ผลรวมรีมันน์เป็นชื่อที่ได้รับการคำนวณโดยประมาณของหนึ่งแน่นอนโดยใช้วิธีการที่ไม่ต่อเนื่องบวกกับจำนวน จำกัด ของคำ แอปพลิเคชันทั่วไปคือการประมาณพื้นที่ของฟังก์ชันบนกราฟ
เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) ซึ่งเป็นคนแรกที่เสนอคำจำกัดความที่เข้มงวดของอินทิกรัลของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด เขาทำให้เป็นที่รู้จักในบทความที่ตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2397
รูปที่ 1. ผลรวม Riemann ถูกกำหนดบนฟังก์ชัน f และบนพาร์ติชันในช่วงเวลา ที่มา: Fanny Zapata
ผลรวม Riemann ถูกกำหนดบนฟังก์ชัน y = f (x) โดย x เป็นของช่วงเวลาปิด ในช่วงเวลานี้พาร์ติชัน P ขององค์ประกอบ n ถูกสร้างขึ้น:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 , …, x n = b}
ซึ่งหมายความว่ามีการแบ่งช่วงเวลาดังนี้:
x k-1 ≤ t k ≤ x k
รูปที่ 1 แสดงผลรวม Riemann ของฟังก์ชัน f ในช่วงเวลาบนพาร์ติชันของสี่ช่วงย่อยเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีเทา
ผลรวมหมายถึงพื้นที่ทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมและผลของทุนนี้ตัวเลขใกล้เคียงกับพื้นที่ใต้เส้นโค้งฉระหว่างพิกัด x ที่ x = 0 และ x = x 4
แน่นอนว่าการประมาณพื้นที่ใต้เส้นโค้งจะดีขึ้นอย่างมากเนื่องจากจำนวน n ของพาร์ติชันมีมากกว่า ด้วยวิธีนี้ผลรวมจะมาบรรจบกับพื้นที่ใต้เส้นโค้งเมื่อจำนวน n ของพาร์ติชันมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด
สูตรและคุณสมบัติ
ผลรวม Riemann ของฟังก์ชัน f (x) บนพาร์ติชัน:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 , …, x n = b}
กำหนดช่วงเวลาโดย:
S (P, ฉ) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k - x k-1 )
โดยที่ t kคือค่าในช่วงเวลา ในผลรวม Riemann มักใช้ช่วงเวลาปกติของความกว้างΔx = (b - a) / n โดยที่ a และ b คือค่าต่ำสุดและสูงสุดของ abscissa ในขณะที่ n คือจำนวนส่วนย่อย
ในกรณีนั้นผลรวมที่เหมาะสมของ Riemann คือ:
Sd (f, n) = * Δx
รูปที่ 2. ผลรวมด้านขวาของ Riemann ที่มา: Wikimedia Commons 09 กลาสโกว์ 09.
ในขณะที่ผลรวมด้านซ้ายของ Riemann แสดงเป็น:
ถ้า (f, n) = * Δx
รูปที่ 3. ผลรวม Riemann ด้านซ้าย ที่มา: Wikimedia Commons 09 กลาสโกว์ 09
สุดท้ายผลรวมของ Riemann กลางคือ:
Original text
Sc (f, n) = * Δx
รูปที่ 4. ผลรวม Riemann ระดับกลาง ที่มา: Wikimedia Commons 09 กลาสโกว์ 09
ขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่จุด t kอยู่ในช่วงเวลาผลรวม Riemann สามารถประเมินค่าสูงเกินไปหรือต่ำกว่าค่าที่แน่นอนของพื้นที่ภายใต้เส้นโค้งของฟังก์ชัน y = f (x) กล่าวอีกนัยหนึ่งรูปสี่เหลี่ยมสามารถยื่นออกมาจากเส้นโค้งหรืออยู่ด้านล่างเล็กน้อยก็ได้
บริเวณใต้โค้ง
คุณสมบัติหลักของผลรวม Riemann และความสำคัญเกิดขึ้นคือถ้าจำนวนหน่วยงานย่อยมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดผลลัพธ์ของผลรวมจะมาบรรจบกันเป็นอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชัน:
แบบฝึกหัดที่แก้ไข
- แบบฝึกหัด 1
คำนวณค่าของอินทิกรัลที่ชัดเจนระหว่าง a = -2 ถึง b = +2 ของฟังก์ชัน:
f (x) = x 2
ใช้ประโยชน์จากผลรวม Riemann ในการทำสิ่งนี้ก่อนอื่นให้หาผลรวมสำหรับ n พาร์ติชันปกติของช่วงเวลาจากนั้นใช้ขีด จำกัด ทางคณิตศาสตร์สำหรับกรณีที่จำนวนพาร์ติชันมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด
สารละลาย
นี่คือขั้นตอนในการปฏิบัติตาม:
- ประการแรกช่วงเวลาพาร์ติชันถูกกำหนดเป็น:
Δx = (b - a) / n.
