- ประวัติศาสตร์
- จำนวน e มีมูลค่าเท่าไร?
- การแสดงจำนวน e
- จำนวน e เป็นขีด จำกัด
- จำนวน e เป็นผลรวม
- จำนวน e จากมุมมองทางเรขาคณิต
- คุณสมบัติของจำนวน e
- การประยุกต์ใช้งาน
- สถิติ
- วิศวกรรม
- ชีววิทยา
- กายภาพ
- เศรษฐกิจ
- อ้างอิง
หรือหมายเลขอีออยเลอร์เป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดีว่าปรากฏขึ้นบ่อยครั้งในการใช้งานทางวิทยาศาสตร์และทางเศรษฐกิจจำนวนมากพร้อมกับπจำนวนและตัวเลขที่สำคัญอื่น ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์
เครื่องคำนวณทางวิทยาศาสตร์ส่งคืนค่าต่อไปนี้สำหรับจำนวน e:
รูปที่ 1. หมายเลขของออยเลอร์มักปรากฏใน Science ที่มา: F. Zapata
จ = 2.718281828 …
แต่รู้จักทศนิยมอีกมากมายเช่น:
จ = 2.71828182845904523536 …
และคอมพิวเตอร์สมัยใหม่พบว่ามีทศนิยมหลายล้านล้านตำแหน่งสำหรับจำนวน e
เป็นจำนวนอตรรกยะซึ่งหมายความว่ามีจำนวนตำแหน่งทศนิยมไม่สิ้นสุดโดยไม่มีรูปแบบการทำซ้ำ (ลำดับ 1828 จะปรากฏขึ้นสองครั้งที่จุดเริ่มต้นและจะไม่มีการทำซ้ำอีกต่อไป)
และยังหมายความว่าไม่สามารถหาจำนวน e เป็นผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวนได้
ประวัติศาสตร์
หมายเลข e ถูกระบุโดยนักวิทยาศาสตร์ Jacques Bernoulli ในปี 1683 ขณะที่เขากำลังศึกษาปัญหาเรื่องดอกเบี้ยทบต้น แต่ก่อนหน้านี้ปรากฏโดยทางอ้อมในผลงานของ John Napier นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตแลนด์ผู้คิดค้นลอการิทึมเมื่อประมาณปี 1618
อย่างไรก็ตาม Leonhard Euler ในปี 1727 เป็นผู้ให้ชื่อหมายเลข e และศึกษาคุณสมบัติของมันอย่างละเอียด ด้วยเหตุนี้จึงเรียกอีกชื่อหนึ่งว่าหมายเลขออยเลอร์และยังเป็นฐานธรรมชาติสำหรับลอการิทึมธรรมชาติ (เลขชี้กำลัง) ที่ใช้ในปัจจุบัน
จำนวน e มีมูลค่าเท่าไร?
จำนวน e มีค่า:
จ = 2.71828182845904523536 …
จุดไข่ปลาหมายความว่ามีตำแหน่งทศนิยมเป็นจำนวนไม่ จำกัด และในความเป็นจริงแล้วสำหรับคอมพิวเตอร์ในปัจจุบันนั้นมีหลายล้านตำแหน่ง
การแสดงจำนวน e
มีหลายวิธีในการกำหนด e ที่เราอธิบายไว้ด้านล่าง:
จำนวน e เป็นขีด จำกัด
หนึ่งในวิธีต่างๆที่แสดงจำนวน e คือวิธีที่นักวิทยาศาสตร์ Bernoulli พบในงานของเขาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น:
ซึ่งคุณต้องทำให้ค่า n เป็นจำนวนมาก
มันง่ายต่อการตรวจสอบด้วยความช่วยเหลือของเครื่องคิดเลขเมื่อ n มีขนาดใหญ่มากนิพจน์ก่อนหน้าจะมีค่าเท่ากับค่า e ที่ระบุไว้ข้างต้น
แน่นอนว่าเราสามารถถามตัวเองได้ว่าจะสร้าง n ให้ใหญ่ได้อย่างไรดังนั้นมาลองใช้ตัวเลขกลมๆเช่นนี้
n = 1,000; 10,000 หรือ 100,000
ในกรณีแรกเราได้รับ e = 2.7169239 …. ใน e = 2.7181459 ที่สอง…และในครั้งที่สามนั้นใกล้เคียงกับค่า e มาก: 2.7182682 เราสามารถจินตนาการได้แล้วว่าด้วย n = 1,000,000 ขึ้นไปค่าประมาณจะดียิ่งขึ้น
ในภาษาคณิตศาสตร์ขั้นตอนการทำให้ n เข้าใกล้ค่ามากขึ้นเรื่อย ๆ เรียกว่าขีด จำกัด เป็นอนันต์และแสดงเป็นดังนี้:
เพื่อแสดงถึงความไม่มีที่สิ้นสุดสัญลักษณ์ "∞" จะถูกใช้
จำนวน e เป็นผลรวม
นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดหมายเลข e ผ่านการดำเนินการนี้:
ตัวเลขที่ปรากฏในตัวส่วน: 1, 2, 6, 24, 120 …สอดคล้องกับการดำเนินการ n! โดยที่:
และตามความหมาย 0! = 1.
