่เด็ดขาดในการประยุกต์ใช้แคลคูลัสในฟิสิกส์เช่นแนวคิดของฟังก์ชันที่เป็นไปได้ฟังก์ชันของกรีนและการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทที่มีชื่อตัวเองของเขา
จอร์จกรีนเริ่มอาชีพนักเรียนเมื่ออายุได้ 40 ปีจนกระทั่งปัจจุบันเป็นนักคณิตศาสตร์ที่เรียนรู้ด้วยตนเองอย่างสมบูรณ์ หลังจากศึกษาที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์แล้วเขายังคงทำการวิจัยโดยมีส่วนร่วมในด้านเสียงทัศนศาสตร์และอุทกพลศาสตร์ซึ่งยังคงใช้ได้อยู่ในปัจจุบัน
ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบทอื่น ๆ
ทฤษฎีบทของกรีนเป็นกรณีพิเศษและเกิดจากอีก 2 ทฤษฎีบทที่สำคัญมากในสาขาแคลคูลัส นี่คือทฤษฎีบทของเคลวิน - สโตกส์และทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์หรือเกาส์ออสโทรกราดสกี้
เริ่มต้นจากทฤษฎีบทอย่างใดอย่างหนึ่งในสองทฤษฎีหนึ่งสามารถมาถึงทฤษฎีบทของกรีน คำจำกัดความและข้อเสนอบางประการมีความจำเป็นในการพัฒนาข้อพิสูจน์ดังกล่าว
การออกกำลังกาย
- แบบฝึกหัดต่อไปนี้แสดงวิธีการแปลงอินทิกรัลเส้นเป็นอินทิกรัลคู่ตามภูมิภาค R
นิพจน์ดั้งเดิมมีดังต่อไปนี้:
จากตำแหน่งที่ใช้ฟังก์ชัน af และ g ที่เกี่ยวข้อง
f (x, y) = x 3 ก. (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
ไม่มีวิธีเดียวในการกำหนดขีด จำกัด ของการรวมเมื่อใช้ทฤษฎีบทของกรีน แต่มีหลายวิธีที่อินทิกรัลหลังจากกำหนดได้ง่ายกว่า ดังนั้นการเพิ่มประสิทธิภาพของขีด จำกัด การรวมจึงสมควรได้รับความสนใจ
เมื่อแก้อินทิกรัลเราได้รับ:
ค่านี้สอดคล้องเป็นหน่วยลูกบาศก์กับพื้นที่ด้านล่างฟังก์ชันเวกเตอร์และเหนือพื้นที่สามเหลี่ยมที่กำหนดโดย C
ในกรณีของอินทิกรัลบรรทัดโดยไม่ดำเนินการตามวิธีของกรีนจำเป็นต้องกำหนดพารามิเตอร์ของฟังก์ชันในแต่ละส่วนของภูมิภาค นั่นคือดำเนินการปริพันธ์ 3 พารามิเตอร์สำหรับการแก้ปัญหา นี่เป็นหลักฐานที่เพียงพอเกี่ยวกับประสิทธิภาพที่ Robert Green นำทฤษฎีบทมาสู่แคลคูลัส
อ้างอิง
- ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับกลศาสตร์ต่อเนื่อง W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 ก.ค. 2552
- แคลคูลัสหลายตัวแปร เจมส์สจ๊วต Cengage Learning 22 มี.ค. 2011
- ประวัติอย่างไม่เป็นทางการของทฤษฎีบทสีเขียวและแนวคิดที่เกี่ยวข้อง เจมส์โจเซฟครอส ภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยเมลเบิร์นปี 2518
- การนำความร้อนโดยใช้ฟังก์ชันสีเขียว Kevin D. Cole, James V. Beck, A.Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi Taylor & Francis 16 ก.ค. 2010
- การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของสีเขียวกับการขยายปริพันธ์เชิงเส้น ศูนย์ข้อมูลเทคนิคการป้องกัน 2504