- ตัวอย่าง
- ตัวอย่าง 1
- สารละลาย
- ตัวอย่าง 2
- สารละลาย
- เทคนิคการนับ
- หลักการเพิ่มเติม
- ตัวอย่าง
- สารละลาย
- หลักการเรียงสับเปลี่ยน
- ตัวอย่าง
- สารละลาย
- ตัวอย่าง
- สารละลาย
- ตัวอย่าง
- สารละลาย
- หลักการผสมผสาน
- ตัวอย่าง
- สารละลาย
- แบบฝึกหัดที่แก้ไข
- แบบฝึกหัด 1
- สารละลาย
- แบบฝึกหัด 2
- สารละลาย
- อ้างอิง
หลักการคูณเป็นเทคนิคที่ใช้ในการแก้ปัญหาการนับที่จะหาทางออกได้โดยไม่ต้องแสดงรายการองค์ประกอบของ เป็นที่รู้จักกันในชื่อหลักการพื้นฐานของการวิเคราะห์เชิงผสม มันขึ้นอยู่กับการคูณต่อเนื่องเพื่อพิจารณาว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นได้อย่างไร
หลักการนี้ระบุว่าหากการตัดสินใจ (d 1 ) สามารถทำได้ใน n วิธีและการตัดสินใจอื่น (d 2 ) สามารถทำได้ในรูปแบบ m จำนวนวิธีทั้งหมดที่สามารถตัดสินใจ d 1และ d 2ได้จะเท่ากัน เพื่อคูณจาก n * m ตามหลักการแล้วการตัดสินใจแต่ละครั้งจะทำทีละวิธี: จำนวนวิธี = N 1 * N 2 … * N xวิธี

ตัวอย่าง
ตัวอย่าง 1
พอลล่าวางแผนจะไปดูหนังกับเพื่อน ๆ และเลือกเสื้อผ้าที่จะใส่ฉันแยกเสื้อเบลาส์ 3 ตัวและกระโปรง 2 ตัว พอลล่าแต่งตัวได้กี่แบบ?

สารละลาย
ในกรณีนี้พอลล่าต้องตัดสินใจสองอย่าง:
d 1 = เลือกระหว่างเสื้อ 3 ตัว = n
d 2 = เลือกระหว่าง 2 กระโปรง = ม
วิธีการที่พอลล่ามี n *ตัดสินใจเมตรเพื่อให้การหรือวิธีการที่แตกต่างกันของการแต่งกาย
n * m = 3 * 2 = 6 การตัดสินใจ
หลักการคูณเกิดจากเทคนิคของแผนภาพต้นไม้ซึ่งเป็นแผนภาพที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเพื่อให้แต่ละคนสามารถเกิดขึ้นได้ไม่ จำกัด จำนวนครั้ง
ตัวอย่าง 2
มาริโอกระหายน้ำมากจึงไปที่ร้านเบเกอรี่เพื่อซื้อน้ำผลไม้ หลุยส์ดูแลเขาและบอกเขาว่ามีสองขนาด: ใหญ่และเล็ก และสี่รสชาติ: แอปเปิ้ลส้มมะนาวและองุ่น Mario เลือกน้ำผลไม้ได้กี่วิธี?

สารละลาย
ในแผนภาพจะเห็นได้ว่า Mario มี 8 วิธีในการเลือกน้ำผลไม้และตามหลักการคูณผลลัพธ์นี้ได้จากการคูณ n * m ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวก็คือจากแผนภาพนี้คุณจะเห็นว่ามาริโอเลือกน้ำผลไม้อย่างไร
ในทางกลับกันเมื่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มีขนาดใหญ่มากการใช้หลักการคูณจะเป็นประโยชน์มากกว่า
เทคนิคการนับ
เทคนิคการนับเป็นวิธีการที่ใช้ในการนับโดยตรงและทำให้ทราบจำนวนการจัดเรียงที่เป็นไปได้ที่องค์ประกอบของชุดที่กำหนดสามารถมีได้ เทคนิคเหล่านี้ขึ้นอยู่กับหลักการหลายประการ:
หลักการเพิ่มเติม
หลักการนี้ระบุว่าหากสองเหตุการณ์ m และ n ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันจำนวนวิธีที่เหตุการณ์แรกหรือครั้งที่สองสามารถเกิดขึ้นได้จะเป็นผลรวมของ m + n:
จำนวนรูปร่าง = m + n … + x รูปร่างที่แตกต่างกัน
ตัวอย่าง
อันโตนิโอต้องการเดินทาง แต่ไม่ได้ตัดสินใจว่าจะไปจุดหมายปลายทางใด ที่หน่วยงานการท่องเที่ยวภาคใต้จะเสนอโปรโมชั่นให้คุณเดินทางไปนิวยอร์กหรือลาสเวกัสในขณะที่หน่วยงานการท่องเที่ยวภาคตะวันออกแนะนำให้เดินทางไปฝรั่งเศสอิตาลีหรือสเปน อันโตนิโอเสนอทางเลือกในการเดินทางให้คุณกี่แบบ?