- จากนั้นผลรวม Riemann ทางขวาที่สอดคล้องกับฟังก์ชัน f (x) จะมีลักษณะดังนี้:
- จากนั้นจะถูกแทนที่อย่างระมัดระวังในการสรุป:
- ขั้นตอนต่อไปคือการแยกผลรวมและใช้ปริมาณคงที่เป็นปัจจัยร่วมของแต่ละผลรวม จำเป็นต้องคำนึงว่าดัชนีคือ i ดังนั้นตัวเลขและเงื่อนไขที่มี n จึงถือว่าเป็นค่าคงที่:
- แต่ละผลรวมได้รับการประเมินเนื่องจากมีนิพจน์ที่เหมาะสมสำหรับแต่ละรายการ ตัวอย่างเช่นผลรวมแรกให้ n:
- สุดท้ายอินทิกรัลที่จะคำนวณคือ:
ผู้อ่านสามารถตรวจสอบได้ว่านี่เป็นผลลัพธ์ที่แน่นอนซึ่งสามารถหาได้โดยการแก้อินทิกรัลไม่ จำกัด และประเมินขีด จำกัด ของการรวมโดยกฎของบาร์โรว์
- แบบฝึกหัด 2
กำหนดพื้นที่โดยประมาณภายใต้ฟังก์ชัน:
f (x) = (1 / √ (2π)) จ(-x 2 /2)
ป้อน x = -1 และ x = + 1 โดยใช้ผลรวม Riemann กลางกับ 10 พาร์ติชัน เปรียบเทียบกับผลลัพธ์ที่แน่นอนและประมาณความแตกต่างของเปอร์เซ็นต์
สารละลาย
ขั้นตอนหรือส่วนเพิ่มระหว่างค่าไม่ต่อเนื่องสองค่าต่อเนื่องกันคือ:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0.2
ดังนั้นพาร์ติชัน P ที่กำหนดรูปสี่เหลี่ยมจะมีลักษณะดังนี้:
P = {-1.0; -0.8; -0.6; -0.4; -0.2; 0.0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0}
แต่เนื่องจากสิ่งที่ต้องการคือผลรวมกลางฟังก์ชัน f (x) จะถูกประเมินที่จุดกึ่งกลางของช่วงย่อยนั่นคือในชุด:
ท = {-0.9; -0.7; -0.5; -0.3; -0.1; 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9}
ผลรวม (กลาง) Riemann มีลักษณะดังนี้:
S = f (-0.9) * 0.2 + f (-0.7) * 0.2 + f (-0.5) * 0.2 + … + f (0.7) * 0.2 + f (0.9) * 0.2
เนื่องจากฟังก์ชัน f เป็นแบบสมมาตรจึงสามารถลดผลรวมให้เหลือเพียง 5 พจน์และผลลัพธ์จะคูณด้วยสอง:
S = 2 * 0.2 * {f (0.1) + f (0.3) + f (0.5) + f (0.7) + f (0.9)}
S = 2 * 0.2 * {0.397+ 0.381+ 0.352+ 0.312+ 0.266} = 0.683
ฟังก์ชันที่ให้ในตัวอย่างนี้ไม่มีใครอื่นนอกจากกระดิ่ง Gaussian ที่รู้จักกันดี (ทำให้เป็นมาตรฐานโดยมีค่าเฉลี่ยเท่ากับศูนย์และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหนึ่ง) พื้นที่ใต้เส้นโค้งในช่วงเวลาสำหรับฟังก์ชันนี้ทราบว่าเป็น 0.6827
รูปที่ 5. พื้นที่ใต้ระฆัง Gaussian ประมาณด้วยผลรวม Riemann ที่มา: F. Zapata
ซึ่งหมายความว่าคำตอบโดยประมาณที่มีเพียง 10 พจน์จะตรงกับคำตอบที่แน่นอนกับทศนิยมสามตำแหน่ง ข้อผิดพลาดเปอร์เซ็นต์ระหว่างค่าประมาณและอินทิกรัลที่แน่นอนคือ 0.07%
อ้างอิง
- Casteleiro, JM และGómez-Álvarez, RP (2002) แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Illustrated ed.) มาดริด: บรรณาธิการ ESIC
- ยูนิแคน. ประวัติความเป็นมาของแนวคิดอินทิกรัล ดึงมาจาก: repositorio.unican.es
- UIS ผลรวมของ Riemann สืบค้นจาก: matematicas.uis.edu.co
- วิกิพีเดีย ผลรวม Riemann สืบค้นจาก: es.wikipedia.com
- วิกิพีเดีย บูรณาการ Riemann สืบค้นจาก: es.wikipedia.com