จำนวนเฉพาะ: ลักษณะตัวอย่างแบบฝึกหัด - เลข - 2026

ตัวเลขที่สำคัญที่เรียกว่าแน่นอนเป็นตัวเลขที่สำคัญผู้ที่เป็นธรรมชาติซึ่งเป็นหารเพียงด้วยตัวเองและ 1 หมวดหมู่นี้ตัวเลขเช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 และอีกหลาย บวก.

แต่จำนวนผสมจะหารด้วยตัวเองโดย 1 และจำนวนอื่น ๆ อย่างน้อยหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่นเรามี 12 ซึ่งหารด้วย 1, 2, 4, 6 และ 12 ได้ตามอนุสัญญา 1 จะไม่รวมอยู่ในรายการจำนวนเฉพาะหรือในรายการของสารประกอบ

รูปที่ 1. จำนวนเฉพาะบางตัว ที่มา: Wikimedia Commons

ความรู้เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะมีมาตั้งแต่สมัยโบราณ ชาวอียิปต์โบราณใช้มันไปแล้วและเป็นที่รู้จักกันมานานแล้ว

ตัวเลขเหล่านี้มีความสำคัญมากเนื่องจากจำนวนธรรมชาติใด ๆ สามารถแทนได้ด้วยผลคูณของจำนวนเฉพาะการแทนค่านี้จะไม่ซ้ำกันยกเว้นตามลำดับของตัวประกอบ

ข้อเท็จจริงนี้ได้รับการจัดตั้งขึ้นอย่างสมบูรณ์ในทฤษฎีบทที่เรียกว่า Fundamental Theorem of Arithmetic ซึ่งระบุว่าจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะจำเป็นต้องประกอบด้วยผลคูณของตัวเลขที่เป็น

ลักษณะของจำนวนเฉพาะ

ลักษณะสำคัญของจำนวนเฉพาะมีดังนี้

- พวกมันไม่มีที่สิ้นสุดเนื่องจากไม่ว่าจำนวนเฉพาะจะมากแค่ไหนคุณก็สามารถหาจำนวนที่มากกว่าได้เสมอ

- ถ้าจำนวนเฉพาะ p ไม่ได้หารอีกจำนวนหนึ่งอย่างแน่นอนก็จะบอกว่า p และ a เป็นจำนวนเฉพาะซึ่งกันและกัน เมื่อเป็นเช่นนี้ตัวหารร่วมเดียวที่มีคือ 1

ไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นนายกแน่นอน ตัวอย่างเช่น 5 เป็นจำนวนเฉพาะและถึงแม้จะไม่ใช่ 12 แต่ตัวเลขทั้งสองก็เป็นจำนวนเฉพาะของกันและกันเนื่องจากทั้งสองมี 1 เป็นตัวหารร่วม

- เมื่อจำนวนเฉพาะ p หารกำลังของจำนวน n มันก็หาร n ด้วย ลองพิจารณา 100 ซึ่งเป็นอำนาจของ 10 โดยเฉพาะ 10 2 มันเกิดขึ้นที่ 2 หารทั้ง 100 และ 10

- จำนวนเฉพาะทั้งหมดเป็นเลขคี่ยกเว้น 2 ดังนั้นจึงไม่รวมเลขหลักสุดท้ายคือ 1, 3, 7 หรือ 9 5 เนื่องจากแม้ว่าจะเป็นเลขคี่และจำนวนเฉพาะ แต่จะไม่เป็นตัวเลขสุดท้ายของจำนวนเฉพาะอื่น ในความเป็นจริงตัวเลขทั้งหมดที่ลงท้ายด้วย 5 เป็นจำนวนทวีคูณดังนั้นจึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

- ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะและตัวหารของผลคูณของจำนวนสองจำนวน ab ดังนั้น p จะหารหนึ่งในจำนวนนั้น ตัวอย่างเช่นจำนวนเฉพาะ 3 หารผลคูณ 9 x 11 = 99 เนื่องจาก 3 เป็นตัวหารของ 9

จะรู้ได้อย่างไรว่าตัวเลขเป็นจำนวนเฉพาะ

Primality เป็นชื่อที่กำหนดให้กับคุณภาพของการเป็นนายก นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสปิแอร์เดอแฟร์มาต์ (1601-1665) พบวิธีการตรวจสอบความเป็นมาของตัวเลขในสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทเล็ก ๆ ของแฟร์มาต์ซึ่งกล่าวว่า:

