ทฤษฎีบทของยูคลิด: การพิสูจน์การประยุกต์ใช้และแบบฝึกหัด - เลข - 2026

ทฤษฎีบทของ Euclidแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมกับการวาดเส้นที่แบ่ง มัน ออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมใหม่ที่คล้ายกันและในที่สุดก็จะคล้ายกับสามเหลี่ยมเดิม; จากนั้นมีความสัมพันธ์ของความได้สัดส่วน

ยูคลิดเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์และนักเรขาคณิตที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในยุคโบราณที่ได้ทำการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สำคัญหลายประการ หนึ่งในคนหลักคือคนที่มีชื่อของเขาซึ่งมีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวาง

เป็นเช่นนี้เพราะด้วยทฤษฎีบทนี้อธิบายอย่างง่าย ๆ ว่าความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตที่มีอยู่ในสามเหลี่ยมมุมฉากโดยที่ขาของสามเหลี่ยมนั้นสัมพันธ์กับการคาดคะเนบนด้านตรงข้ามมุมฉาก

สูตรและการสาธิต

ทฤษฎีบทของ Euclid เสนอว่าในทุก ๆ สามเหลี่ยมมุมฉากเมื่อลากเส้น - ซึ่งแสดงถึงความสูงที่ตรงกับจุดยอดของมุมฉากเทียบกับด้านตรงข้ามมุมฉาก - สามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปจากรูปเดิม

สามเหลี่ยมเหล่านี้จะคล้ายกันและจะคล้ายกับสามเหลี่ยมดั้งเดิมด้วยซึ่งหมายความว่าด้านที่คล้ายกันนั้นมีสัดส่วนซึ่งกันและกัน:

มุมของสามเหลี่ยมทั้งสามมีความเท่ากัน กล่าวคือเมื่อหมุน 180 องศาเกี่ยวกับจุดยอดมุมหนึ่งจะเกิดขึ้นพร้อมกับอีกมุมหนึ่ง หมายความว่าพวกเขาทั้งหมดจะเหมือนกัน

ด้วยวิธีนี้ความคล้ายคลึงกันระหว่างสามเหลี่ยมทั้งสามยังสามารถตรวจสอบได้ด้วยความเท่าเทียมกันของมุมของมัน จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม Euclid ได้กำหนดสัดส่วนของสิ่งเหล่านี้จากสองทฤษฎี:

- ทฤษฎีบทความสูง

- ทฤษฎีบทของขา

ทฤษฎีบทนี้มีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวาง ในสมัยโบราณใช้ในการคำนวณความสูงหรือระยะทางซึ่งแสดงถึงความก้าวหน้าอย่างมากสำหรับตรีโกณมิติ

ปัจจุบันมีการประยุกต์ใช้ในด้านต่างๆที่มีพื้นฐานมาจากคณิตศาสตร์เช่นวิศวกรรมฟิสิกส์เคมีและดาราศาสตร์และอื่น ๆ อีกมากมาย

ทฤษฎีบทความสูง

ในทฤษฎีบทนี้เป็นที่ยอมรับว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ความสูงที่ดึงมาจากมุมฉากเทียบกับด้านตรงข้ามมุมฉากคือค่าเฉลี่ยสัดส่วนทางเรขาคณิต (กำลังสองของความสูง) ระหว่างเส้นโครงของขาที่กำหนดบนด้านตรงข้ามมุมฉาก

นั่นคือกำลังสองของความสูงจะเท่ากับการคูณของขาที่คาดการณ์ไว้ซึ่งสร้างด้านตรงข้ามมุมฉาก:

เอช_ค² = m _* n

สาธิต

กำหนดสามเหลี่ยม ABC ซึ่งอยู่ตรงจุดยอด C การพล็อตความสูงจะสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกันสองรูปคือ ADC และ BCD ดังนั้นด้านที่สอดคล้องกันจึงเป็นสัดส่วน:

ในลักษณะที่ความสูง h _cที่สอดคล้องกับซีดีเซกเมนต์สอดคล้องกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB = c ดังนั้นเราจึงมี:

ในทางกลับกันสิ่งนี้สอดคล้องกับ:

การแก้ปัญหาด้านตรงข้ามมุมฉาก (h _c ) เพื่อคูณสมาชิกทั้งสองของความเท่าเทียมกันเรามี:

ชั่วโมง_{c *} h _{c =} m _* n

เอช_ค² = m _* n

ดังนั้นค่าของด้านตรงข้ามมุมฉากจึงได้รับจาก:

ทฤษฎีบทขา

ในทฤษฎีบทนี้มีการกำหนดว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทุกขาการวัดแต่ละขาจะเป็นค่าเฉลี่ยสัดส่วนทางเรขาคณิต (กำลังสองของขาแต่ละข้าง) ระหว่างการวัดด้านตรงข้ามมุมฉาก (สมบูรณ์) และเส้นโครงของแต่ละส่วนที่อยู่บนนั้น:

ข² = ค_*ม

ก² = c _* n

สาธิต

กำหนดสามเหลี่ยม ABC ซึ่งอยู่ตรงจุดยอด C ในลักษณะที่ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ c เมื่อกำหนดความสูง (h) การคาดคะเนของขา a และ b จะถูกกำหนดซึ่งเป็นส่วน m และ n ตามลำดับและที่อยู่บน ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ดังนั้นเราจึงมีความสูงที่วาดบนสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จะสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกันสองอันคือ ADC และ BCD เพื่อให้ด้านที่สอดคล้องกันเป็นสัดส่วนดังนี้:

