การสรุปแบบ TELESCOPIC: วิธีแก้ปัญหาและแบบฝึกหัดแก้ไข - เลข - 2026

รวมยืดไสลด์คือการดำเนินงานสาขาชุดตัวเลข มันเกี่ยวข้องกับผลรวมขององค์ประกอบจากค่าเริ่มต้นเป็น“ n” ของนิพจน์ที่อาร์กิวเมนต์เป็นไปตามรูปแบบใด ๆ ต่อไปนี้:

(F _x - F _{x + 1} ); (F _{x + 1} - F _x )

เช่นกัน:

ที่มา: Pixabay.com

องค์ประกอบเหล่านี้แสดงถึงผลรวมขององค์ประกอบที่เมื่อได้รับการพัฒนาจะต้องมีการยกเลิกคำที่ตรงกันข้าม ทำให้สามารถกำหนดความเท่าเทียมกันต่อไปนี้สำหรับผลรวมของกล้องส่องทางไกล:

ชื่อของมันมาจากความสัมพันธ์กับรูปลักษณ์ของกล้องโทรทรรศน์คลาสสิกซึ่งสามารถพับและกางออกได้โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเปลี่ยนแปลงขนาดของมัน ในทำนองเดียวกันการสรุปแบบส่องกล้องส่องทางไกลซึ่งมีลักษณะไม่สิ้นสุดสามารถสรุปได้ในนิพจน์แบบง่าย:

F ₁ - F _{n + 1}

สาธิต

เมื่อพัฒนาผลรวมของเงื่อนไขการกำจัดปัจจัยค่อนข้างชัดเจน ในแต่ละกรณีองค์ประกอบที่ตรงกันข้ามจะปรากฏในการทำซ้ำครั้งถัดไป

กรณีแรก (F _x - F _{x + 1} ) จะถูกนำมาเป็นตัวอย่างเนื่องจากกระบวนการทำงานในลักษณะคล้ายคลึงกันสำหรับ (F _{x + 1} –F _x )

การพัฒนาค่า 3 ค่าแรก {1, 2, 3} แนวโน้มของการทำให้เข้าใจง่ายขึ้น

X ₁ (F ₁ - F _{1 + 1} ) = F ₁ - F ₂

X ₂ (F ₂ - F _{2 + 1} ) = F ₂ - F ₃

X ₃ (F ₃ - F _{3 + 1} ) = F ₃ - F ₄

โดยที่เมื่อแสดงผลรวมขององค์ประกอบที่อธิบาย:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

เป็นที่สังเกตว่ามีการอธิบายคำว่า F ₂และ F ₃พร้อมกับคำตรงข้ามซึ่งทำให้ความเข้าใจง่ายหลีกเลี่ยงไม่ได้ ในทำนองเดียวกันสังเกตว่าเงื่อนไข F ₁และ F ₄จะยังคงอยู่

ถ้าผลรวมถูกสร้างขึ้นจาก x = 1 ถึง x = 3 หมายความว่าองค์ประกอบ F ₄ตรงกับคำทั่วไป F _{n + 1}

จึงแสดงให้เห็นถึงความเท่าเทียมกัน:

มีวิธีแก้ไขอย่างไร?

จุดประสงค์ของการสรุปแบบส่องกล้องส่องทางไกลคือเพื่ออำนวยความสะดวกในการทำงานดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องพัฒนาจำนวนคำศัพท์ที่ไม่สิ้นสุดหรือเพื่อลดความซับซ้อนของส่วนเสริมที่ยาวเกินไป

สำหรับความละเอียดนั้นจำเป็นต้องประเมินเงื่อนไข F ₁และ F _{n + 1}เท่านั้น การแทนที่อย่างง่ายเหล่านี้ประกอบขึ้นเป็นผลลัพธ์สุดท้ายของการสรุป

ผลรวมของเงื่อนไขจะไม่ถูกแสดงกลายเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการสาธิตผลลัพธ์เท่านั้น แต่ไม่ใช่สำหรับกระบวนการคำนวณปกติ