"กำหนดจำนวนธรรมชาติเฉพาะ p และจำนวนธรรมชาติใด ๆ ที่มากกว่า 0 มันเป็นความจริงที่ว่า^p - a เป็นผลคูณของ p ตราบใดที่ p เป็นไพรม์"

เราสามารถยืนยันได้โดยใช้ตัวเลขขนาดเล็กเช่นสมมติว่า p = 4 ซึ่งเรารู้แล้วว่าไม่ใช่ไพรม์และแล้ว = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

จำนวน 1290 ไม่สามารถหารด้วย 4 ได้ดังนั้น 4 จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

มาทำการทดสอบตอนนี้ด้วย p = 5 ซึ่งก็คือไพรม์และ ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 หารด้วย 5 ได้เนื่องจากจำนวนใด ๆ ที่ลงท้ายด้วย 0 หรือ 5 คือ ในความเป็นจริง 7760/5 = 1554 เนื่องจากทฤษฎีบทเล็ก ๆ ของแฟร์มาต์มีอยู่เราจึงมั่นใจได้ว่า 5 เป็นจำนวนเฉพาะ

การพิสูจน์ผ่านทฤษฎีบทมีประสิทธิผลและตรงไปตรงมาด้วยตัวเลขขนาดเล็กซึ่งการดำเนินการทำได้ง่าย แต่จะทำอย่างไรถ้าเราถูกขอให้ค้นหาความเป็นอันดับหนึ่งของจำนวนมาก?

ในกรณีนี้จำนวนจะถูกหารด้วยจำนวนเฉพาะที่เล็กกว่าทั้งหมดจนกว่าจะพบการหารที่แน่นอนหรือผลหารน้อยกว่าตัวหาร

หากการหารใด ๆ แน่นอนแสดงว่าจำนวนนั้นประกอบกันและถ้าผลหารน้อยกว่าตัวหารหมายความว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ เราจะนำไปปฏิบัติในแบบฝึกหัดแก้ไข 2.

วิธีหาจำนวนเฉพาะ

มีจำนวนเฉพาะจำนวนมากอย่างไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีสูตรเดียวที่จะกำหนดได้ อย่างไรก็ตามการดูจำนวนเฉพาะบางตัวเช่นนี้:

3, 7, 31, 127 …

เป็นที่สังเกตว่าอยู่ในรูปแบบ 2 ⁿ - 1 โดยมี n = 2, 3, 5, 7, 9 … เราตรวจสอบให้แน่ใจในสิ่งนี้:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

แต่เราไม่สามารถมั่นใจได้ว่าโดยทั่วไป 2 ⁿ - 1 เป็นไพรม์เนื่องจากมีค่า n บางค่าที่ใช้ไม่ได้เช่น 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

และหมายเลข 15 ไม่ได้เป็นจำนวนเฉพาะเนื่องจากจะลงท้ายด้วย 5 อย่างไรก็ตามหนึ่งในช่วงเวลาที่รู้จักกันมากที่สุดซึ่งพบโดยการคำนวณทางคอมพิวเตอร์อยู่ในรูปแบบ 2 ⁿ - 1 ด้วย:

n = 57,885,161

สูตรของ Mersenne ทำให้เรามั่นใจได้ว่า 2 ^p - 1 เป็นไพรม์เสมอตราบใดที่ p เป็นไพรม์เช่นกัน ตัวอย่างเช่น 31 เป็นไพรม์ดังนั้นจึงมั่นใจว่า 2 ³¹ - 1 เป็นไพรม์ด้วย:

2 ³¹ - 1 = 2,147,483,647

อย่างไรก็ตามสูตรนี้ช่วยให้คุณกำหนดเฉพาะจำนวนเฉพาะบางตัวเท่านั้นไม่ใช่ทั้งหมด

สูตรของออยเลอร์

พหุนามต่อไปนี้อนุญาตให้ค้นหาจำนวนเฉพาะโดยที่ n อยู่ระหว่าง 0 ถึง 39:

P (n) = n ² + n + 41

ต่อมาในส่วนแบบฝึกหัดที่มีการแก้ไขมีตัวอย่างการใช้งาน

ตะแกรงของ Eratosthenes

Eratosthenes เป็นนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์จากกรีกโบราณซึ่งมีชีวิตอยู่ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราชเขาได้คิดค้นวิธีกราฟิกในการหาจำนวนเฉพาะที่เราสามารถนำไปใช้ได้จริงโดยใช้จำนวนน้อยเรียกว่าตะแกรงเอราทอสเทเนส (ตะแกรงก็เหมือนตะแกรง)

