- ลักษณะของจำนวนเฉพาะ
- จะรู้ได้อย่างไรว่าตัวเลขเป็นจำนวนเฉพาะ
- วิธีหาจำนวนเฉพาะ
- สูตรของออยเลอร์
- ตะแกรงของ Eratosthenes
- การออกกำลังกาย
- - แบบฝึกหัด 1
- สารละลาย
- - แบบฝึกหัด 2
- วิธีแก้ปัญหา
- แนวทางแก้ไข b
- อ้างอิง
ตัวเลขที่สำคัญที่เรียกว่าแน่นอนเป็นตัวเลขที่สำคัญผู้ที่เป็นธรรมชาติซึ่งเป็นหารเพียงด้วยตัวเองและ 1 หมวดหมู่นี้ตัวเลขเช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 และอีกหลาย บวก.
แต่จำนวนผสมจะหารด้วยตัวเองโดย 1 และจำนวนอื่น ๆ อย่างน้อยหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่นเรามี 12 ซึ่งหารด้วย 1, 2, 4, 6 และ 12 ได้ตามอนุสัญญา 1 จะไม่รวมอยู่ในรายการจำนวนเฉพาะหรือในรายการของสารประกอบ

รูปที่ 1. จำนวนเฉพาะบางตัว ที่มา: Wikimedia Commons
ความรู้เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะมีมาตั้งแต่สมัยโบราณ ชาวอียิปต์โบราณใช้มันไปแล้วและเป็นที่รู้จักกันมานานแล้ว
ตัวเลขเหล่านี้มีความสำคัญมากเนื่องจากจำนวนธรรมชาติใด ๆ สามารถแทนได้ด้วยผลคูณของจำนวนเฉพาะการแทนค่านี้จะไม่ซ้ำกันยกเว้นตามลำดับของตัวประกอบ
ข้อเท็จจริงนี้ได้รับการจัดตั้งขึ้นอย่างสมบูรณ์ในทฤษฎีบทที่เรียกว่า Fundamental Theorem of Arithmetic ซึ่งระบุว่าจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะจำเป็นต้องประกอบด้วยผลคูณของตัวเลขที่เป็น
ลักษณะของจำนวนเฉพาะ
ลักษณะสำคัญของจำนวนเฉพาะมีดังนี้
- พวกมันไม่มีที่สิ้นสุดเนื่องจากไม่ว่าจำนวนเฉพาะจะมากแค่ไหนคุณก็สามารถหาจำนวนที่มากกว่าได้เสมอ
- ถ้าจำนวนเฉพาะ p ไม่ได้หารอีกจำนวนหนึ่งอย่างแน่นอนก็จะบอกว่า p และ a เป็นจำนวนเฉพาะซึ่งกันและกัน เมื่อเป็นเช่นนี้ตัวหารร่วมเดียวที่มีคือ 1
ไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นนายกแน่นอน ตัวอย่างเช่น 5 เป็นจำนวนเฉพาะและถึงแม้จะไม่ใช่ 12 แต่ตัวเลขทั้งสองก็เป็นจำนวนเฉพาะของกันและกันเนื่องจากทั้งสองมี 1 เป็นตัวหารร่วม
- เมื่อจำนวนเฉพาะ p หารกำลังของจำนวน n มันก็หาร n ด้วย ลองพิจารณา 100 ซึ่งเป็นอำนาจของ 10 โดยเฉพาะ 10 2 มันเกิดขึ้นที่ 2 หารทั้ง 100 และ 10
- จำนวนเฉพาะทั้งหมดเป็นเลขคี่ยกเว้น 2 ดังนั้นจึงไม่รวมเลขหลักสุดท้ายคือ 1, 3, 7 หรือ 9 5 เนื่องจากแม้ว่าจะเป็นเลขคี่และจำนวนเฉพาะ แต่จะไม่เป็นตัวเลขสุดท้ายของจำนวนเฉพาะอื่น ในความเป็นจริงตัวเลขทั้งหมดที่ลงท้ายด้วย 5 เป็นจำนวนทวีคูณดังนั้นจึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
- ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะและตัวหารของผลคูณของจำนวนสองจำนวน ab ดังนั้น p จะหารหนึ่งในจำนวนนั้น ตัวอย่างเช่นจำนวนเฉพาะ 3 หารผลคูณ 9 x 11 = 99 เนื่องจาก 3 เป็นตัวหารของ 9
จะรู้ได้อย่างไรว่าตัวเลขเป็นจำนวนเฉพาะ
