ทฤษฎีบทของโบลซาโน: คำอธิบายการใช้งานและแบบฝึกหัด - เลข - 2026

โบลซาโนทฤษฎีบทระบุว่าหากฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องที่จุดของช่วงปิดทุกคนและเป็นที่พอใจว่าภาพของ "A" และ "B" (ภายใต้ฟังก์ชั่น) มีสัญญาณตรงข้ามแล้วจะมีอย่างน้อยหนึ่งจุด " c "ในช่วงเวลาเปิด (a, b) ในลักษณะที่ฟังก์ชันที่ประเมินใน" c "จะเท่ากับ 0

ทฤษฎีนี้อธิบายโดยนักปรัชญานักเทววิทยาและนักคณิตศาสตร์เบอร์นาร์ดโบลซาโนในปี 1850 นักวิทยาศาสตร์ผู้นี้เกิดในสาธารณรัฐเช็กในปัจจุบันเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์คนแรกในประวัติศาสตร์ที่พิสูจน์อย่างเป็นทางการเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง

คำอธิบาย

ทฤษฎีบทของโบลซาโนเรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทค่ากลางซึ่งช่วยในการกำหนดค่าเฉพาะโดยเฉพาะเลขศูนย์ของฟังก์ชันจริงบางอย่างของตัวแปรจริง

ในฟังก์ชันที่กำหนด f (x) จะดำเนินต่อไป - นั่นคือ f (a) และ f (b) เชื่อมต่อกันด้วยเส้นโค้ง - โดยที่ f (a) อยู่ด้านล่างแกน x (เป็นค่าลบ) และ f (b) โดย เหนือแกน x (เป็นค่าบวก) หรือในทางกลับกันกราฟิกจะมีจุดตัดบนแกน x ซึ่งจะแทนค่ากลาง« c »ซึ่งจะอยู่ระหว่าง« a »และ« b »และค่าของ f (c) จะเท่ากับ 0

เมื่อวิเคราะห์ทฤษฎีบทของโบลซาโนในเชิงกราฟจะเห็นได้ว่าสำหรับทุกฟังก์ชันต่อเนื่องที่กำหนดไว้ในช่วงเวลาโดยที่ f (a) _* f (b) น้อยกว่า 0 จะมีราก« c »ของฟังก์ชันนั้นอย่างน้อยหนึ่งรูทภายใน ของช่วงเวลา (a, b)

ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้กำหนดจำนวนจุดในช่วงเวลาที่เปิดนั้น แต่ระบุว่ามีอย่างน้อย 1 จุด

สาธิต

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของโบลซาโนจะถือว่าโดยไม่สูญเสียความทั่วไปว่า f (a) <0 และ f (b)> 0; ดังนั้นจึงมีได้หลายค่าระหว่าง "a" และ "b" ซึ่ง f (x) = 0 แต่ต้องแสดงเพียงค่าเดียว

เราเริ่มต้นด้วยการประเมิน f ที่จุดกึ่งกลาง (a + b) / 2 ถ้า f ((a + b) / 2) = 0 การพิสูจน์จะสิ้นสุดที่นี่ มิฉะนั้น f ((a + b) / 2) จะเป็นบวกหรือลบ

มีการเลือกครึ่งหนึ่งของช่วงเวลาเพื่อให้สัญญาณของฟังก์ชันที่ประเมินในระดับสุดขั้วแตกต่างกัน ช่วงเวลาใหม่นี้จะเป็น

ตอนนี้ถ้า f ประเมินที่จุดกึ่งกลางของไม่ใช่ศูนย์การดำเนินการเดียวกันกับก่อนหน้านี้จะถูกดำเนินการ นั่นคือครึ่งหนึ่งของช่วงเวลานี้ถูกเลือกที่ตอบสนองเงื่อนไขของสัญญาณ ปล่อยให้นี่เป็นช่วงเวลาใหม่

หากคุณดำเนินการตามขั้นตอนนี้ต่อไปคุณจะมีสองลำดับคือ {an} และ {bn} ดังนี้:

{an} เพิ่มขึ้นและ {bn} กำลังลดลง:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤…≤และ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ข.