- ตัวเลขจะอยู่ในตารางเหมือนกับที่แสดงในภาพเคลื่อนไหว

- จำนวนคู่จะถูกขีดฆ่ายกเว้น 2 ที่เรารู้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะ อื่น ๆ ทั้งหมดเป็นทวีคูณของสิ่งนี้ดังนั้นจึงไม่สำคัญ

- มีการทำเครื่องหมายทวีคูณของ 3, 5, 7 และ 11 โดยไม่รวมค่าทั้งหมดเพราะเรารู้ว่าเป็นจำนวนเต็ม

- ทวีคูณของ 4, 6, 8, 9 และ 10 ถูกทำเครื่องหมายไว้แล้วเนื่องจากเป็นสารประกอบจึงทวีคูณของไพรม์ที่ระบุบางส่วน

- สุดท้ายตัวเลขที่ยังคงไม่มีเครื่องหมายคือจำนวนเฉพาะ

รูปที่ 2. ภาพเคลื่อนไหวของตะแกรงเอราทอสเทเนส ที่มา: Wikimedia Commons

การออกกำลังกาย

- แบบฝึกหัด 1

ใช้พหุนามของออยเลอร์สำหรับจำนวนเฉพาะให้ค้นหา 3 จำนวนที่มากกว่า 100

สารละลาย

นี่คือพหุนามที่ออยเลอร์เสนอให้หาจำนวนเฉพาะซึ่งใช้ได้กับค่า n ระหว่าง 0 ถึง 39

P (n) = n ² + n + 41

โดยการลองผิดลองถูกเราเลือกค่าของ n ตัวอย่างเช่น n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

เนื่องจาก n = 8 สร้างจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 100 เราจึงประเมินพหุนามสำหรับ n = 9 และ n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- แบบฝึกหัด 2

ดูว่าตัวเลขต่อไปนี้เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่:

ก) 13

ข) 191

วิธีแก้ปัญหา

13 มีขนาดเล็กพอที่จะใช้ทฤษฎีบทเล็กน้อยของแฟร์มาต์และความช่วยเหลือของเครื่องคิดเลข

เราใช้ a = 2 เพื่อไม่ให้ตัวเลขใหญ่เกินไปแม้ว่า a = 3, 4 หรือ 5 ก็สามารถใช้:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 หารด้วย 2 ไม่ได้เนื่องจากมันเป็นเลขคู่ดังนั้น 13 จึงเป็นไพรม์ ผู้อ่านสามารถยืนยันได้โดยทำแบบทดสอบเดียวกันกับ a = 3

แนวทางแก้ไข b

191 มีขนาดใหญ่เกินกว่าที่จะพิสูจน์ด้วยทฤษฎีบทและเครื่องคำนวณทั่วไป แต่เราสามารถหาการหารระหว่างจำนวนเฉพาะแต่ละตัวได้ เราละเว้นการหารด้วย 2 เนื่องจาก 191 ไม่เท่ากันและการหารจะไม่แน่นอนหรือผลหารน้อยกว่า 2

เราลองหารด้วย 3:

191/3 = 63,666 …

และมันไม่ได้ให้ความแน่นอนและผลหารน้อยกว่าตัวหาร (63,666 …มากกว่า 3)

เราพยายามหาร 191 ต่อไประหว่างปริมา 5, 7, 11, 13 และไม่ถึงการหารที่แน่นอนหรือผลหารน้อยกว่าตัวหาร จนกว่าจะหารด้วย 17:

191/17 = 11, 2352 …

เนื่องจากมันไม่แน่นอนและ 11.2352 …น้อยกว่า 17 เลข 191 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ

อ้างอิง

1. Baldor, A. 1986. เลขคณิต. รุ่นและการแจกจ่าย Codex
2. Prieto, C. จำนวนเฉพาะ กู้คืนจาก: paginas.matem.unam.mx.
3. คุณสมบัติของจำนวนเฉพาะ ดึงมาจาก: mae.ufl.edu.
4. Smartick. หมายเลขเฉพาะ: วิธีค้นหาด้วยตะแกรง Eratosthenes กู้คืนจาก: smartick.es.
5. วิกิพีเดีย จำนวนเฉพาะ. สืบค้นจาก: es.wikipedia.org.