Primality เป็นชื่อที่กำหนดให้กับคุณภาพของการเป็นนายก นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสปิแอร์เดอแฟร์มาต์ (1601-1665) พบวิธีการตรวจสอบความเป็นมาของตัวเลขในสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทเล็ก ๆ ของแฟร์มาต์ซึ่งกล่าวว่า:
"กำหนดจำนวนธรรมชาติเฉพาะ p และจำนวนธรรมชาติใด ๆ ที่มากกว่า 0 มันเป็นความจริงที่ว่าp - a เป็นผลคูณของ p ตราบใดที่ p เป็นไพรม์"
เราสามารถยืนยันได้โดยใช้ตัวเลขขนาดเล็กเช่นสมมติว่า p = 4 ซึ่งเรารู้แล้วว่าไม่ใช่ไพรม์และแล้ว = 6:
6 4 - 6 = 1296 - 6 = 1290
จำนวน 1290 ไม่สามารถหารด้วย 4 ได้ดังนั้น 4 จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
มาทำการทดสอบตอนนี้ด้วย p = 5 ซึ่งก็คือไพรม์และ ya = 6:
6 5 - 6 = 7766 - 6 = 7760
7760 หารด้วย 5 ได้เนื่องจากจำนวนใด ๆ ที่ลงท้ายด้วย 0 หรือ 5 คือ ในความเป็นจริง 7760/5 = 1554 เนื่องจากทฤษฎีบทเล็ก ๆ ของแฟร์มาต์มีอยู่เราจึงมั่นใจได้ว่า 5 เป็นจำนวนเฉพาะ
การพิสูจน์ผ่านทฤษฎีบทมีประสิทธิผลและตรงไปตรงมาด้วยตัวเลขขนาดเล็กซึ่งการดำเนินการทำได้ง่าย แต่จะทำอย่างไรถ้าเราถูกขอให้ค้นหาความเป็นอันดับหนึ่งของจำนวนมาก?
ในกรณีนี้จำนวนจะถูกหารด้วยจำนวนเฉพาะที่เล็กกว่าทั้งหมดจนกว่าจะพบการหารที่แน่นอนหรือผลหารน้อยกว่าตัวหาร
หากการหารใด ๆ แน่นอนแสดงว่าจำนวนนั้นประกอบกันและถ้าผลหารน้อยกว่าตัวหารหมายความว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ เราจะนำไปปฏิบัติในแบบฝึกหัดแก้ไข 2.
วิธีหาจำนวนเฉพาะ
มีจำนวนเฉพาะจำนวนมากอย่างไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีสูตรเดียวที่จะกำหนดได้ อย่างไรก็ตามการดูจำนวนเฉพาะบางตัวเช่นนี้:
3, 7, 31, 127 …
เป็นที่สังเกตว่าอยู่ในรูปแบบ 2 n - 1 โดยมี n = 2, 3, 5, 7, 9 … เราตรวจสอบให้แน่ใจในสิ่งนี้:
2 2 - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 3 - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 5 - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 7 - 1 = 128 - 1 = 127
แต่เราไม่สามารถมั่นใจได้ว่าโดยทั่วไป 2 n - 1 เป็นไพรม์เนื่องจากมีค่า n บางค่าที่ใช้ไม่ได้เช่น 4:
2 4 - 1 = 16 - 1 = 15
และหมายเลข 15 ไม่ได้เป็นจำนวนเฉพาะเนื่องจากจะลงท้ายด้วย 5 อย่างไรก็ตามหนึ่งในช่วงเวลาที่รู้จักกันมากที่สุดซึ่งพบโดยการคำนวณทางคอมพิวเตอร์อยู่ในรูปแบบ 2 n - 1 ด้วย:
n = 57,885,161
สูตรของ Mersenne ทำให้เรามั่นใจได้ว่า 2 p - 1 เป็นไพรม์เสมอตราบใดที่ p เป็นไพรม์เช่นกัน ตัวอย่างเช่น 31 เป็นไพรม์ดังนั้นจึงมั่นใจว่า 2 31 - 1 เป็นไพรม์ด้วย:
2 31 - 1 = 2,147,483,647
อย่างไรก็ตามสูตรนี้ช่วยให้คุณกำหนดเฉพาะจำนวนเฉพาะบางตัวเท่านั้นไม่ใช่ทั้งหมด
สูตรของออยเลอร์
พหุนามต่อไปนี้อนุญาตให้ค้นหาจำนวนเฉพาะโดยที่ n อยู่ระหว่าง 0 ถึง 39:
P (n) = n 2 + n + 41
ต่อมาในส่วนแบบฝึกหัดที่มีการแก้ไขมีตัวอย่างการใช้งาน
ตะแกรงของ Eratosthenes
