ประเภทปริพันธ์ที่เราพบในแคลคูลัสเป็นปริพันธ์ไม่แน่นอนและ integrals ชัดเจน แม้ว่าอินทิกรัลที่แน่นอนจะมีแอพพลิเคชั่นมากมายมากกว่าปริพันธ์ที่ไม่มีกำหนด แต่คุณต้องเรียนรู้วิธีแก้ปริพันธ์ที่ไม่มีกำหนดก่อน
หนึ่งในแอพพลิเคชั่นที่น่าสนใจที่สุดของปริพันธ์แน่นอนคือการคำนวณปริมาตรของการปฏิวัติที่มั่นคง ปริพันธ์ทั้งสองประเภทมีสมบัติเชิงเส้นเหมือนกันและเทคนิคการอินทิกรัลไม่ได้ขึ้นอยู่กับชนิดของอินทิกรัล
ของแข็งแห่งการปฏิวัติ
แต่ถึงแม้จะคล้ายกันมาก แต่ก็มีข้อแตกต่างที่สำคัญอย่างหนึ่ง ในอินทิกรัลประเภทแรกผลลัพธ์คือฟังก์ชัน (ซึ่งไม่เฉพาะเจาะจง) ในขณะที่ในประเภทที่สองผลลัพธ์คือตัวเลข
ประเภทพื้นฐานของปริพันธ์
โลกของปริพันธ์นั้นกว้างมาก แต่ภายในนั้นเราสามารถแยกแยะอินทิกรัลพื้นฐานได้ 2 ประเภทซึ่งมีประโยชน์อย่างมากในชีวิตประจำวัน
1- ปริพันธ์ไม่แน่นอน
ถ้า F '(x) = f (x) สำหรับ x ทั้งหมดในโดเมนของ f เราจะบอกว่า F (x) เป็นสารต้านอนุพันธ์หรืออนุพันธ์ของ f (x)
ในทางกลับกันให้เราสังเกตว่า (F (x) + C) '= F' (x) = f (x) ซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลของฟังก์ชันไม่ซ้ำกันเนื่องจากการให้ค่าที่แตกต่างกันกับค่าคงที่ C เราจะได้รับที่แตกต่างกัน ยาต้านไวรัส
ด้วยเหตุนี้ F (x) + C จึงเรียกว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด ของ f (x) และ C เรียกว่าค่าคงที่ของการรวมและเราเขียนด้วยวิธีต่อไปนี้
อินทิกรัลไม่แน่นอน
อย่างที่เราเห็นอินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชัน f (x) คือตระกูลของฟังก์ชัน
ตัวอย่างเช่นหากคุณต้องการหาอินทิกรัลที่ไม่มีกำหนดของฟังก์ชัน f (x) = 3x²คุณต้องหาค่าปฏิกริยาของ f (x) ก่อน
มันง่ายที่จะเห็นว่า F (x) = x ant เป็นสารต่อต้านการเปลี่ยนแปลงเนื่องจาก F '(x) = 3x² ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C
2- ปริพันธ์ที่แน่นอน
ให้ y = f (x) เป็นฟังก์ชันจริงต่อเนื่องในช่วงเวลาปิดและให้ F (x) เป็นตัวต่อต้านการแยกของ f (x) อินทิกรัลที่แน่นอนของ f (x) ระหว่างขีด จำกัด a และ b เรียกว่าจำนวน F (b) -F (a) และแสดงเป็นดังนี้
ทฤษฎีพื้นฐานของแคลคูลัส
สูตรที่แสดงข้างต้นเป็นที่รู้จักกันดีในชื่อ "The Fundamental Theorem of Calculus" ที่นี่ "a" เรียกว่าขีด จำกัด ล่างและ "b" เรียกว่าขีด จำกัด บน อย่างที่คุณเห็นอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันคือตัวเลข
ในกรณีนี้หากคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนของ f (x) = 3x²ในช่วงเวลาจะได้ตัวเลข
ในการพิจารณาจำนวนนี้เราเลือก F (x) = x³เป็นตัวต่อต้านการคำนวณของ f (x) = 3x² จากนั้นเราคำนวณ F (3) -F (0) ซึ่งให้ผลลัพธ์ 27-0 = 27 สรุปได้ว่าอินทิกรัลที่แน่นอนของ f (x) ในช่วงเวลาคือ 27
สังเกตได้ว่าถ้าเลือก G (x) = x³ + 3 ดังนั้น G (x) จะเป็นฤทธิ์ต้านของ f (x) ที่แตกต่างจาก F (x) แต่จะไม่มีผลต่อผลลัพธ์เนื่องจาก G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27 ด้วยเหตุนี้ค่าคงที่ของการรวมจึงไม่ปรากฏในปริพันธ์ที่แน่นอน
หนึ่งในแอปพลิเคชั่นที่มีประโยชน์ที่สุดของอินทิกรัลประเภทนี้คือช่วยให้เราสามารถคำนวณพื้นที่ (ปริมาตร) ของรูประนาบ (ของการปฏิวัติที่มั่นคง) สร้างฟังก์ชันที่เหมาะสมและขีด จำกัด ของการรวม (และแกนการหมุน)
ภายในปริพันธ์ที่แน่นอนเราสามารถค้นหาส่วนขยายต่างๆของมันเช่นปริพันธ์ของเส้นปริพันธ์พื้นผิวปริพันธ์ที่ไม่เหมาะสมอินทิกรัลหลายอินทิกรัลและอื่น ๆ ทั้งหมดนี้มีการใช้งานที่มีประโยชน์มากในด้านวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม
อ้างอิง
- Casteleiro, JM (2012). บูรณาการง่ายหรือไม่? คู่มือการศึกษาด้วยตนเอง. มาดริด: ESIC
- Casteleiro, JM และGómez-Álvarez, RP (2002) แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Illustrated ed.) มาดริด: บรรณาธิการ ESIC
- Fleming, W. , & Varberg, DE (1989). คณิตศาสตร์ Precalculus Prentice Hall PTR.
- Fleming, W. , & Varberg, DE (1989). คณิตศาสตร์ Precalculus: แนวทางการแก้ปัญหา (2, Illustrated ed.) มิชิแกน: Prentice Hall
- คิชาน, H. (2005). แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ผู้จัดพิมพ์และผู้จัดจำหน่ายในมหาสมุทรแอตแลนติก
- Purcell, EJ, Varberg, D. , & Rigdon, SE (2007) แคลคูลัส (Ninth ed.) ศิษย์ฮอลล์.