หากคุณคำนวณความยาวของแต่ละช่วงคุณจะต้อง:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2²

…

bn-an = (ba) / 2 ^ n

ดังนั้นขีด จำกัด เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้ของ (bn-an) จึงเท่ากับ 0

การใช้ {an} นั้นเพิ่มขึ้นและมีขอบเขตและ {bn} กำลังลดลงและมีขอบเขตเราพบว่ามีค่า« c »ดังนี้:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤…≤ an ≤….≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ข.

ขีด จำกัด ของ an คือ "c" และขีด จำกัด ของ {bn} คือ "c" ด้วย ดังนั้นเมื่อกำหนดδ> 0 ใด ๆ จะมี "n" อยู่เสมอซึ่งทำให้ช่วงเวลานั้นอยู่ภายในช่วงเวลา (c-δ, c + δ)

ตอนนี้ต้องแสดงว่า f (c) = 0

ถ้า f (c)> 0 ดังนั้นเนื่องจาก f ต่อเนื่องจึงมีε> 0 ซึ่ง f เป็นบวกตลอดช่วงเวลาทั้งหมด (c - ε, c + ε) อย่างไรก็ตามตามที่กล่าวไว้ข้างต้นมีค่า "n" ที่ทำให้ f มีการเปลี่ยนแปลงเข้าสู่ระบบและยิ่งไปกว่านั้นมีอยู่ภายใน (c - ε, c + ε) ซึ่งเป็นความขัดแย้ง

ถ้า f (c) <0 ดังนั้นเนื่องจาก f ต่อเนื่องจึงมีε> 0 ซึ่ง f เป็นลบตลอดช่วงเวลา (c - ε, c + ε); แต่มีค่า "n" ซึ่ง f เปลี่ยนการลงชื่อเข้าใช้ ปรากฎว่ามีอยู่ภายใน (c - ε, c + ε) ซึ่งเป็นความขัดแย้งเช่นกัน

ดังนั้น f (c) = 0 และนี่คือสิ่งที่เราต้องการพิสูจน์

มีไว้เพื่ออะไร?

จากการตีความแบบกราฟิกทฤษฎีบทของโบลซาโนถูกใช้เพื่อค้นหารากหรือศูนย์ในฟังก์ชันต่อเนื่องผ่านการแบ่งส่วน (การประมาณค่า) ซึ่งเป็นวิธีการค้นหาแบบเพิ่มหน่วยที่จะแบ่งช่วงเวลาด้วย 2 เสมอ

จากนั้นจะใช้ช่วงเวลาหรือจุดที่เกิดการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายและกระบวนการจะทำซ้ำจนกว่าช่วงเวลาจะเล็กลงและเล็กลงเพื่อให้สามารถเข้าใกล้ค่าที่ต้องการได้ นั่นคือค่าที่ฟังก์ชันทำให้เป็น 0

โดยสรุปในการใช้ทฤษฎีบทของโบลซาโนและค้นหารากโดย จำกัด เลขศูนย์ของฟังก์ชันหรือให้คำตอบสำหรับสมการขั้นตอนต่อไปนี้จะดำเนินการ:

- มีการตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหรือไม่

- ถ้าไม่กำหนดช่วงเวลาจะต้องพบหนึ่งที่ฟังก์ชันต่อเนื่อง

- ได้รับการตรวจสอบแล้วว่าช่วงสุดขั้วของช่วงเวลาให้สัญญาณตรงกันข้ามหรือไม่เมื่อประเมินใน f

- หากไม่ได้รับเครื่องหมายตรงข้ามจะต้องแบ่งช่วงเวลาออกเป็นสองช่วงย่อยโดยใช้จุดกึ่งกลาง

- ประเมินฟังก์ชันที่จุดกึ่งกลางและตรวจสอบว่าตรงตามสมมติฐานของโบลซาโนโดยที่ f (a) _* f (b) <0

- ขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย (บวกหรือลบ) ของค่าที่พบกระบวนการจะถูกทำซ้ำโดยใช้ช่วงเวลาย่อยใหม่จนกว่าสมมติฐานดังกล่าวจะสำเร็จ