สิ่งสำคัญคือการสังเกตการลู่เข้าของอนุกรมตัวเลข บางครั้งอาร์กิวเมนต์ summation จะไม่แสดงแบบ telescopically ในกรณีเหล่านี้การใช้วิธีการแยกตัวประกอบทางเลือกเป็นเรื่องปกติมาก

วิธีการแยกตัวประกอบลักษณะเฉพาะในการเพิ่มด้วยกล้องส่องทางไกลคือเศษส่วนอย่างง่าย สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อเศษส่วนดั้งเดิมถูกย่อยสลายเป็นผลรวมของเศษส่วนหลาย ๆ ส่วนซึ่งสามารถสังเกตรูปแบบของกล้องส่องทางไกล (F _x - F _{x + 1} ) หรือ (F _{x + 1} - F _x )

การย่อยสลายเป็นเศษส่วนอย่างง่าย

ในการตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมตัวเลขเป็นเรื่องปกติมากที่จะแปลงนิพจน์เชิงเหตุผลด้วยวิธีเศษส่วนอย่างง่าย เป้าหมายคือการจำลองพล็อตให้เป็นรูปร่างของการสรุปแบบส่องกล้องส่องทางไกล

ตัวอย่างเช่นความเท่าเทียมกันต่อไปนี้แสดงถึงการสลายตัวเป็นเศษส่วนอย่างง่าย:

เมื่อพัฒนาอนุกรมตัวเลขและใช้คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องนิพจน์จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

ในกรณีที่รูปทรงของกล้องส่องทางไกลได้รับการชื่นชม (F _x - F _{x + 1} )

ขั้นตอนนี้ค่อนข้างใช้งานง่ายและประกอบด้วยการหาค่าของตัวเศษที่ทำให้เราแยกผลิตภัณฑ์ที่พบในตัวส่วนได้โดยไม่ทำลายความเท่าเทียมกัน สมการที่เกิดขึ้นในการกำหนดค่าเหล่านี้ถูกยกขึ้นตามการเปรียบเทียบระหว่างทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน

ขั้นตอนนี้สังเกตได้ทีละขั้นตอนในการพัฒนาการออกกำลังกาย 2.

ประวัติศาสตร์

ค่อนข้างไม่แน่นอนที่จะสามารถกำหนดช่วงเวลาในประวัติศาสตร์ที่มีการนำเสนอผลรวมของกล้องส่องทางไกลได้ อย่างไรก็ตามการนำไปใช้งานเริ่มมีให้เห็นในศตวรรษที่สิบเจ็ดในการศึกษาอนุกรมตัวเลขที่ดำเนินการโดยไลบนิซและฮุยเกนส์

นักคณิตศาสตร์ทั้งสองที่สำรวจผลรวมของจำนวนสามเหลี่ยมเริ่มสังเกตเห็นแนวโน้มในการบรรจบกันขององค์ประกอบต่อเนื่องบางชุด แต่สิ่งที่น่าสนใจยิ่งกว่านั้นคือจุดเริ่มต้นของการสร้างแบบจำลองของนิพจน์เหล่านี้ในองค์ประกอบที่ไม่จำเป็นต้องเป็นไปตามกัน

ในความเป็นจริงนิพจน์ที่ใช้ก่อนหน้านี้เพื่ออ้างถึงเศษส่วนอย่างง่าย:

Huygens ได้รับการแนะนำและดึงดูดความสนใจของ Leibniz ทันที เมื่อเวลาผ่านไปสามารถสังเกตการบรรจบกันของค่า 2 ได้โดยไม่รู้ว่ามันใช้รูปแบบการสรุปแบบส่องกล้องส่องทางไกล

การออกกำลังกาย

แบบฝึกหัด 1

กำหนดว่าคำใดที่ผลรวมต่อไปนี้มาบรรจบกัน:

เมื่อพัฒนาผลรวมด้วยตนเองจะสังเกตเห็นรูปแบบต่อไปนี้:

(2 ³ - 2 ⁴ ) + (2 ⁴ - 2 ⁵ ) + (2 ⁵ - 2 ⁶ ) . . . (2 ¹⁰ - 2 ¹¹ )

