PARALLELEPIPED: ลักษณะประเภทพื้นที่ปริมาตร - คณิตศาสตร์ - 2026

parallelepipedเป็นตัวเรขาคณิตสร้างขึ้นจากหกใบหน้าลักษณะหลักซึ่งคือทั้งหมดของใบหน้าที่มีสี่เหลี่ยมด้านขนานและที่ใบหน้าตรงข้ามขนานกับแต่ละอื่น ๆ มันเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมทั่วไปในชีวิตประจำวันของเราเนื่องจากเราสามารถพบได้ในกล่องรองเท้ารูปร่างของอิฐรูปทรงของไมโครเวฟเป็นต้น

ในฐานะที่เป็นรูปหลายเหลี่ยมขนานนั้นล้อมรอบด้วยปริมาตร จำกัด และใบหน้าทั้งหมดจะแบน มันเป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มปริซึมซึ่งเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดทั้งหมดอยู่ในระนาบคู่ขนานสองอัน

องค์ประกอบของ Parallelepiped

ใบหน้า

พวกเขาคือแต่ละพื้นที่ที่เกิดขึ้นจากรูปขนานที่ จำกัด ขนานกัน Parallelepiped มีหกใบหน้าโดยแต่ละใบหน้ามีสี่ใบหน้าที่อยู่ติดกันและอีกหน้าตรงข้ามกัน นอกจากนี้ใบหน้าแต่ละด้านยังขนานกับด้านตรงข้าม

ขอบ

เป็นด้านที่พบบ่อยของสองใบหน้า โดยรวมแล้ว Parallelepiped มีสิบสองขอบ

จุดยอด

เป็นจุดร่วมของใบหน้าสามใบหน้าที่อยู่ติดกันสองต่อสอง Parallelepiped มีจุดยอดแปดจุด

เส้นทแยงมุม

เราสามารถวาดส่วนของเส้นตรงที่เคลื่อนจากจุดยอดของใบหน้าหนึ่งไปยังจุดยอดตรงข้ามของอีกหน้าได้

ส่วนนี้เรียกว่าเส้นทแยงมุมของ Parallelepiped แต่ละขนานมีสี่เส้นทแยงมุม

ศูนย์

มันคือจุดที่เส้นทแยงมุมทั้งหมดตัดกัน

ลักษณะของ Parallelepiped

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วว่ารูปทรงเรขาคณิตนี้มีสิบสองขอบหกหน้าและแปดจุดยอด

ในรูปแบบขนานสามารถระบุสามชุดที่ประกอบขึ้นจากขอบทั้งสี่ด้านซึ่งขนานกัน นอกจากนี้ขอบของชุดดังกล่าวยังมีคุณสมบัติที่มีความยาวเท่ากัน

คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งที่ขนานกันมีก็คือมันนูนนั่นคือถ้าเรานำจุดคู่ใด ๆ ที่อยู่ภายในของคู่ขนานไปด้วยส่วนที่กำหนดโดยคู่ของจุดดังกล่าวก็จะอยู่ในแนวขนานเช่นกัน

นอกจากนี้รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบขนานซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนสอดคล้องกับทฤษฎีบทของออยเลอร์สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งทำให้เรามีความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนใบหน้าจำนวนขอบและจำนวนจุดยอด ความสัมพันธ์นี้ได้รับในรูปแบบของสมการต่อไปนี้:

C + V = A + 2

ลักษณะนี้เรียกว่าลักษณะออยเลอร์

โดยที่ C คือจำนวนใบหน้า V จำนวนจุดยอดและ A จำนวนขอบ

ประเภท

เราสามารถแบ่งประเภทขนานตามใบหน้าออกเป็นประเภทต่อไปนี้:

ออร์โธฮีดรอน

พวกเขาเป็นคู่ขนานที่ใบหน้าของพวกเขาประกอบด้วยหกสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมแต่ละรูปตั้งฉากกับขอบที่แบ่งกัน สิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งที่พบเห็นได้ทั่วไปในชีวิตประจำวันของเราซึ่งเป็นรูปแบบปกติของกล่องรองเท้าและอิฐ