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แบบฝึกหัด 1

ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน f (x) = x ² - 2 มีโซลูชันจริงอย่างน้อยหนึ่งรายการในช่วงเวลาหรือไม่

สารละลาย

เรามีฟังก์ชัน f (x) = x ² - 2 เนื่องจากเป็นพหุนามจึงหมายความว่ามันต่อเนื่องกันในช่วงเวลาใดก็ได้

ระบบจะขอให้ตรวจสอบว่ามีวิธีแก้ปัญหาจริงในช่วงเวลาหรือไม่ดังนั้นตอนนี้จำเป็นต้องแทนที่ช่วงสุดขั้วของช่วงเวลาในฟังก์ชันเท่านั้นเพื่อให้ทราบถึงสัญลักษณ์ของสิ่งเหล่านี้และเพื่อให้ทราบว่าพวกเขาปฏิบัติตามเงื่อนไขของการแตกต่างกันหรือไม่:

f (x) = x ² - 2

f (1) = 1 ² - 2 = -1 (ลบ)

f (2) = 2 ² - 2 = 2 (บวก)

ดังนั้นสัญลักษณ์ของ f (1) ≠เครื่องหมาย f (2)

เพื่อให้แน่ใจว่ามีจุด "c" อย่างน้อยหนึ่งจุดที่อยู่ในช่วงเวลาซึ่ง f (c) = 0

ในกรณีนี้ค่าของ "c" สามารถคำนวณได้ง่ายดังนี้:

x ² - 2 = 0

x = ±√2

ดังนั้น√2≈ 1,4 จึงเป็นของช่วงเวลาและเติมเต็ม f (√2) = 0

แบบฝึกหัด 2

แสดงว่าสมการ x ⁵ + x + 1 = 0 มีทางออกจริงอย่างน้อยหนึ่งข้อ

สารละลาย

ก่อนอื่นให้สังเกตว่า f (x) = x ⁵ + x + 1 เป็นฟังก์ชันพหุนามซึ่งหมายความว่ามันต่อเนื่องกับจำนวนจริงทั้งหมด

ในกรณีนี้จะไม่มีการกำหนดช่วงเวลาดังนั้นต้องเลือกค่าโดยสังหรณ์ใจควรอยู่ใกล้กับ 0 เพื่อประเมินฟังก์ชันและค้นหาการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย:

หากคุณใช้ช่วงเวลาที่คุณต้อง:

f (x) = x ⁵ + x + 1

ฉ (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

ฉ (1) = 1 ⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

เนื่องจากไม่มีการเปลี่ยนแปลงสัญญาณกระบวนการจะทำซ้ำกับช่วงเวลาอื่น

หากคุณใช้ช่วงเวลาที่คุณต้อง:

f (x) = x ⁵ + x + 1

ฉ (-1) = (-1) ⁵ + (-1) + 1 = -1 <0

ฉ (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

ในช่วงเวลานี้มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย: เครื่องหมายของ f (-1) ≠เครื่องหมายของ f (0) ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน f (x) = x ⁵ + x + 1 มีรากจริง« c »อย่างน้อยหนึ่งรูท ในช่วงเวลาเช่นนั้น f (c) = 0 กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือว่า x ⁵ + x + 1 = 0 มีคำตอบจริงในช่วงเวลา

อ้างอิง

1. Bronshtein I, SK (1988). คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา. . กองบรรณาธิการ MIR.
2. จอร์จ, A. (1994). คณิตศาสตร์และจิตใจ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด
3. Ilín V, PE (1991). การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ในสามเล่ม .
4. เจซุสโกเมซ, FG (2003). ครูมัธยมศึกษา. เล่มที่สอง บ้า.
5. มาเทอส, มล. (2013). คุณสมบัติพื้นฐานของการวิเคราะห์ใน R Editores 20 ธ.ค.
6. Piskunov, N. (1980). แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และเชิงปริพันธ์ .
7. Sydsaeter K, HP (2005). คณิตศาสตร์สำหรับการวิเคราะห์เศรษฐกิจ. เฟลิกซ์วาเรลา
8. William H. Barker, RH (nd) สมมาตรต่อเนื่อง: จากยุคลิดถึงไคลน์ American Mathematical Soc.