ไฮเพอร์โบลิกพาราโบลา: นิยามคุณสมบัติและตัวอย่าง - เลข - 2026

paraboloid ผ่อนชำระเป็นพื้นผิวที่มีสมการทั่วไปในพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y, z) ตอบสนองสมการต่อไปนี้:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0

ชื่อ "พาราโบลา" มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวแปร z ขึ้นอยู่กับกำลังสองของตัวแปร x และ y ในขณะที่คำคุณศัพท์ "ไฮเพอร์โบลิก" เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าที่ค่าคงที่ของ z เรามีสมการของไฮเพอร์โบลา รูปร่างของพื้นผิวนี้คล้ายกับอานม้า

รูปที่ 1. ไฮเพอร์โบลิกพาราโบลา z = x ² - y ² . ที่มา: F.Zapata โดยใช้ Wolfram Mathematica

คำอธิบายของไฮเพอร์โบลิกพาราโบลา

เพื่อทำความเข้าใจธรรมชาติของไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาจะทำการวิเคราะห์ต่อไปนี้:

1.- เราจะใช้กรณีเฉพาะ = 1, B = 1, ที่อยู่ที่จะบอกว่าสม Cartesian ของซาก paraboloid เป็น Z = x ² - ปีที่ 2

2.- เครื่องบินถือว่าขนานกับระนาบ ZX นั่นคือ y = ctte

3.- ด้วย y = ctte จะยังคงเป็น z = x ² - C ซึ่งแสดงถึงพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้นไปและจุดยอดด้านล่างระนาบ XY

รูปที่ 2. ตระกูลของเส้นโค้ง z = x ² - C ที่มา: F. Zapata โดยใช้ Geogebra

4.- ด้วย x = ctte จะยังคงเป็น z = C - y ²ซึ่งแสดงถึงพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลงและจุดยอดเหนือระนาบ XY

รูปที่ 3. ตระกูลของเส้นโค้ง z = C - y ² . ที่มา: F. Zapata ผ่าน Geogebra

5.- ด้วย z = ctte จะยังคงเป็น C = x ² - y ²ซึ่งแสดงถึงไฮเพอร์โบลาในระนาบขนานกับระนาบ XY เมื่อ C = 0 มีสองเส้น (ที่ + 45ºและ-45ºเทียบกับแกน X) ที่ตัดกันที่จุดกำเนิดบนระนาบ XY

รูปที่ 4. ครอบครัวของเส้นโค้ง x ² - y ² = C ที่มา: F. Zapata โดยใช้ Geogebra ..

สมบัติของไฮเพอร์โบลิกพาราโบลา

1.- จุดที่แตกต่างกันสี่จุดในปริภูมิสามมิติกำหนดพาราโบลาไฮเพอร์โบลิกหนึ่งเดียวและหนึ่งเดียว

2.- ไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาเป็นพื้นผิวที่มีการปกครองแบบทวีคูณ ซึ่งหมายความว่าแม้จะเป็นพื้นผิวโค้ง แต่เส้นที่แตกต่างกันสองเส้นจะผ่านแต่ละจุดของไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาซึ่งเป็นของไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาทั้งหมด พื้นผิวอื่น ๆ ที่ไม่ใช่ระนาบและมีการปกครองแบบทวีคูณคือไฮเปอร์โบลอยด์ของการปฏิวัติ

เป็นคุณสมบัติประการที่สองของไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาที่อนุญาตให้ใช้ในงานสถาปัตยกรรมได้อย่างกว้างขวางเนื่องจากพื้นผิวสามารถสร้างขึ้นจากคานตรงหรือสตริง

สมบัติประการที่สองของไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาทำให้สามารถกำหนดนิยามอื่นได้นั่นคือพื้นผิวที่สามารถสร้างขึ้นโดยเส้นตรงที่เคลื่อนที่ขนานกับระนาบคงที่และตัดเส้นคงที่สองเส้นที่ใช้เป็นแนวทาง รูปต่อไปนี้อธิบายถึงคำจำกัดความอื่นของไฮเพอร์โบลิกพาราโบลา:

รูปที่ 5. ไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาเป็นพื้นผิวที่มีการปกครองแบบทวีคูณ ที่มา: F. Zapata

ตัวอย่างการทำงาน

- ตัวอย่าง 1

แสดงว่าสมการ: z = xy สอดคล้องกับไฮเพอร์โบลิกพาราโบลา

สารละลาย

การแปลงจะใช้กับตัวแปร x และ y ที่สอดคล้องกับการหมุนของแกนคาร์ทีเซียนเทียบกับแกน Z ที่ + 45 + พิกัด x และ y เก่าจะเปลี่ยนเป็น x 'และ y' ใหม่ตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

x = x '- y'

y = x '+ y'

ในขณะที่พิกัด z ยังคงเหมือนเดิมนั่นคือ z = z '

โดยการแทนที่ในสมการ z = xy เรามี:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

โดยการใช้ผลคูณที่โดดเด่นของผลต่างโดยผลรวมเท่ากับผลต่างของกำลังสองเรามี:

z '= x' ² - y ' ²

ซึ่งสอดคล้องอย่างชัดเจนกับคำจำกัดความของไฮเพอร์โบลิกพาราโบลา

การสกัดกั้นของระนาบขนานกับแกน XY ด้วยไฮเพอร์โบลิกพาราโบลา z = xy กำหนดไฮเพอร์โบลาด้านเท่ากันที่มีเส้นกำกับระนาบ x = 0 และ y = 0

