อนุกรมกำลัง: ตัวอย่างและแบบฝึกหัด - เลข - 2026

ชุดไฟประกอบด้วยผลรวมของข้อตกลงในรูปแบบของอำนาจของตัวแปร x หรือที่อื่น ๆ โดยทั่วไปของ XC, ที่ c เป็นจำนวนจริงอย่างต่อเนื่อง ในสัญกรณ์สรุปชุดของพลังจะแสดงดังนี้:

โดยที่สัมประสิทธิ์ a _o , a ₁ , a ₂ …เป็นจำนวนจริงและอนุกรมเริ่มต้นที่ n = 0

รูปที่ 1. นิยามของอนุกรมกำลัง ที่มา: F. Zapata

ชุดนี้มีศูนย์กลางอยู่ที่ค่า c ซึ่งเป็นค่าคงที่ แต่คุณสามารถเลือกให้ c เท่ากับ 0 ได้ซึ่งในกรณีนี้อนุกรมกำลังจะลดความซับซ้อนเป็น:

อนุกรมเริ่มต้นด้วย a _หรือ (xc) ⁰และ a _หรือ x ⁰ตามลำดับ แต่เรารู้ว่า:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

ดังนั้น a _o (xc) ⁰ = a _หรือ x ⁰ = a _o (ศัพท์อิสระ)

ข้อดีของอนุกรมกำลังคือสามารถแสดงฟังก์ชันร่วมกับพวกมันได้และมีข้อดีหลายประการโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณต้องการทำงานกับฟังก์ชันที่ซับซ้อน

ในกรณีนี้แทนที่จะใช้ฟังก์ชันโดยตรงให้ใช้การขยายอนุกรมกำลังซึ่งสามารถหามารวมหรือทำงานเป็นตัวเลขได้ง่ายกว่า

แน่นอนว่าทุกอย่างมีเงื่อนไขในการบรรจบกันของซีรีส์ อนุกรมมาบรรจบกันเมื่อเพิ่มคำศัพท์จำนวนมากให้ค่าคงที่ และถ้าเรายังคงเพิ่มเงื่อนไขอีกเราจะได้รับค่านั้นต่อไป

ฟังก์ชั่นเป็น Power Series

เป็นตัวอย่างของฟังก์ชั่นแสดงเป็นชุดไฟให้ลอง f (x) = E x

ฟังก์ชันนี้สามารถแสดงในรูปแบบของอำนาจได้ดังนี้:

และ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3) + (x ⁴ /4) + (x ⁵ /5) + …

ที่ไหน! = n. (n-1) (n-2) (n-3) … และใช้เวลา 0! = 1.

เราจะตรวจสอบด้วยความช่วยเหลือของเครื่องคิดเลขว่าชุดนี้สอดคล้องกับฟังก์ชันที่ระบุไว้อย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่นเริ่มต้นด้วยการสร้าง x = 0

เรารู้ว่า e ⁰ = 1 มาดูกันว่าซีรีส์ทำอะไร:

และ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3) + (0 ⁴ /4) + (0 ⁵ /5) + … = 1

ทีนี้ลอง x = 1 เครื่องคิดเลขส่งคืน e ¹ = 2.71828 แล้วลองเปรียบเทียบกับอนุกรม:

และ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3) + (1 ⁴ /4) + (1 ⁵ /5) + … = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0.0083 + …≈ 2.7167

ด้วยคำศัพท์เพียง 5 คำเท่านั้นที่เรามีการจับคู่แบบตรงทั้งหมดแล้วใน e ≈ 2.71 ซีรีส์ของเรามีอีกเพียงเล็กน้อยที่จะดำเนินการต่อไป แต่เมื่อมีการเพิ่มเงื่อนไขมากขึ้นซีรีส์ก็จะมาบรรจบกันเป็นค่า e อย่างแน่นอน การแทนค่าจะแน่นอนเมื่อ n →∞