สารละลาย
ด้วยหน่วยงานการท่องเที่ยวทางตอนใต้อันโตนิโอมีทางเลือก 2 ทาง (นิวยอร์กหรือลาสเวกัส) ในขณะที่หน่วยงานการท่องเที่ยวภาคตะวันออกเขามี 3 ทางเลือก (ฝรั่งเศสอิตาลีหรือสเปน) จำนวนทางเลือกที่แตกต่างกันคือ:
จำนวนทางเลือก = m + n = 2 + 3 = 5 ทางเลือก
หลักการเรียงสับเปลี่ยน
เป็นเรื่องเกี่ยวกับการสั่งซื้อองค์ประกอบทั้งหมดหรือบางส่วนที่ประกอบขึ้นเป็นชุดโดยเฉพาะเพื่ออำนวยความสะดวกในการนับการจัดเตรียมที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่สามารถทำได้กับองค์ประกอบ
จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบต่างๆ n องค์ประกอบที่นำมาทั้งหมดในครั้งเดียวจะแสดงเป็น:
\ n P \ n = น!
ตัวอย่าง
เพื่อนโฟร์อยากถ่ายรูปอยากรู้ว่าจัดได้กี่แบบ
สารละลาย
คุณต้องการทราบชุดวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่บุคคลทั้ง 4 สามารถจัดตำแหน่งเพื่อถ่ายภาพได้ ดังนั้นคุณต้อง:
4 P 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 รูปร่างที่แตกต่างกัน
หากจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของ n องค์ประกอบที่มีถูกนำมาโดยส่วนต่างๆของชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ r จะแสดงเป็น:
น P r = n! ÷ (น - ร)!
ตัวอย่าง
ในห้องเรียนมี 10 ที่นั่ง หากมีนักเรียน 4 คนเข้าร่วมชั้นเรียนนักเรียนจะเติมตำแหน่งได้กี่วิธี
สารละลาย
เราพบว่าจำนวนชุดเก้าอี้ทั้งหมดคือ 10 ชุดและจะใช้เพียง 4 ตัวเท่านั้นสูตรที่กำหนดใช้เพื่อกำหนดจำนวนการเรียงสับเปลี่ยน:
น P r = n! ÷ (น - ร)!
10 P 4 = 10! ÷ (10 - 4)!
10 P 4 = 10! ÷ 6!
10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 วิธีในการเติมตำแหน่ง
มีบางกรณีที่มีการทำซ้ำองค์ประกอบที่มีอยู่บางส่วนของชุด (เหมือนกัน) ในการคำนวณจำนวนอาร์เรย์ที่รับองค์ประกอบทั้งหมดในเวลาเดียวกันจะใช้สูตรต่อไปนี้:
น P r = n! ÷น1 ! * n 2 ! … n R !
ตัวอย่าง
คำตัวอักษร 4 คำสามารถสร้างได้จากคำว่า "wolf"?
สารละลาย
ในกรณีนี้มี 4 องค์ประกอบ (ตัวอักษร) ซึ่งสององค์ประกอบเหมือนกันทุกประการ การใช้สูตรที่กำหนดเป็นที่ทราบกันดีว่าผลลัพธ์ของคำต่างๆมีกี่คำ:
น P r = n! ÷น1 ! * n 2 ! … n R !