- ตัวอย่าง 2

กำหนดพารามิเตอร์ a และ b ของไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาที่ผ่านจุด A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) และ D (2, -1, 32/9)

สารละลาย

ตามคุณสมบัติของมันจุดสี่จุดในปริภูมิสามมิติกำหนดพาราโบลาไฮเพอร์โบลิกเดี่ยว สมการทั่วไปคือ:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

เราแทนที่ค่าที่กำหนด:

สำหรับจุด A เรามี 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ²ซึ่งเป็นสมการที่พอใจกับค่าของพารามิเตอร์ a และ b

การแทนที่จุด B เราได้รับ:

5/9 = 1 / ก² - 1 / ข²

ในขณะที่จุด C ยังคงอยู่:

32/9 = 4 / ก² - 1 / ข²

สุดท้ายสำหรับจุด D เราได้รับ:

32/9 = 4 / ก² - 1 / ข²

ซึ่งเหมือนกับสมการก่อนหน้านี้ ในที่สุดระบบสมการจะต้องได้รับการแก้ไข:

5/9 = 1 / ก² - 1 / ข²

32/9 = 4 / ก² - 1 / ข²

การลบสมการที่สองจากการให้ครั้งแรก:

27/9 = 3 / a ²ซึ่งหมายความว่า a ² = 1

ในทำนองเดียวกันสมการที่สองจะถูกลบออกจากสี่เท่าของสมการแรกได้รับ:

(32-20) / 9 = 4 / ก² - 4 / ก² -1 / ข² + 4 / ข²

ซึ่งทำให้ง่ายขึ้นเป็น:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

กล่าวโดยย่อว่าไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาที่ผ่านจุดที่กำหนด A, B, C และ D มีสมการคาร์ทีเซียนที่กำหนดโดย:

z = x ² - (4/9) y ²

- ตัวอย่าง 3

ตามคุณสมบัติของไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาเส้นสองเส้นผ่านแต่ละจุดที่มีอยู่อย่างสมบูรณ์ สำหรับกรณี z = x ^ 2 - y ^ 2 ให้หาสมการของสองเส้นที่ผ่านจุด P (0, 1, -1) อย่างชัดเจนซึ่งเป็นของไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาดังนั้นจุดทั้งหมดของเส้นเหล่านี้ก็เป็นของ เหมือนกัน.

สารละลาย

การใช้ผลคูณที่โดดเด่นของความแตกต่างของกำลังสองสามารถเขียนสมการสำหรับไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาได้ดังนี้:

(x + y) (x - y) = cz (1 / ค)

โดยที่ c คือค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์

สมการ x + y = cz และสมการ x - y = 1 / c สอดคล้องกับระนาบสองระนาบที่มีเวกเตอร์ปกติn = <1,1, -c> และm = <1, -1,0> ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์mxn = <- c, -c, -2> ทำให้เราทราบทิศทางของเส้นตัดของระนาบทั้งสอง จากนั้นหนึ่งในเส้นที่ผ่านจุด P และเป็นของไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาจะมีสมการพาราเมตริก:

= <0, 1, -1> + เสื้อ <-c, -c, -2>

เพื่อกำหนด c เราแทนที่จุด P ในสมการ x + y = cz โดยได้รับ:

c = -1

ในทำนองเดียวกัน แต่เมื่อพิจารณาจากสมการ (x - y = kz) และ (x + y = 1 / k) เรามีสมการพาราเมตริกของเส้น:

= <0, 1, -1> + s ด้วย k = 1

โดยสรุปสองบรรทัด:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> และ = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

มีอยู่อย่างสมบูรณ์ในไฮเพอร์โบลิกพาราโบลา z = x ² - y ²ผ่านจุด (0, 1, -1)

ในการตรวจสอบสมมติว่า t = 1 ซึ่งทำให้เราได้จุด (1,2, -3) ในบรรทัดแรก คุณต้องตรวจสอบว่ามันอยู่บนพาราโบลา z = x ² - y ^{2 ด้วยหรือไม่} :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

ซึ่งยืนยันว่ามันเป็นของพื้นผิวของไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาแน่นอน

ไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาในสถาปัตยกรรม

รูปที่ 6. สมุทรศาสตร์บาเลนเซีย (สเปน) ที่มา: วิกิมีเดียคอมมอนส์

ไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาถูกนำมาใช้ในงานสถาปัตยกรรมโดยสถาปนิกผู้ยิ่งใหญ่ระดับแนวหน้าซึ่งชื่อของสถาปนิกชาวสเปน Antoni Gaudí (1852-1926) และโดยเฉพาะFélix Candela (1910-1997) ของสเปนก็โดดเด่น

ด้านล่างนี้เป็นผลงานบางส่วนที่ใช้ไฮเพอร์โบลิกพาราโบลา:

-Chapel ของเมือง Cuernavaca (เม็กซิโก) ผลงานของสถาปนิกFélix Candela

-The Oceanographic of Valencia (สเปน) โดยFélix Candela

อ้างอิง

1. สารานุกรมคณิตศาสตร์. พื้นผิวที่ปกครอง สืบค้นจาก: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén ไฮเพอร์โบลิกพาราโบลา สืบค้นจาก: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Paraboloid" จาก MathWorld - A Wolfram Web Resource สืบค้นจาก: mathworld.wolfram.com
4. วิกิพีเดีย พาราโบลา สืบค้นจาก: en.wikipedia.com
5. วิกิพีเดีย พาราโบลา สืบค้นจาก: es.wikipedia.com
6. วิกิพีเดีย พื้นผิวที่ปกครอง สืบค้นจาก: en.wikipedia.com