หากการวิเคราะห์ครั้งก่อนทำซ้ำสำหรับ n = 2 จะได้ผลลัพธ์ที่คล้ายกันมาก

ด้วยวิธีนี้เรามั่นใจว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง f (x) = e ^xสามารถแสดงได้ด้วยชุดของพลังนี้:

รูปที่ 2 ในแอนิเมชั่นนี้เราจะเห็นว่าอนุกรมกำลังเข้าใกล้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมากขึ้นได้อย่างไรเมื่อใช้คำศัพท์มากขึ้น ที่มา: Wikimedia Commons

ชุดรูปทรงเรขาคณิต

ฟังก์ชัน f (x) = e ^xไม่ใช่ฟังก์ชันเดียวที่สนับสนุนการแสดงอนุกรมกำลัง ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน f (x) = 1/1 - x ดูเหมือนอนุกรมเรขาคณิตคอนเวอร์เจนท์ที่รู้จักกันดีมาก:

เพียงพอที่จะทำ a = 1 และ r = x เพื่อให้ได้อนุกรมที่เหมาะสมกับฟังก์ชันนี้ซึ่งมีศูนย์กลางอยู่ที่ c = 0:

อย่างไรก็ตามเป็นที่ทราบกันดีว่าอนุกรมนี้เป็นคอนเวอร์เจนต์สำหรับ│r│ <1 ดังนั้นการแทนค่าจะใช้ได้เฉพาะในช่วงเวลา (-1,1) แม้ว่าฟังก์ชันจะใช้ได้กับ x ทั้งหมดยกเว้น x = 1

เมื่อคุณต้องการกำหนดฟังก์ชันนี้ในช่วงอื่นคุณเพียงแค่มุ่งเน้นไปที่ค่าที่เหมาะสมและเสร็จสิ้น

วิธีค้นหาการขยายชุดของพลังของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันใด ๆ สามารถพัฒนาได้ในอนุกรมกำลังที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ c ตราบเท่าที่มีอนุพันธ์ของคำสั่งทั้งหมดที่ x = c ขั้นตอนนี้ใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของเทย์เลอร์:

ให้ f (x) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ของลำดับ n ซึ่งแสดงเป็น f ⁽ⁿ⁾ซึ่งยอมรับการขยายแบบอนุกรมของอำนาจในช่วงเวลา I การพัฒนาแบบอนุกรมของเทย์เลอร์คือ:

ดังนั้น:

โดยที่ R _nซึ่งเป็นพจน์ที่ n ของอนุกรมเรียกว่าส่วนที่เหลือ:

เมื่อ c = 0 ซีรีส์เรียกว่าซีรีส์ Maclaurin

ชุดที่ให้มานี้เหมือนกับชุดที่ให้ไว้ตอนต้นตอนนี้เรามีวิธีค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ของแต่ละคำอย่างชัดเจนโดย:

อย่างไรก็ตามเราต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าซีรีส์มาบรรจบกับฟังก์ชันที่จะแสดง มันเกิดขึ้นว่าไม่ทุกชุด Taylor จำเป็นต้องลู่กับ f (x) ที่มีอยู่ในใจเมื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ที่n

สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากบางทีอนุพันธ์ของฟังก์ชันซึ่งประเมินที่ x = c ตรงกับค่าเดียวกันของอนุพันธ์ของอีกตัวหนึ่งเช่นกันที่ x = c ในกรณีนี้ค่าสัมประสิทธิ์จะเหมือนกัน แต่การพัฒนาจะไม่ชัดเจนเนื่องจากไม่แน่ใจว่าฟังก์ชันใดสอดคล้องกับ

โชคดีที่มีวิธีรู้:

เกณฑ์การบรรจบกัน

เพื่อหลีกเลี่ยงความคลุมเครือถ้า R _n → 0 เป็น n →∞สำหรับ x ทั้งหมดในช่วงเวลา I ชุดจะมาบรรจบกันเป็น f (x)

