ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์: หลักฐานตัวอย่างและแบบฝึกหัด - เลข - 2026

ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์กำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งโดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนดเพื่อให้มีคำตอบและเพื่อให้คำตอบนั้นเป็นเพียงหนึ่งเดียว

อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทไม่ได้ให้เทคนิคหรือข้อบ่งชี้วิธีการหาวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ยังขยายไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าด้วยเงื่อนไขเริ่มต้นซึ่งเรียกว่าปัญหา Cauchy

รูปที่ 1. สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นและวิธีแก้ปัญหาจะแสดงขึ้น The Existence and Uniqueness Theorem รับประกันว่าเป็นทางออกเดียวที่เป็นไปได้

คำแถลงอย่างเป็นทางการของทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์มีดังนี้:

"สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ y '(x) = f (x, y) ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้น y (a) = b มีอย่างน้อยหนึ่งคำตอบในพื้นที่สี่เหลี่ยมของระนาบ XY ที่มีจุด (a, b) ถ้า f (x, y) ต่อเนื่องในพื้นที่นั้น และถ้าอนุพันธ์บางส่วนของ f เทียบกับ y: g = ∂f / ∂yต่อเนื่องกันในพื้นที่สี่เหลี่ยมเดียวกันคำตอบนั้นจะไม่ซ้ำกันในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด (a, b) ที่อยู่ในพื้นที่ของความต่อเนื่องของ fy ก. "

ประโยชน์ของทฤษฎีบทนี้อันดับแรกอยู่ที่การรู้ว่าพื้นที่ใดของระนาบ XY ซึ่งสามารถมีโซลูชันได้และการรู้ด้วยว่าโซลูชันที่พบเป็นวิธีเดียวที่เป็นไปได้หรือมีอย่างอื่น

โปรดทราบว่าในกรณีที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่เป็นเอกลักษณ์ทฤษฎีบทไม่สามารถคาดเดาได้ว่าปัญหา Cauchy มีทั้งหมดกี่วิธี: บางทีอาจเป็นหนึ่งสองหรือมากกว่านั้น

หลักฐานการมีอยู่และทฤษฎีบทที่เป็นเอกลักษณ์

รูปที่ 2 Charles Émile Picard (1856-1941) ได้รับการยกย่องจากหนึ่งในข้อพิสูจน์แรกของทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์ ที่มา: Wikimedia Commons

สำหรับทฤษฎีบทนี้มีข้อพิสูจน์ที่เป็นไปได้สองข้อซึ่งหนึ่งในนั้นคือข้อพิสูจน์ของ Charles Émile Picard (1856-1941) และอีกอันสืบเนื่องมาจาก Giuseppe Peano (1858-1932) จากผลงานของ Augustin Louis Cauchy (1789-1857) .

เป็นที่น่าสังเกตว่าผู้มีความคิดทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยมที่สุดในศตวรรษที่สิบเก้ามีส่วนร่วมในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ดังนั้นจึงสามารถหยั่งรู้ได้ว่าไม่มีทั้งสองอย่างที่เรียบง่าย

ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทอย่างเป็นทางการก่อนอื่นจำเป็นต้องสร้างชุดของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงขึ้นก่อนเช่นฟังก์ชันประเภท Lipschitz, ช่องว่าง Banach, ทฤษฎีบทการดำรงอยู่ของCarathéodoryและอื่น ๆ อีกมากมายซึ่งอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความ

ส่วนใหญ่ของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้รับการจัดการในฟิสิกส์จะจัดการกับฟังก์ชันต่อเนื่องในพื้นที่ที่สนใจดังนั้นเราจะ จำกัด ตัวเองในการแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทถูกนำไปใช้ในสมการง่ายๆอย่างไร

ตัวอย่าง

- ตัวอย่าง 1

ลองพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้พร้อมเงื่อนไขเริ่มต้น:

y '(x) = - y; ด้วย y (1) = 3

มีวิธีแก้ปัญหานี้หรือไม่? เป็นทางออกเดียวที่เป็นไปได้หรือไม่?

คำตอบ

ประการแรกการมีอยู่ของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์จะได้รับการประเมินและมันก็เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นด้วย

ในตัวอย่างนี้ f (x, y) = - และเงื่อนไขการดำรงอยู่ต้องการให้ทราบว่า f (x, y) ต่อเนื่องกันในพื้นที่ของระนาบ XY ที่มีจุดพิกัด x = 1, y = 3

แต่ f (x, y) = - y คือฟังก์ชัน Affine ซึ่งต่อเนื่องกันในโดเมนของจำนวนจริงและมีอยู่ตลอดช่วงของจำนวนจริง

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า f (x, y) ต่อเนื่องใน R ²ดังนั้นทฤษฎีบทจึงรับประกันการมีอยู่ของโซลูชันอย่างน้อยหนึ่งข้อ

เมื่อทราบสิ่งนี้จึงจำเป็นต้องประเมินว่าโซลูชันนั้นไม่ซ้ำกันหรือในทางกลับกันมีมากกว่าหนึ่ง สำหรับสิ่งนี้จำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์บางส่วนของ f เทียบกับตัวแปร y:

จากนั้น g (x, y) = -1 ซึ่งเป็นฟังก์ชันคงที่ซึ่งกำหนดไว้สำหรับ R ²ทั้งหมดและต่อเนื่องที่นั่นด้วย เป็นไปตามที่ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์รับประกันได้ว่าปัญหาค่าเริ่มต้นนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะแม้ว่าจะไม่ได้บอกเราว่ามันคืออะไร

- ตัวอย่าง 2

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญลำดับที่หนึ่งต่อไปนี้พร้อมเงื่อนไขเริ่มต้น:

y '(x) = 2√y; และ (0) = 0.

