หลักการทวีคูณ: เทคนิคการนับและตัวอย่าง - คณิตศาสตร์ - 2026

หลักการคูณเป็นเทคนิคที่ใช้ในการแก้ปัญหาการนับที่จะหาทางออกได้โดยไม่ต้องแสดงรายการองค์ประกอบของ เป็นที่รู้จักกันในชื่อหลักการพื้นฐานของการวิเคราะห์เชิงผสม มันขึ้นอยู่กับการคูณต่อเนื่องเพื่อพิจารณาว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นได้อย่างไร

หลักการนี้ระบุว่าหากการตัดสินใจ (d ₁ ) สามารถทำได้ใน n วิธีและการตัดสินใจอื่น (d ₂ ) สามารถทำได้ในรูปแบบ m จำนวนวิธีทั้งหมดที่สามารถตัดสินใจ d ₁และ d ₂ได้จะเท่ากัน เพื่อคูณจาก n _* m ตามหลักการแล้วการตัดสินใจแต่ละครั้งจะทำทีละวิธี: จำนวนวิธี = N _{1 *} N ₂ … _* N _xวิธี

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

พอลล่าวางแผนจะไปดูหนังกับเพื่อน ๆ และเลือกเสื้อผ้าที่จะใส่ฉันแยกเสื้อเบลาส์ 3 ตัวและกระโปรง 2 ตัว พอลล่าแต่งตัวได้กี่แบบ?

สารละลาย

ในกรณีนี้พอลล่าต้องตัดสินใจสองอย่าง:

d ₁ = เลือกระหว่างเสื้อ 3 ตัว = n

d ₂ = เลือกระหว่าง 2 กระโปรง = ม

วิธีการที่พอลล่ามี n _*ตัดสินใจเมตรเพื่อให้การหรือวิธีการที่แตกต่างกันของการแต่งกาย

n _* m = 3 _* 2 = 6 การตัดสินใจ

หลักการคูณเกิดจากเทคนิคของแผนภาพต้นไม้ซึ่งเป็นแผนภาพที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเพื่อให้แต่ละคนสามารถเกิดขึ้นได้ไม่ จำกัด จำนวนครั้ง

ตัวอย่าง 2

มาริโอกระหายน้ำมากจึงไปที่ร้านเบเกอรี่เพื่อซื้อน้ำผลไม้ หลุยส์ดูแลเขาและบอกเขาว่ามีสองขนาด: ใหญ่และเล็ก และสี่รสชาติ: แอปเปิ้ลส้มมะนาวและองุ่น Mario เลือกน้ำผลไม้ได้กี่วิธี?

สารละลาย

ในแผนภาพจะเห็นได้ว่า Mario มี 8 วิธีในการเลือกน้ำผลไม้และตามหลักการคูณผลลัพธ์นี้ได้จากการคูณ n _* m ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวก็คือจากแผนภาพนี้คุณจะเห็นว่ามาริโอเลือกน้ำผลไม้อย่างไร

ในทางกลับกันเมื่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มีขนาดใหญ่มากการใช้หลักการคูณจะเป็นประโยชน์มากกว่า

เทคนิคการนับ

เทคนิคการนับเป็นวิธีการที่ใช้ในการนับโดยตรงและทำให้ทราบจำนวนการจัดเรียงที่เป็นไปได้ที่องค์ประกอบของชุดที่กำหนดสามารถมีได้ เทคนิคเหล่านี้ขึ้นอยู่กับหลักการหลายประการ:

หลักการเพิ่มเติม

หลักการนี้ระบุว่าหากสองเหตุการณ์ m และ n ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันจำนวนวิธีที่เหตุการณ์แรกหรือครั้งที่สองสามารถเกิดขึ้นได้จะเป็นผลรวมของ m + n:

จำนวนรูปร่าง = m + n … + x รูปร่างที่แตกต่างกัน

ตัวอย่าง

อันโตนิโอต้องการเดินทาง แต่ไม่ได้ตัดสินใจว่าจะไปจุดหมายปลายทางใด ที่หน่วยงานการท่องเที่ยวภาคใต้จะเสนอโปรโมชั่นให้คุณเดินทางไปนิวยอร์กหรือลาสเวกัสในขณะที่หน่วยงานการท่องเที่ยวภาคตะวันออกแนะนำให้เดินทางไปฝรั่งเศสอิตาลีหรือสเปน อันโตนิโอเสนอทางเลือกในการเดินทางให้คุณกี่แบบ?

สารละลาย

ด้วยหน่วยงานการท่องเที่ยวทางตอนใต้อันโตนิโอมีทางเลือก 2 ทาง (นิวยอร์กหรือลาสเวกัส) ในขณะที่หน่วยงานการท่องเที่ยวภาคตะวันออกเขามี 3 ทางเลือก (ฝรั่งเศสอิตาลีหรือสเปน) จำนวนทางเลือกที่แตกต่างกันคือ:

จำนวนทางเลือก = m + n = 2 + 3 = 5 ทางเลือก

หลักการเรียงสับเปลี่ยน

เป็นเรื่องเกี่ยวกับการสั่งซื้อองค์ประกอบทั้งหมดหรือบางส่วนที่ประกอบขึ้นเป็นชุดโดยเฉพาะเพื่ออำนวยความสะดวกในการนับการจัดเตรียมที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่สามารถทำได้กับองค์ประกอบ

จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบต่างๆ n องค์ประกอบที่นำมาทั้งหมดในครั้งเดียวจะแสดงเป็น:

_{\ n} P _{\ n} = น!