ออกกำลังกาย

- การออกกำลังกายได้รับการแก้ไข 1

ค้นหาอนุกรมกำลังทางเรขาคณิตสำหรับฟังก์ชัน f (x) = 1/2 - x อยู่ตรงกลางที่ c = 0

สารละลาย

ฟังก์ชันที่กำหนดจะต้องแสดงในลักษณะที่ใกล้เคียงกันมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ด้วย 1 / 1- x ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในอนุกรม ลองเขียนตัวเศษและตัวส่วนใหม่โดยไม่เปลี่ยนนิพจน์ดั้งเดิม:

1/2 - x = (1/2) /

เนื่องจาก½เป็นค่าคงที่มันจึงมาจากผลรวมและมันถูกเขียนในรูปของตัวแปรใหม่ x / 2:

โปรดทราบว่า x = 2 ไม่ได้อยู่ในโดเมนของฟังก์ชันและตามเกณฑ์การลู่เข้าที่ระบุในส่วน Geometric Power Series การขยายจะใช้ได้สำหรับ│x / 2│ <1 หรือเทียบเท่า -2 <x <2

- แก้ไขการออกกำลังกาย 2

ค้นหา 5 พจน์แรกของการขยายชุด Maclaurin ของฟังก์ชัน f (x) = sin x

สารละลาย

ขั้นตอนที่ 1

ประการแรกคืออนุพันธ์:

-Derivative ของคำสั่ง 0: เป็นฟังก์ชันเดียวกัน f (x) = sin x

- อนุพันธ์อันดับหนึ่ง: (sin x) ´= cos x

- อนุพันธ์อันดับสอง: (sin x)´´ = (cos x) ´= - sin x

- อนุพันธ์อันดับสาม: (sin x)´´´ = (-sen x) ´= - cos x

อนุพันธ์อันดับสี่: (sin x)´´´´ = (- cos x) ´= sin x

ขั้นตอนที่ 2

จากนั้นแต่ละอนุพันธ์จะได้รับการประเมินที่ x = c เช่นเดียวกับการขยายตัวของ Maclaurin c = 0:

บาป 0 = 0; เพราะ 0 = 1; - บาป 0 = 0; -cos 0 = -1; บาป 0 = 0

ขั้นตอนที่ 3

ค่าสัมประสิทธิ์_{n มีการสร้าง} ;

ก_o = 0/0! = 0; ก₁ = 1/1! = 1; ก₂ = 0/2! = 0; ก₃ = -1 / 3!; ก₄ = 0/4! = 0

ขั้นตอนที่ 4

ในที่สุดชุดก็ถูกประกอบตาม:

บาป x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0 .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ + …

ผู้อ่านต้องการเงื่อนไขเพิ่มเติมหรือไม่? อีกกี่ซีรีส์ก็ใกล้เคียงกับฟังก์ชันมากขึ้น

สังเกตว่ามีรูปแบบในสัมประสิทธิ์คำศัพท์ที่ไม่ใช่ศูนย์ถัดไปคือ₅และคำที่มีดัชนีคี่จะแตกต่างจาก 0 เช่นกันสลับสัญญาณเพื่อให้:

บาป x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ + ….

เหลือไว้เป็นแบบฝึกหัดเพื่อตรวจสอบว่ามันบรรจบกันเกณฑ์ผลหารสามารถใช้สำหรับการลู่เข้าของอนุกรม

อ้างอิง

1. มูลนิธิ CK-12 Power Series: การแสดงฟังก์ชันและการดำเนินการ สืบค้นจาก: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. แคลคูลัสเชิงปริพันธ์. มหาวิทยาลัยแห่งชาติ Litoral
3. Larson, R. 2010. การคำนวณตัวแปร. วันที่ 9. ฉบับ McGraw Hill
4. ตำราคณิตศาสตร์ฟรี ชุดพลังงาน ดึงมาจาก: math.liibretexts.org.
5. วิกิพีเดีย ชุดพลังงาน สืบค้นจาก: es.wikipedia.org.