DB = n ซึ่งเป็นการฉายขา CB ไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก

AD = m ซึ่งเป็นการฉายภาพของขา AC ที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก

จากนั้นด้านตรงข้ามมุมฉาก c จะถูกกำหนดโดยผลรวมของขาของเส้นโครงร่าง:

c = m + n

เนื่องจากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม ADC และ BCD เราจึงมี:

ข้างต้นเหมือนกับ:

การแก้ขา“ ก” เพื่อคูณสมาชิกทั้งสองของความเท่าเทียมกันเรามี:

ก_* a = c _* n

ก² = c _* n

ดังนั้นค่าของขา "a" จึงได้รับจาก:

ในทำนองเดียวกันเนื่องจากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม ACB และ ADC เราจึงมี:

ข้างต้นเท่ากับ:

การแก้ขา "b" เพื่อคูณสมาชิกทั้งสองของความเท่าเทียมกันเรามี:

b _* b = c _* m

ข² = ค_*ม

ดังนั้นค่าของขา "b" จึงได้รับจาก:

ความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทของยูคลิด

ทฤษฎีบทที่อ้างอิงถึงความสูงและขามีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันเนื่องจากการวัดของทั้งสองทำขึ้นเมื่อเทียบกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากความสัมพันธ์ของทฤษฎีบทของยุคลิดสามารถหาค่าของความสูงได้ สิ่งนี้เป็นไปได้โดยการแก้ค่าของ m และ n จากทฤษฎีบทขาและจะถูกแทนที่ด้วยทฤษฎีบทความสูง ด้วยวิธีนี้จะทำให้ความสูงเท่ากับการคูณของขาหารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ข² = ค_*ม

ม = ข² ÷ค

ก² = c _* n

n = ก² ÷ค

ในทฤษฎีบทความสูงเราแทนที่ m และ n:

เอช_ค² = m _* n

ชั่วโมง_ค² = (ข² ÷ค) _* (ก² ÷ค)

h _c = (ข² _*ก² ) ÷ค

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

ตัวอย่าง 1

กำหนดสามเหลี่ยม ABC ที่ A กำหนดหน่วยวัด AC และ AD ถ้า AB = 30 ซม. และ BD = 18 ซม.

สารละลาย

ในกรณีนี้เรามีการวัดของขาที่คาดการณ์ไว้ (BD) และขาข้างใดข้างหนึ่งของสามเหลี่ยมดั้งเดิม (AB) ด้วยวิธีนี้สามารถใช้ทฤษฎีบทขาเพื่อหาค่าของขา BC

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _*พ.ศ.

900 = 18 _*พ.ศ.

พ.ศ. = 900 ÷ 18

BC = 50 ซม

ค่าของขาซีดีสามารถพบได้โดยรู้ว่า BC = 50:

ซีดี = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 ซม

ตอนนี้คุณสามารถกำหนดค่าของขา AC ได้แล้วโดยใช้ทฤษฎีบทขาอีกครั้ง:

AC ² = ซีดี_* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 ซม

ในการกำหนดค่าของความสูง (AD) จะใช้ทฤษฎีบทความสูงเนื่องจากทราบค่าของขาฉาย CD และ BD:

ค.ศ. ² = 32 _* 18

ค.ศ. ² = 576

AD = √576

AD = 24 ซม

ตัวอย่าง 2

กำหนดค่าของความสูง (h) ของสามเหลี่ยม MNL ทางขวาใน N โดยรู้มาตรการของส่วน:

NL = 10 ซม

MN = 5 ซม

น. = 2 ซม

สารละลาย

เรามีการวัดของขาข้างใดข้างหนึ่งที่คาดการณ์ไว้ที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก (PM) เช่นเดียวกับการวัดขาของสามเหลี่ยมเดิม ด้วยวิธีนี้ทฤษฎีบทขาสามารถนำไปใช้เพื่อค้นหาค่าของขาที่คาดการณ์อื่น ๆ (LN):

NL ² = น. _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

เนื่องจากค่าของขาและด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วผ่านความสัมพันธ์ของทฤษฎีบทของความสูงและขาสามารถกำหนดค่าของความสูงได้:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (ข² _*ก² ) ÷ค.

ชั่วโมง = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

ชั่วโมง = (100 _* 25) ÷ (20)

ชั่วโมง = 2500 ÷ 20

h = 125 ซม.

อ้างอิง

1. Braun, E. (2011). ความโกลาหลเศษส่วนและสิ่งแปลก ๆ กองทุนวัฒนธรรมทางเศรษฐกิจ.
2. Cabrera, VM (1974) คณิตศาสตร์สมัยใหม่เล่ม 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). คณิตศาสตร์ชั้นปีที่ 3. การากัส: Santillana
4. สารานุกรมบริแทนนิกา i. (1995). สารานุกรมฮิสแปนิก: Macropedia. สำนักพิมพ์สารานุกรมบริแทนนิกา
5. ยุคลิด, RP (1886) องค์ประกอบของเรขาคณิตของยุคลิด
6. Guardeño, AJ (2000) มรดกทางคณิตศาสตร์: จากยุคลิดถึงนิวตันอัจฉริยะผ่านหนังสือของพวกเขา มหาวิทยาลัยเซบีญ่า