ตัวอย่าง

เพื่อนโฟร์อยากถ่ายรูปอยากรู้ว่าจัดได้กี่แบบ

สารละลาย

คุณต้องการทราบชุดวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่บุคคลทั้ง 4 สามารถจัดตำแหน่งเพื่อถ่ายภาพได้ ดังนั้นคุณต้อง:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 รูปร่างที่แตกต่างกัน

หากจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของ n องค์ประกอบที่มีถูกนำมาโดยส่วนต่างๆของชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ r จะแสดงเป็น:

_น P _{r =} n! ÷ (น - ร)!

ตัวอย่าง

ในห้องเรียนมี 10 ที่นั่ง หากมีนักเรียน 4 คนเข้าร่วมชั้นเรียนนักเรียนจะเติมตำแหน่งได้กี่วิธี

สารละลาย

เราพบว่าจำนวนชุดเก้าอี้ทั้งหมดคือ 10 ชุดและจะใช้เพียง 4 ตัวเท่านั้นสูตรที่กำหนดใช้เพื่อกำหนดจำนวนการเรียงสับเปลี่ยน:

_น P _r = n! ÷ (น - ร)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 วิธีในการเติมตำแหน่ง

มีบางกรณีที่มีการทำซ้ำองค์ประกอบที่มีอยู่บางส่วนของชุด (เหมือนกัน) ในการคำนวณจำนวนอาร์เรย์ที่รับองค์ประกอบทั้งหมดในเวลาเดียวกันจะใช้สูตรต่อไปนี้:

_น P _r = n! ÷น₁ ! _* n ₂ ! … n _R !

ตัวอย่าง

คำตัวอักษร 4 คำสามารถสร้างได้จากคำว่า "wolf"?

สารละลาย

ในกรณีนี้มี 4 องค์ประกอบ (ตัวอักษร) ซึ่งสององค์ประกอบเหมือนกันทุกประการ การใช้สูตรที่กำหนดเป็นที่ทราบกันดีว่าผลลัพธ์ของคำต่างๆมีกี่คำ:

_น P _r = n! ÷น₁ ! _* n ₂ ! … n _R !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 คำที่แตกต่างกัน

หลักการผสมผสาน

เป็นเรื่องเกี่ยวกับการจัดเรียงองค์ประกอบทั้งหมดหรือบางส่วนที่ประกอบขึ้นเป็นชุดโดยไม่มีคำสั่งเฉพาะ ตัวอย่างเช่นหากคุณมีการจัดเรียง XYZ จะเหมือนกับการจัดเรียง ZXY, YZX, ZYX และอื่น ๆ เนื่องจากแม้ว่าจะไม่ได้อยู่ในลำดับเดียวกัน แต่องค์ประกอบของการจัดเรียงแต่ละครั้งก็เหมือนกัน

เมื่อองค์ประกอบบางส่วน (r) ถูกนำมาจากเซต (n) หลักการของการรวมกันจะได้รับจากสูตรต่อไปนี้:

_n C _{r =} n! ÷ (น - ร)! R!

ตัวอย่าง

ในร้านขายช็อกโกแลต 5 ชนิด เลือกช็อกโกแลต 4 แบบได้กี่วิธี?

สารละลาย

ในกรณีนี้จะต้องเลือกช็อคโกแลต 4 ชิ้นจาก 5 ชนิดที่ขายในร้าน ลำดับที่เลือกไม่สำคัญและนอกจากนี้ยังสามารถเลือกช็อกโกแลตประเภทหนึ่งได้มากกว่าสองครั้ง ใช้สูตรคุณต้อง:

_n C _r = n! ÷ (น - ร)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 วิธีในการเลือกช็อคโกแลต 4 แบบ

เมื่อใช้องค์ประกอบทั้งหมด (r) ของเซต (n) หลักการรวมกันจะได้รับจากสูตรต่อไปนี้:

_n C _{n =} n!

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แบบฝึกหัด 1

มีทีมเบสบอลที่มีสมาชิก 14 คน สามารถกำหนด 5 ตำแหน่งสำหรับเกมได้กี่วิธี?

สารละลาย

ชุดนี้ประกอบด้วย 14 องค์ประกอบและคุณต้องการกำหนดตำแหน่งเฉพาะ 5 ตำแหน่ง นั่นคือการสั่งซื้อมีความสำคัญ สูตรการเปลี่ยนรูปถูกนำไปใช้โดยที่องค์ประกอบที่มีอยู่จะถูกนำมาใช้โดยส่วนต่างๆของเซตที่สร้างขึ้นโดย r

_น P _{r =} n! ÷ (น - ร)!

โดยที่ n = 14 และ r = 5 จะถูกแทนที่ในสูตร:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240240 วิธีกำหนดตำแหน่งเกม 9 ตำแหน่ง

แบบฝึกหัด 2

หากครอบครัว 9 คนไปเที่ยวและซื้อตั๋วโดยมีที่นั่งติดต่อกันจะนั่งลงได้กี่วิธี?

สารละลาย

เป็นเรื่องเกี่ยวกับ 9 องค์ประกอบที่จะครอบครอง 9 ที่นั่งติดต่อกัน

ป₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 วิธีการนั่งที่แตกต่างกัน

อ้างอิง

1. ฮอปกินส์, บี. (2552). แหล่งข้อมูลสำหรับการสอนคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง: โครงงานในชั้นเรียนโมดูลประวัติศาสตร์และบทความ
2. Johnsonbaugh, R. (2005). คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง เพียร์สันการศึกษา,.
3. ลัทฟิยา, LA (2012). ตัวแก้ปัญหาคณิตศาสตร์แบบ จำกัด และไม่ต่อเนื่อง บรรณาธิการสมาคมวิจัยและการศึกษา
4. ปาโดโร, เอฟซี (2001). คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง โปลิเทค ของกาตาลุญญา
5. Steiner, E. (2005). คณิตศาสตร์สำหรับวิทยาศาสตร์ประยุกต์. Reverte