กฎของซิมป์สัน: สูตรการพิสูจน์ตัวอย่างแบบฝึกหัด - คณิตศาสตร์ - 2026

ซิมป์สัน 's กฎเป็นวิธีการสำหรับการคำนวณประมาณปริพันธ์แน่นอน มันขึ้นอยู่กับการแบ่งช่วงเวลาการรวมออกเป็นจำนวนคู่ของช่วงเวลาย่อยที่มีระยะห่างเท่า ๆ กัน

ค่าสุดขั้วของช่วงเวลาย่อยสองช่วงติดต่อกันกำหนดจุดสามจุดโดยที่พาราโบลาซึ่งมีสมการเป็นพหุนามดีกรีที่สองจะพอดี

รูปที่ 1. ในวิธีการของ Simpson ช่วงเวลาการรวมจะแบ่งออกเป็นจำนวนคู่ของช่วงเวลาที่มีความกว้างเท่ากัน ฟังก์ชันนี้จะประมาณโดยพาราโบลาในทุกๆ 2 ช่วงเวลาย่อยและอินทิกรัลจะประมาณโดยผลรวมของพื้นที่ใต้พาราโบลา ที่มา: upv.es.

จากนั้นพื้นที่ใต้เส้นโค้งของฟังก์ชันในช่วงเวลาสองช่วงติดต่อกันจะถูกประมาณโดยพื้นที่ของพหุนามการแก้ไข การเพิ่มการมีส่วนร่วมให้กับพื้นที่ภายใต้พาราโบลาของช่วงเวลาย่อยที่ต่อเนื่องกันทั้งหมดเรามีค่าโดยประมาณของอินทิกรัล

ในทางกลับกันเนื่องจากอินทิกรัลของพาราโบลาสามารถคำนวณได้ในเชิงพีชคณิตอย่างแน่นอนจึงเป็นไปได้ที่จะหาสูตรวิเคราะห์สำหรับค่าโดยประมาณของอินทิกรัลที่แน่นอน เป็นที่รู้จักกันในชื่อสูตรซิมป์สัน

ข้อผิดพลาดของผลลัพธ์โดยประมาณที่ได้รับจึงลดลงเมื่อจำนวนส่วนย่อย n มีค่ามากขึ้น (โดยที่ n เป็นเลขคู่)

นิพจน์จะได้รับด้านล่างซึ่งช่วยในการประมาณขอบเขตบนของข้อผิดพลาดของการประมาณค่ากับอินทิกรัล I เมื่อมีการสร้างพาร์ติชันของช่วงย่อยปกติ n ของช่วงเวลาทั้งหมด

สูตร

ช่วงเวลาการรวมจะแบ่งออกเป็น n ช่วงย่อยโดย n เป็นจำนวนเต็มคู่ ความกว้างของแต่ละส่วนย่อยจะเป็น:

h = (b - a) / n

ด้วยวิธีนี้พาร์ติชันจะถูกสร้างขึ้นในช่วงเวลา:

{X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn}

โดยที่ X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h, …, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b

สูตรที่อนุญาตให้ประมาณค่าอินทิกรัล I ที่แน่นอนของฟังก์ชันต่อเนื่องและราบรื่นโดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่วงเวลาคือ:

สาธิต

เพื่อให้ได้สูตร Simpson ในแต่ละช่วงย่อยฟังก์ชัน f (X) จะประมาณโดยพหุนามดีกรีที่สอง p (X) (พาราโบลา) ที่ผ่านจุดสามจุด:; และ.

จากนั้นอินทิกรัลของพหุนาม p (x) จะถูกคำนวณซึ่งจะประมาณอินทิกรัลของฟังก์ชัน f (X) ในช่วงเวลานั้น

รูปที่ 2. กราฟเพื่อแสดงสูตรของ Simpson ที่มา: F. Zapata

สัมประสิทธิ์ของพหุนามการแก้ไข

สมการของพาราโบลา p (X) มีรูปแบบทั่วไปคือ p (X) = AX ² + BX + C เมื่อพาราโบลาผ่านจุด Q ที่ระบุด้วยสีแดง (ดูรูป) แล้วจึงมีสัมประสิทธิ์ A, B, C ถูกกำหนดจากระบบสมการต่อไปนี้:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (ซ) ² + B h + C = f (Xi + 2)

จะเห็นได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ C ถูกกำหนด ในการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ A เราจะเพิ่มสมการที่หนึ่งและสามที่ได้รับ:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2)

จากนั้นค่าของ C จะถูกแทนที่และ A จะถูกล้างออกจาก:

A = / (2 ชม. ² )

ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ B สมการที่สามจะถูกลบออกจากสมการแรกและ B จะถูกแก้ไขโดยได้รับ:

B = = 2 ชม.

โดยสรุปพหุนามดีกรีที่สอง p (X) ที่ผ่านจุด Qi, Qi + 1 และ Qi + 2 มีค่าสัมประสิทธิ์:

A = / (2 ชม. ² )

B = = 2 ชม

C = f (Xi + 1)

การคำนวณอินทิกรัลโดยประมาณใน

การคำนวณโดยประมาณของอินทิกรัลใน

ดังที่ได้กล่าวไปแล้วพาร์ติชัน {X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn} ถูกสร้างขึ้นในช่วงเวลาการรวมทั้งหมดด้วยขั้นตอน h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n โดยที่ n คือเลขคู่

ข้อผิดพลาดในการประมาณ

โปรดสังเกตว่าข้อผิดพลาดจะลดลงตามกำลังที่สี่ของจำนวนส่วนย่อยในช่วงเวลา ตัวอย่างเช่นหากคุณเปลี่ยนจาก n ส่วนย่อยเป็น 2n ข้อผิดพลาดจะลดลงตามปัจจัย 1/16

ขอบเขตบนของข้อผิดพลาดที่ได้จากการประมาณของ Simpson สามารถหาได้จากสูตรเดียวกันนี้โดยแทนที่อนุพันธ์อันดับสี่สำหรับค่าสัมบูรณ์สูงสุดของอนุพันธ์อันดับสี่ในช่วงเวลา

ตัวอย่างการทำงาน

- ตัวอย่าง 1

พิจารณาฟังก์ชัน f (X) = 1 / (1 + X ² )

ค้นหาอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชัน f (X) ในช่วงเวลาโดยใช้วิธีของ Simpson ที่มีการแบ่งย่อยสองส่วน (n = 2)

สารละลาย

เราใช้ n = 2 ขีด จำกัด ของการรวมคือ a = -1 และ b = -2 ดังนั้นพาร์ติชันจึงมีลักษณะดังนี้:

X0 = -1; X1 = 0 และ X2 = +1

ดังนั้นสูตรของ Simpson จึงอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

รูปที่ 3. ตัวอย่างการรวมตัวเลขตามกฎของ Simpson โดยใช้ซอฟต์แวร์ ที่มา: F. Zapata

อ้างอิง

1. Casteleiro, JM 2002. Comprehensive Calculus (Illustrated Edition). มาดริด: บรรณาธิการ ESIC
2. UPV. วิธีการของ Simpson มหาวิทยาลัยโพลีเทคนิควาเลนเซีย ดึงมาจาก: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Calculus Ninth Edition. ศิษย์ฮอลล์.
4. วิกิพีเดีย กฎของซิมป์สัน สืบค้นจาก: es.wikipedia.com
5. วิกิพีเดีย การแก้ไขพหุนามลากรองจ์ สืบค้นจาก: es.wikipedia.com