ทฤษฎีบทของ CHEBYSHOV: มันคืออะไรการใช้งานและตัวอย่าง - เลข - 2026

ทฤษฎีบทเซฟ (เซฟหรือความไม่เท่าเทียมกัน) เป็นหนึ่งในผลคลาสสิกที่สำคัญที่สุดของทฤษฎีความน่าจะเป็น ช่วยให้สามารถประมาณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่อธิบายในรูปของตัวแปรสุ่ม X โดยการให้ขอบเขตที่ไม่ขึ้นอยู่กับการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม แต่ขึ้นอยู่กับความแปรปรวนของ X

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Pafnuty Chebyshov (หรือเขียนว่า Chebychev หรือ Tchebycheff) ซึ่งแม้ว่าจะไม่ใช่คนแรกที่ระบุทฤษฎีบท แต่ก็เป็นคนแรกที่ให้การพิสูจน์ในปี พ.ศ. 2410

ความไม่เท่าเทียมกันนี้หรือความไม่เท่าเทียมกันนี้เรียกว่าอสมการของ Chebyshov ส่วนใหญ่จะใช้เพื่อประมาณความน่าจะเป็นโดยการคำนวณความสูง

ประกอบด้วยอะไรบ้าง?

ในการศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นจะเกิดขึ้นว่าถ้าทราบฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X ค่าที่คาดหวัง - หรือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ E (X) - และความแปรปรวน Var (X) สามารถคำนวณได้ตราบใดที่ จำนวนดังกล่าวมีอยู่ อย่างไรก็ตามการสนทนาไม่จำเป็นต้องเป็นจริง

นั่นคือการรู้ E (X) และ Var (X) จึงไม่จำเป็นต้องได้รับฟังก์ชันการแจกแจงของ X ดังนั้นปริมาณเช่น P (-X-> k) สำหรับ k> 0 บางตัวจึงยากที่จะได้รับ แต่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshov ทำให้สามารถประมาณความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มได้

ทฤษฎีบทของ Chebyshov บอกเราว่าถ้าเรามีตัวแปรสุ่ม X บนพื้นที่ตัวอย่าง S ที่มีฟังก์ชันความน่าจะเป็น p และถ้า k> 0 ดังนั้น:

การใช้งานและตัวอย่าง

ในบรรดาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Chebyshov สามารถกล่าวถึงสิ่งต่อไปนี้:

การจำกัดความน่าจะเป็น

นี่เป็นแอปพลิเคชั่นที่ใช้กันทั่วไปและใช้เพื่อกำหนดขอบเขตบนสำหรับ P (-XE (X) -≥k) โดยที่ k> 0 เฉพาะกับความแปรปรวนและความคาดหวังของตัวแปรสุ่ม X โดยไม่ทราบถึงฟังก์ชันความน่าจะเป็น .

ตัวอย่าง 1

สมมติว่าจำนวนผลิตภัณฑ์ที่ผลิตใน บริษัท ในหนึ่งสัปดาห์เป็นตัวแปรสุ่มโดยมีค่าเฉลี่ย 50

หากทราบว่าความแปรปรวนของการผลิตในหนึ่งสัปดาห์เท่ากับ 25 เราจะพูดอะไรได้บ้างเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่การผลิตในสัปดาห์นี้จะแตกต่างกันมากกว่า 10 จากค่าเฉลี่ย

สารละลาย

การใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshov เรามี:

จากสิ่งนี้เราสามารถรับได้ว่าความน่าจะเป็นที่ในสัปดาห์การผลิตมีจำนวนบทความเกินค่าเฉลี่ยมากกว่า 10 ชิ้นคือไม่เกิน 1/4

หลักฐานการ จำกัด ทฤษฎีบท

ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshov มีบทบาทสำคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีบทขีด จำกัด ที่สำคัญที่สุด ดังตัวอย่างเรามีดังต่อไปนี้:

กฎหมายอ่อนแอของจำนวนมาก

กฎนี้ระบุว่าให้ลำดับ X1, X2, …, Xn, …ของตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงค่าเฉลี่ยเท่ากัน E (Xi) = μและความแปรปรวน Var (X) = σ ²และตัวอย่างค่าเฉลี่ยที่ทราบของ:

จากนั้นสำหรับ k> 0 เรามี:

หรือเทียบเท่า:

สาธิต

ก่อนอื่นให้สังเกตสิ่งต่อไปนี้:

เนื่องจาก X1, X2, …, Xn เป็นอิสระจึงเป็นไปตามนั้น:

ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะระบุสิ่งต่อไปนี้:

จากนั้นใช้ทฤษฎีบทของ Chebyshov เรามี:

ในที่สุดทฤษฎีบทเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าขีด จำกัด ทางด้านขวาเป็นศูนย์เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้