ลูกบาศก์ปกติหรือรูปหกเหลี่ยม

นี่เป็นกรณีเฉพาะของรูปก่อนหน้าซึ่งแต่ละใบหน้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ลูกบาศก์ยังเป็นส่วนหนึ่งของรูปทรงเรขาคณิตที่เรียกว่า Platonic solids Platonic solid เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเพื่อให้ทั้งใบหน้าและมุมภายในเท่ากัน

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

มันขนานกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสำหรับใบหน้าของมัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเหล่านี้มีความเท่าเทียมกันเนื่องจากมีขอบที่แบ่งกัน

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

หกหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน จำไว้ว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านสี่ด้านและมุมสี่มุมที่มีค่าเท่ากับสองถึงสอง รอมบอยด์เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมหรือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ในทางกลับกัน Oblique Parallelepipeds คือสิ่งที่ความสูงอย่างน้อยหนึ่งไม่เห็นด้วยกับขอบของมัน ในการจำแนกประเภทนี้เราสามารถรวมถึง rhombohedra และ rhombohedra

การคำนวณเส้นทแยงมุม

ในการคำนวณเส้นทแยงมุมของ orthohedron เราสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ R เป็น3

จำไว้ว่า ortohedron มีลักษณะที่แต่ละด้านตั้งฉากกับด้านที่มีขอบ จากข้อเท็จจริงนี้เราสามารถอนุมานได้ว่าขอบแต่ละด้านตั้งฉากกับขอบที่แบ่งจุดยอด

ในการคำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมของ orthohedron เราดำเนินการดังนี้:

1.เราคำนวณเส้นทแยงมุมของหนึ่งในใบหน้าซึ่งเราจะวางเป็นฐาน สำหรับสิ่งนี้เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ชื่อ Let 's นี้ทแยง d ข

2.จากนั้นด้วย d _bเราสามารถสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากใหม่ได้โดยที่ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมดังกล่าวคือเส้นทแยงมุม D ที่เรากำลังมองหา

3.เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกครั้งและเราพบว่าความยาวของเส้นทแยงมุมนี้คือ:

อีกวิธีหนึ่งในการคำนวณเส้นทแยงมุมในรูปแบบกราฟิกมากขึ้นคือการเพิ่มเวกเตอร์ฟรี

จำไว้ว่าเวกเตอร์อิสระสองตัว A และ B ถูกเพิ่มโดยการวางหางของเวกเตอร์ B ด้วยปลายเวกเตอร์ A

เวกเตอร์ (A + B) คือเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่หางของ A และสิ้นสุดที่ส่วนปลายของ B

ขอให้เราพิจารณาเส้นขนานที่เราต้องการคำนวณเส้นทแยงมุม

เราระบุขอบด้วยเวกเตอร์ที่เน้นความสะดวก

จากนั้นเราเพิ่มเวกเตอร์เหล่านี้และเวกเตอร์ที่ได้จะเป็นเส้นทแยงมุมของเส้นขนาน

พื้นที่

พื้นที่ของ parallelepiped จะได้รับจากผลรวมของแต่ละส่วนของใบหน้า

ถ้าเรากำหนดด้านใดด้านหนึ่งเป็นฐาน

A _L + 2A _B = พื้นที่ทั้งหมด

โดยที่ A _Lเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของทุกด้านที่ติดกับฐานเรียกว่าพื้นที่ด้านข้างและ A _Bคือพื้นที่ของฐาน

ขึ้นอยู่กับประเภทของ parallelepiped ที่เรากำลังใช้งานเราสามารถเขียนสูตรนี้ใหม่ได้

พื้นที่ของ ortohedron

มันถูกกำหนดโดยสูตร

A = 2 (ab + bc + ca)

ตัวอย่าง 1

เมื่อพิจารณาจาก orthohedron ต่อไปนี้โดยให้ด้าน a = 6 cm, b = 8 cm และ c = 10 cm ให้คำนวณพื้นที่ของขนานและความยาวของเส้นทแยงมุม

ใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของ ortohedron ที่เรามี

A = 2 = 2 = 2 = 376 ซม. ² .