Eratosthenes เป็นนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์จากกรีกโบราณซึ่งมีชีวิตอยู่ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราชเขาได้คิดค้นวิธีกราฟิกในการหาจำนวนเฉพาะที่เราสามารถนำไปใช้ได้จริงโดยใช้จำนวนน้อยเรียกว่าตะแกรงเอราทอสเทเนส (ตะแกรงก็เหมือนตะแกรง)
- ตัวเลขจะอยู่ในตารางเหมือนกับที่แสดงในภาพเคลื่อนไหว
- จำนวนคู่จะถูกขีดฆ่ายกเว้น 2 ที่เรารู้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะ อื่น ๆ ทั้งหมดเป็นทวีคูณของสิ่งนี้ดังนั้นจึงไม่สำคัญ
- มีการทำเครื่องหมายทวีคูณของ 3, 5, 7 และ 11 โดยไม่รวมค่าทั้งหมดเพราะเรารู้ว่าเป็นจำนวนเต็ม
- ทวีคูณของ 4, 6, 8, 9 และ 10 ถูกทำเครื่องหมายไว้แล้วเนื่องจากเป็นสารประกอบจึงทวีคูณของไพรม์ที่ระบุบางส่วน
- สุดท้ายตัวเลขที่ยังคงไม่มีเครื่องหมายคือจำนวนเฉพาะ

รูปที่ 2. ภาพเคลื่อนไหวของตะแกรงเอราทอสเทเนส ที่มา: Wikimedia Commons
การออกกำลังกาย
- แบบฝึกหัด 1
ใช้พหุนามของออยเลอร์สำหรับจำนวนเฉพาะให้ค้นหา 3 จำนวนที่มากกว่า 100
สารละลาย
นี่คือพหุนามที่ออยเลอร์เสนอให้หาจำนวนเฉพาะซึ่งใช้ได้กับค่า n ระหว่าง 0 ถึง 39
P (n) = n 2 + n + 41
โดยการลองผิดลองถูกเราเลือกค่าของ n ตัวอย่างเช่น n = 8:
P (8) = 8 2 + 8 + 41 = 113
เนื่องจาก n = 8 สร้างจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 100 เราจึงประเมินพหุนามสำหรับ n = 9 และ n = 10:
P (9) = 9 2 + 9 + 41 = 131
P (10) = 10 2 + 10 + 41 = 151
- แบบฝึกหัด 2
ดูว่าตัวเลขต่อไปนี้เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่:
ก) 13
ข) 191
วิธีแก้ปัญหา
13 มีขนาดเล็กพอที่จะใช้ทฤษฎีบทเล็กน้อยของแฟร์มาต์และความช่วยเหลือของเครื่องคิดเลข
เราใช้ a = 2 เพื่อไม่ให้ตัวเลขใหญ่เกินไปแม้ว่า a = 3, 4 หรือ 5 ก็สามารถใช้:
2 13 - 2 = 8190
8190 หารด้วย 2 ไม่ได้เนื่องจากมันเป็นเลขคู่ดังนั้น 13 จึงเป็นไพรม์ ผู้อ่านสามารถยืนยันได้โดยทำแบบทดสอบเดียวกันกับ a = 3
แนวทางแก้ไข b
191 มีขนาดใหญ่เกินกว่าที่จะพิสูจน์ด้วยทฤษฎีบทและเครื่องคำนวณทั่วไป แต่เราสามารถหาการหารระหว่างจำนวนเฉพาะแต่ละตัวได้ เราละเว้นการหารด้วย 2 เนื่องจาก 191 ไม่เท่ากันและการหารจะไม่แน่นอนหรือผลหารน้อยกว่า 2
เราลองหารด้วย 3:
191/3 = 63,666 …
และมันไม่ได้ให้ความแน่นอนและผลหารน้อยกว่าตัวหาร (63,666 …มากกว่า 3)
เราพยายามหาร 191 ต่อไประหว่างปริมา 5, 7, 11, 13 และไม่ถึงการหารที่แน่นอนหรือผลหารน้อยกว่าตัวหาร จนกว่าจะหารด้วย 17:
191/17 = 11, 2352 …
เนื่องจากมันไม่แน่นอนและ 11.2352 …น้อยกว่า 17 เลข 191 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ
อ้างอิง
- Baldor, A. 1986. เลขคณิต. รุ่นและการแจกจ่าย Codex
- Prieto, C. จำนวนเฉพาะ กู้คืนจาก: paginas.matem.unam.mx.
- คุณสมบัติของจำนวนเฉพาะ ดึงมาจาก: mae.ufl.edu.
- Smartick. หมายเลขเฉพาะ: วิธีค้นหาด้วยตะแกรง Eratosthenes กู้คืนจาก: smartick.es.
- วิกิพีเดีย จำนวนเฉพาะ. สืบค้นจาก: es.wikipedia.org.