โดยที่ปัจจัยตั้งแต่ 2 ⁴ถึง 2 ¹⁰นำเสนอส่วนบวกและลบทำให้การยกเลิกชัดเจน จากนั้นปัจจัยเดียวที่จะไม่ทำให้ง่ายขึ้นคือ“ 2 ³ ” ตัวแรกและ“ 2 ¹¹ ” ตัวสุดท้าย

ด้วยวิธีนี้เมื่อใช้เกณฑ์การสรุปแบบส่องกล้องส่องทางไกลเราจะได้รับ:

แบบฝึกหัด 2

เปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ให้เป็นการสรุปแบบยืดไสลด์และกำหนดการบรรจบกันของชุด:

ตามที่ระบุไว้ในคำสั่งสิ่งแรกที่ต้องทำคือการย่อยสลายเป็นเศษส่วนอย่างง่ายเพื่อที่จะสร้างอาร์กิวเมนต์ใหม่และแสดงด้วยวิธีการยืดไสลด์

คุณต้องหาเศษส่วน 2 ตัวที่มีตัวส่วนตามลำดับ "n" และ "n + 1" โดยที่วิธีการที่ใช้ด้านล่างนี้จะต้องได้รับค่าของตัวเศษที่ตรงตามความเท่าเทียมกัน

เราดำเนินการกำหนดค่าของ A และ B ก่อนอื่นให้เพิ่มเศษส่วน

จากนั้นตัวส่วนจะง่ายขึ้นและสร้างสมการเชิงเส้น

ในขั้นตอนต่อไปนิพจน์ทางด้านขวาจะดำเนินการจนกว่าจะได้รูปแบบที่เทียบเคียงกับ“ 3” ทางด้านซ้าย

ในการกำหนดสมการที่จะใช้จะต้องเปรียบเทียบผลลัพธ์ของความเท่าเทียมกันทั้งสองด้าน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือไม่มีการสังเกตค่าของตัวแปร n ทางด้านซ้ายด้วยวิธีนี้ A + B จะต้องเท่ากับศูนย์

A + B = 0; ก = -B

ในทางกลับกันค่าคงที่ A จะต้องเท่ากับค่าคงที่ 3

A = 3

ด้วยประการฉะนี้.

A = 3 และ B = -3

เมื่อกำหนดค่าตัวเศษสำหรับเศษส่วนอย่างง่ายแล้วการสรุปจะถูกจัดเรียงใหม่

ในกรณีที่รูปแบบทั่วไปของการสรุปแบบส่องกล้องส่องทางไกลได้เกิดขึ้นแล้ว มีการพัฒนาชุดกล้องส่องทางไกล

โดยที่เมื่อหารด้วยจำนวนมากผลลัพธ์จะเข้าใกล้ศูนย์มากขึ้นเรื่อย ๆ โดยสังเกตการบรรจบกันของอนุกรมกับค่า 3

ซีรีส์ประเภทนี้ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่นเนื่องจากจำนวนการวนซ้ำที่ไม่สิ้นสุดที่กำหนดปัญหา อย่างไรก็ตามวิธีนี้ร่วมกับวิธีอื่น ๆ อีกมากมายวางกรอบสาขาของการศึกษาอนุกรมตัวเลขซึ่งมีวัตถุประสงค์เพื่อกำหนดค่าคอนเวอร์เจนซ์หรือกำหนดความแตกต่างของอนุกรมดังกล่าว

อ้างอิง

1. บทเรียนแคลคูลัสน้อย Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco MartínezGonzález, Roque Molina Legaz EDITUM, 2537.
2. Integral Calculus: ลำดับและอนุกรมของฟังก์ชัน อันโตนิโอริเวร่าฟิเกโรอา Grupo Editorial Patria, 21 ต.ค. พ.ศ. 2557.
3. หลักสูตรแคลคูลัสและการวิเคราะห์จริง Sudhir R.Ghorpade, Balmohan V. Limaye Springer Science & Business Media, 5 มิ.ย. พ.ศ. 2549
4. ซีรีส์ไม่มีที่สิ้นสุด ป้อมทอมลินสัน The Clarendon Press, 1930
5. องค์ประกอบของทฤษฎีกระบวนการไม่มีที่สิ้นสุด ลอยด์เลอรอยยิ้ม McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 2466