4 P 2, 1,1 = 4! ÷ 2! * 1! * 1!
4 P 2, 1, 1 = (4 * 3 * 2 * 1) ÷ (2 * 1) * 1 * 1
4 P 2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 คำที่แตกต่างกัน
หลักการผสมผสาน
เป็นเรื่องเกี่ยวกับการจัดเรียงองค์ประกอบทั้งหมดหรือบางส่วนที่ประกอบขึ้นเป็นชุดโดยไม่มีคำสั่งเฉพาะ ตัวอย่างเช่นหากคุณมีการจัดเรียง XYZ จะเหมือนกับการจัดเรียง ZXY, YZX, ZYX และอื่น ๆ เนื่องจากแม้ว่าจะไม่ได้อยู่ในลำดับเดียวกัน แต่องค์ประกอบของการจัดเรียงแต่ละครั้งก็เหมือนกัน
เมื่อองค์ประกอบบางส่วน (r) ถูกนำมาจากเซต (n) หลักการของการรวมกันจะได้รับจากสูตรต่อไปนี้:
n C r = n! ÷ (น - ร)! R!
ตัวอย่าง
ในร้านขายช็อกโกแลต 5 ชนิด เลือกช็อกโกแลต 4 แบบได้กี่วิธี?
สารละลาย
ในกรณีนี้จะต้องเลือกช็อคโกแลต 4 ชิ้นจาก 5 ชนิดที่ขายในร้าน ลำดับที่เลือกไม่สำคัญและนอกจากนี้ยังสามารถเลือกช็อกโกแลตประเภทหนึ่งได้มากกว่าสองครั้ง ใช้สูตรคุณต้อง:
n C r = n! ÷ (น - ร)! R!
5 C 4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!
5 C 4 = 5! ÷ (1)! 4!
5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 4 * 3 * 2 * 1
5 C 4 = 120 ÷ 24 = 5 วิธีในการเลือกช็อคโกแลต 4 แบบ
เมื่อใช้องค์ประกอบทั้งหมด (r) ของเซต (n) หลักการรวมกันจะได้รับจากสูตรต่อไปนี้:
n C n = n!
แบบฝึกหัดที่แก้ไข
แบบฝึกหัด 1
มีทีมเบสบอลที่มีสมาชิก 14 คน สามารถกำหนด 5 ตำแหน่งสำหรับเกมได้กี่วิธี?
สารละลาย
ชุดนี้ประกอบด้วย 14 องค์ประกอบและคุณต้องการกำหนดตำแหน่งเฉพาะ 5 ตำแหน่ง นั่นคือการสั่งซื้อมีความสำคัญ สูตรการเปลี่ยนรูปถูกนำไปใช้โดยที่องค์ประกอบที่มีอยู่จะถูกนำมาใช้โดยส่วนต่างๆของเซตที่สร้างขึ้นโดย r
น P r = n! ÷ (น - ร)!
โดยที่ n = 14 และ r = 5 จะถูกแทนที่ในสูตร:
14 P 5 = 14! ÷ (14 - 5)!
14 P 5 = 14! ÷ (9)!
14 P 5 = 240240 วิธีกำหนดตำแหน่งเกม 9 ตำแหน่ง
แบบฝึกหัด 2
หากครอบครัว 9 คนไปเที่ยวและซื้อตั๋วโดยมีที่นั่งติดต่อกันจะนั่งลงได้กี่วิธี?
สารละลาย
เป็นเรื่องเกี่ยวกับ 9 องค์ประกอบที่จะครอบครอง 9 ที่นั่งติดต่อกัน
ป9 = 9!
P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 วิธีการนั่งที่แตกต่างกัน
อ้างอิง
- ฮอปกินส์, บี. (2552). แหล่งข้อมูลสำหรับการสอนคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง: โครงงานในชั้นเรียนโมดูลประวัติศาสตร์และบทความ
- Johnsonbaugh, R. (2005). คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง เพียร์สันการศึกษา,.
- ลัทฟิยา, LA (2012). ตัวแก้ปัญหาคณิตศาสตร์แบบ จำกัด และไม่ต่อเนื่อง บรรณาธิการสมาคมวิจัยและการศึกษา
- ปาโดโร, เอฟซี (2001). คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง โปลิเทค ของกาตาลุญญา
- Steiner, E. (2005). คณิตศาสตร์สำหรับวิทยาศาสตร์ประยุกต์. Reverte