มีวิธีแก้ไข y (x) สำหรับปัญหานี้หรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นตรวจสอบว่ามีหนึ่งหรือมากกว่าหนึ่ง

ตอบ

เราพิจารณาฟังก์ชัน f (x, y) = 2√y ฟังก์ชัน f ถูกกำหนดไว้สำหรับy≥0เท่านั้นเนื่องจากเรารู้ว่าจำนวนลบไม่มีรูทจริง นอกจากนี้ f (x, y) ยังต่อเนื่องในระนาบครึ่งบนของ R ²รวมถึงแกน X ดังนั้นการมีอยู่และทฤษฎีบทเอกลักษณ์จึงรับประกันอย่างน้อยหนึ่งวิธีในภูมิภาคดังกล่าว

ตอนนี้เงื่อนไขเริ่มต้น x = 0, y = 0 อยู่ที่ขอบของขอบเขตโซลูชัน จากนั้นเราหาอนุพันธ์บางส่วนของ f (x, y) เทียบกับ y:

∂f / ∂y = 1 / √y

ในกรณีนี้ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันสำหรับ y = 0 โดยที่เงื่อนไขเริ่มต้นคือ

ทฤษฎีบทบอกอะไรเรา? มันบอกเราว่าแม้ว่าเราจะรู้ว่ามีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธีในระนาบครึ่งบนของแกน X รวมทั้งแกน X เนื่องจากไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่เป็นเอกลักษณ์จึงไม่มีการรับประกันว่าจะมีโซลูชันที่ไม่ซ้ำกัน

ซึ่งหมายความว่าอาจมีหนึ่งหรือมากกว่าหนึ่งคำตอบในพื้นที่ของความต่อเนื่องของ f (x, y) และเช่นเคยทฤษฎีบทไม่ได้บอกเราว่ามันเป็นอย่างไร

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- แบบฝึกหัด 1

แก้ไขปัญหา Cauchy ในตัวอย่างที่ 1:

y '(x) = - y; ด้วย y (1) = 3

ค้นหาฟังก์ชัน y (x) ที่ตรงตามสมการเชิงอนุพันธ์และเงื่อนไขเริ่มต้น

สารละลาย

ในตัวอย่างที่ 1 ได้พิจารณาแล้วว่าปัญหานี้มีวิธีแก้ไขและไม่ซ้ำกัน ในการหาคำตอบสิ่งแรกที่ควรทราบก็คือมันเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ระดับแรกของตัวแปรที่แยกออกได้ซึ่งเขียนได้ดังนี้:

การหารระหว่างและในสมาชิกทั้งสองเพื่อแยกตัวแปรที่เรามี:

อินทิกรัลไม่ จำกัด ถูกนำไปใช้กับสมาชิกทั้งสอง:

การแก้ปริพันธ์ไม่ จำกัด ที่เรามี:

โดยที่ C คือค่าคงที่ของการรวมที่กำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น:

การแทนที่ค่าของ C และการจัดเรียงใหม่ยังคงอยู่:

ใช้คุณสมบัติของลอการิทึมต่อไปนี้:

นิพจน์ข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน e ในสมาชิกทั้งสองถูกนำไปใช้เพื่อรับ:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

ซึ่งเทียบเท่ากับ:

y = 3e e ^-x

นี่คือคำตอบเฉพาะของสมการ y '= -y กับ y (1) = 3 กราฟของคำตอบนี้แสดงในรูปที่ 1

- แบบฝึกหัด 2

ค้นหาสองวิธีแก้ปัญหาในตัวอย่างที่ 2:

y '(x) = 2√ (y); และ (0) = 0.

สารละลาย

นอกจากนี้ยังเป็นสมการของตัวแปรที่แยกออกได้ซึ่งเขียนในรูปแบบอนุพันธ์มีลักษณะดังนี้:

dy / √ (y) = 2 dx

การหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ในสมาชิกทั้งสองยังคงอยู่:

2 √ (y) = 2 x + C

เนื่องจากเรารู้ว่าy≥0ในภูมิภาคโซลูชันเรามี:

y = (x + C) ²

แต่เนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้น x = 0 จึงต้องเติม y = 0 ดังนั้นค่าคงที่ C จึงเป็นศูนย์และวิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้ยังคงอยู่:

Y (x) = x 2

แต่โซลูชันนี้ไม่ซ้ำกันฟังก์ชัน y (x) = 0 ยังเป็นวิธีแก้ปัญหาที่วางไว้ ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์ที่ใช้กับปัญหานี้ในตัวอย่างที่ 2 ได้คาดการณ์ไว้แล้วว่าอาจมีทางออกมากกว่าหนึ่งวิธี

อ้างอิง

1. คอดดิงตันเอิร์ลเอ; Levinson, Norman (1955), ทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์สามัญนิวยอร์ก: McGraw-Hill
2. สารานุกรมคณิตศาสตร์. ทฤษฎีบท Cauchy-Lipschitz สืบค้นจาก: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des Approximations successives aux équationsdifférentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. เล่ม 116, 1894, pp. 454–457 ดึงมาจาก: gallica.bnf.fr.
4. วิกิพีเดีย วิธีการประมาณอย่างต่อเนื่องของ Picard สืบค้นจาก: es.wikipedia.com
5. วิกิพีเดีย ทฤษฎีบท Picard-Lindelöf สืบค้นจาก: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986 สมการเชิงอนุพันธ์เบื้องต้นพร้อมแอพพลิเคชั่น Prentice Hall