สังเกตว่าเนื่องจากมันเป็นออร์โธฮีรอนความยาวของเส้นทแยงมุมทั้งสี่ของมันจะเท่ากัน

การใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับอวกาศเรามีสิ่งนั้น

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

พื้นที่ของลูกบาศก์

เนื่องจากแต่ละขอบมีความยาวเท่ากันเราจึงมี a = b และ a = c แทนที่ในสูตรก่อนหน้านี้ที่เรามี

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

ตัวอย่าง 2

กล่องของเครื่องเล่นเกมมีรูปร่างเหมือนลูกบาศก์ ถ้าเราต้องการห่อกล่องนี้ด้วยกระดาษห่อของขวัญเราจะใช้กระดาษเท่าไหร่เมื่อรู้ว่าความยาวของขอบของลูกบาศก์คือ 45 ซม.

ใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของลูกบาศก์ที่เราได้รับนั้น

A = 6 (45 ซม.) ² = 6 (2025 ซม. ² ) = 12150 ซม. ²

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

เนื่องจากใบหน้าทั้งหมดเหมือนกันเพียงแค่คำนวณพื้นที่ของหนึ่งในนั้นแล้วคูณด้วยหก

เรามีว่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถคำนวณได้จากเส้นทแยงมุมด้วยสูตรต่อไปนี้

A _R = (Dd) / 2

ใช้สูตรนี้ตามพื้นที่ทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

ตัวอย่างที่ 3

ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนต่อไปนี้ประกอบขึ้นจากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีเส้นทแยงมุม D = 7 ซม. และ d = 4 ซม. พื้นที่ของคุณจะเป็น

A = 3 (7 ซม.) (4 ซม.) = 84 ซม. ² .

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ในการคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเราต้องคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ประกอบกัน เนื่องจาก parallelepipeds เติมเต็มคุณสมบัติที่ด้านตรงข้ามมีพื้นที่เท่ากันเราจึงสามารถเชื่อมโยงด้านเป็นสามคู่

ด้วยวิธีนี้เรามีพื้นที่ของคุณ

A _T = 2b ₁ชั่วโมง₁ + 2b ₂ชั่วโมง₂ + 2b ₃ชั่วโมง₃

โดยที่ b _iคือฐานที่สัมพันธ์กับด้านข้างและ h _iความสูงสัมพัทธ์ที่สอดคล้องกับฐานเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 4

พิจารณาสิ่งต่อไปนี้ขนานกัน

โดยที่ด้าน A และด้าน A '(ด้านตรงข้าม) มีฐาน b = 10 และความสูง h = 6 พื้นที่ที่ทำเครื่องหมายจะมีค่าเป็น

ก₁ = 2 (10) (6) = 120

B และ B 'มี b = 4 และ h = 6 ดังนั้น

ก₂ = 2 (4) (6) = 48

YC และ C 'มี b = 10 และ h = 5 ดังนั้น

ก₃ = 2 (10) (5) = 100

ในที่สุดพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็คือ

ก = 120 + 48 + 100 = 268

ปริมาณของขนาน

สูตรที่ให้ปริมาตรขนานกับเราคือผลคูณของพื้นที่ใบหน้าข้างหนึ่งตามความสูงที่สอดคล้องกับใบหน้านั้น

V = A _C h _C

สูตรนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับประเภทของ Parallelepiped

ดังนั้นเราจึงมีตัวอย่างว่าปริมาตรของ orthohedron จะได้รับจาก

V = abc

โดยที่ a, b และ c แทนความยาวของขอบของ ortohedron

และในกรณีเฉพาะของคิวบ์คือ

V = a ³

ตัวอย่าง 1

กล่องคุกกี้มีสามรุ่นที่แตกต่างกันและคุณต้องการทราบว่ารุ่นใดที่คุณสามารถเก็บคุกกี้ได้มากกว่านั่นคือกล่องใดที่มีปริมาตรมากที่สุด

อันแรกคือลูกบาศก์ที่ขอบมีความยาว a = 10 ซม

ปริมาตรจะเป็น V = 1,000 ซม. ³

ขอบที่สอง b = 17 ซม., c = 5 ซม., d = 9 ซม

ดังนั้นปริมาตรของมันคือ V = 765 ซม. ³

และตัวที่สามมี e = 9 ซม., f = 9 ซม. และ g = 13 ซม

และปริมาตรของมันคือ V = 1053 ซม. ³

ดังนั้นกล่องที่มีปริมาตรมากที่สุดคือช่องที่สาม

อีกวิธีหนึ่งในการหาปริมาตรของเส้นคู่ขนานคือการใช้พีชคณิตเวกเตอร์ โดยเฉพาะผลิตภัณฑ์จุดสามจุด