ควรสังเกตว่าการทดสอบนี้จัดทำขึ้นสำหรับกรณีที่มีความแปรปรวนของ Xi เท่านั้น นั่นคือมันไม่แตกต่างกัน ดังนั้นเราจึงสังเกตว่าทฤษฎีบทจะเป็นจริงเสมอหากมี E (Xi) อยู่

Chebyshov จำกัด ทฤษฎีบท

ถ้า X1, X2, …, Xn, …เป็นลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระที่มี C <infinity อยู่บ้างเช่น Var (Xn) ≤ C สำหรับ n ธรรมชาติทั้งหมดแล้วสำหรับ k> 0:

สาธิต

เนื่องจากลำดับของความแปรปรวนมีขอบเขตสม่ำเสมอเราจึงมี Var (Sn) ≤ C / n สำหรับ n ธรรมชาติทั้งหมด แต่เรารู้ว่า:

การทำให้ n มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดผลลัพธ์ต่อไปนี้:

เนื่องจากความน่าจะเป็นต้องไม่เกินค่า 1 จึงได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ จากผลของทฤษฎีบทนี้เราสามารถพูดถึงกรณีเฉพาะของเบอร์นูลลี

หากการทดสอบซ้ำแล้วซ้ำอีก n ครั้งโดยอิสระกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองรายการ (ความล้มเหลวและความสำเร็จ) โดยที่ p คือความน่าจะเป็นของความสำเร็จในการทดลองแต่ละครั้งและ X คือตัวแปรสุ่มที่แสดงถึงจำนวนความสำเร็จที่ได้รับจากนั้นสำหรับแต่ละ k> 0 คุณต้อง:

ขนาดตัวอย่าง

ในแง่ของความแปรปรวนอสมการของ Chebyshov ช่วยให้เราสามารถหาขนาดตัวอย่าง n ที่เพียงพอที่จะรับประกันได้ว่าความน่าจะเป็นที่ -Sn-μ -> = k เกิดขึ้นมีค่าน้อยตามที่ต้องการซึ่งทำให้เรามีค่าประมาณได้ เป็นค่าเฉลี่ย

โดยเฉพาะให้ X1, X2, … Xn เป็นตัวอย่างของตัวแปรสุ่มอิสระที่มีขนาด n และคิดว่าอี (Xi) = μและความแปรปรวนของσ 2 จากนั้นโดยความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshov เรามี:

ตัวอย่าง

สมมติว่า X1, X2, … Xn เป็นตัวอย่างของตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงแบบเบอร์นูลลีซึ่งพวกเขารับค่า 1 ด้วยความน่าจะเป็น p = 0.5

ตัวอย่างจะต้องมีขนาดเท่าใดจึงจะสามารถรับประกันได้ว่าความน่าจะเป็นที่ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิต Sn และค่าที่คาดหวัง (เกินกว่า 0.1) น้อยกว่าหรือเท่ากับ 0.01

สารละลาย

เรามี E (X) = μ = p = 0.5 และ Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0.25 โดยความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshov สำหรับ k> 0 ใด ๆ ที่เรามี:

ตอนนี้รับ k = 0.1 และδ = 0.01 เรามี:

ด้วยวิธีนี้จึงสรุปได้ว่าต้องใช้ขนาดตัวอย่างอย่างน้อย 2,500 เพื่อรับประกันว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ -Sn - 0.5 -> = 0.1 น้อยกว่า 0.01

ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshov

มีความไม่เท่าเทียมกันหลายประการที่เกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshov หนึ่งในสิ่งที่รู้จักกันดีที่สุดคือความไม่เท่าเทียมกันของ Markov:

ในนิพจน์นี้ X เป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่ใช่ค่าลบที่มี k, r> 0

ความไม่เท่าเทียมกันของ Markov สามารถอยู่ในรูปแบบที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นให้ Y เป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบ (ดังนั้น P (Y> = 0) = 1) และสมมติว่ามี E (Y) = μอยู่ สมมติว่า (E (Y)) ^r = μ _rมีอยู่สำหรับจำนวนเต็ม r> 1 ดังนั้น:

ความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่งคือ Gaussian ซึ่งบอกเราว่าได้รับตัวแปรสุ่มแบบ unimodal ที่มีโหมดเป็นศูนย์จากนั้นสำหรับ k> 0

อ้างอิง

1. ไก่ลายจุง. ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นด้วยกระบวนการสุ่ม Springer-Verlag New York Inc.
2. เคนเน็ ธ H. Rosen คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและการประยุกต์ใช้ SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA
3. พอลแอลเมเยอร์ ความน่าจะเป็นและการประยุกต์ใช้ทางสถิติ ซาอัลฮัมบราเม็กซิคาน่า
4. Seymour Lipschutz ปริญญาเอก 2000 แก้ไขปัญหาคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง McGRAW-HILL
5. Seymour Lipschutz ปริญญาเอก ปัญหาทฤษฎีและความน่าจะเป็น McGRAW-HILL