การตีความทางเรขาคณิตอย่างหนึ่งที่ผลคูณสามสเกลาร์มีคือปริมาตรของเส้นขนานที่มีขอบเป็นเวกเตอร์สามตัวที่แบ่งจุดยอดเดียวกันเป็นจุดเริ่มต้น

ด้วยวิธีนี้หากเรามีจุดคู่ขนานและเราต้องการทราบว่าปริมาตรของมันคือเท่าใดก็เพียงพอที่จะแสดงในระบบพิกัดใน R ^{3 โดย}การทำให้จุดยอดหนึ่งตรงกับจุดกำเนิด

จากนั้นเราจะแทนขอบที่ตรงกับจุดกำเนิดด้วยเวกเตอร์ดังแสดงในรูป

และด้วยวิธีนี้เราจึงได้ปริมาณของ parallelepiped ดังกล่าวมาจาก

V = - AxB ∙ C-

หรือเทียบเท่าปริมาตรเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์ 3 × 3 ซึ่งสร้างขึ้นโดยส่วนประกอบของเวกเตอร์ขอบ

ตัวอย่าง 2

เมื่อแสดงคู่ขนานต่อไปนี้ใน R ³เราจะเห็นว่าเวกเตอร์ที่กำหนดเป็นดังต่อไปนี้

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) และ w = (-0.25, -4, 4)

ใช้ผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามเท่าที่เรามี

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

จากนี้เราสรุปได้ว่า V = 60

ตอนนี้ให้เราพิจารณาขนานต่อไปนี้ใน R3 ซึ่งขอบถูกกำหนดโดยเวกเตอร์

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) และ C = (3, 4, 4)

การใช้ดีเทอร์มิแนนต์ทำให้เราได้สิ่งนั้น

ดังนั้นเราจึงมีปริมาณของขนานที่กล่าวว่าคือ 112

ทั้งสองวิธีนี้เทียบเท่ากันในการคำนวณปริมาตร

ขนานที่สมบูรณ์แบบ

orthohedron เรียกว่าอิฐออยเลอร์ (หรือบล็อกของออยเลอร์) ที่เติมเต็มคุณสมบัติที่ทั้งความยาวของขอบและความยาวของเส้นทแยงมุมของแต่ละใบหน้าเป็นจำนวนเต็ม

แม้ว่าออยเลอร์ไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์คนแรกที่ศึกษาออร์โทเฮดราที่เติมเต็มคุณสมบัตินี้ แต่เขาก็พบผลลัพธ์ที่น่าสนใจเกี่ยวกับพวกมัน

อิฐออยเลอร์ที่เล็กที่สุดถูกค้นพบโดย Paul Halcke และความยาวของขอบคือ a = 44, b = 117 และ c = 240

ปัญหาเปิดในทฤษฎีจำนวนมีดังนี้

มี ortohedra ที่สมบูรณ์แบบหรือไม่?

ในปัจจุบันคำถามนี้ยังไม่ได้รับคำตอบเนื่องจากยังไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีศพดังกล่าว แต่ไม่พบศพใด ๆ

สิ่งที่แสดงให้เห็นจนถึงตอนนี้ก็คือมีขนานที่สมบูรณ์แบบ สิ่งแรกที่ค้นพบมีความยาวของขอบเท่ากับ 103, 106 และ 271

บรรณานุกรม

1. กายอาร์ (1981). ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไขในทฤษฎีจำนวน สปริงเกอร์.
2. Landaverde, F. d. (2540). เรขาคณิต. ความคืบหน้า.
3. Leithold, L. (1992). การคำนวณด้วยเรขาคณิตวิเคราะห์ ฮาร์ลา, SA
4. เรนดอน, A. (2004). ภาพวาดทางเทคนิค: หนังสือกิจกรรม 3 บาชิลเลราโตครั้งที่ 3 Tebar
5. Resnick, R. , Halliday, D. , & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. เม็กซิโก: ทวีป.