ง่ายต่อการตรวจสอบว่ายิ่งเพิ่มจำนวนมากเท่าไหร่ก็ยิ่งมีจำนวน e มากขึ้นเท่านั้น
มาทำการทดสอบกับเครื่องคิดเลขเพิ่มส่วนเสริมมากขึ้นเรื่อย ๆ :
1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806
ยิ่งเพิ่มคำศัพท์ลงในผลรวมมากเท่าไหร่ผลลัพธ์ก็ยิ่งคล้ายกับ e มากเท่านั้น
นักคณิตศาสตร์ได้คิดค้นสัญกรณ์ขนาดกะทัดรัดสำหรับผลรวมเหล่านี้ที่เกี่ยวข้องกับคำศัพท์หลายคำโดยใช้สัญลักษณ์ผลรวมΣ:
นิพจน์นี้อ่านในลักษณะนี้ "sum from n = 0 ถึง infinity of 1 between n factorial"
จำนวน e จากมุมมองทางเรขาคณิต
หมายเลข e มีการแสดงภาพกราฟิกที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่ใต้กราฟของเส้นโค้ง:
y = 1 / x
เมื่อค่าของ x อยู่ระหว่าง 1 ถึง e พื้นที่นี้จะเท่ากับ 1 ดังแสดงในรูปต่อไปนี้:
รูปที่ 2. การแสดงกราฟิกของจำนวน e: พื้นที่ใต้เส้นโค้ง 1 / x ระหว่าง x = 1 และ x = e มีค่า 1 ที่มา: F. Zapata
คุณสมบัติของจำนวน e
คุณสมบัติบางประการของจำนวน e คือ:
- มันไม่มีเหตุผลกล่าวอีกนัยหนึ่งมันไม่สามารถหาได้โดยการหารจำนวนเต็มสองจำนวน
- จำนวน e ยังเป็นจำนวนที่เหนือกว่าซึ่งหมายความว่า e ไม่ใช่คำตอบของสมการพหุนามใด ๆ
- เกี่ยวข้องกับตัวเลขที่มีชื่อเสียงอื่น ๆ อีกสี่ตัวในสาขาคณิตศาสตร์ ได้แก่ : π, i, 1 และ 0 ผ่านตัวตนของออยเลอร์:
- จำนวนเชิงซ้อนที่เรียกว่าสามารถแสดงผ่าน e
- มันถือเป็นฐานของลอการิทึมตามธรรมชาติหรือตามธรรมชาติของเวลาปัจจุบัน (นิยามดั้งเดิมของ John Napier แตกต่างกันเล็กน้อย)
- เป็นตัวเลขเดียวที่ลอการิทึมธรรมชาติเท่ากับ 1 นั่นคือ:
การประยุกต์ใช้งาน
สถิติ
จำนวน e ปรากฏบ่อยมากในด้านความน่าจะเป็นและสถิติโดยปรากฏในการแจกแจงต่างๆเช่นปกติหรือเกาส์เซียนปัวซองและอื่น ๆ
วิศวกรรม
ในทางวิศวกรรมเป็นเรื่องปกติเนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = e xมีอยู่ในกลศาสตร์และแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นต้น ในบรรดาแอพพลิเคชั่นมากมายที่เราสามารถพูดถึง:
- สายเคเบิลหรือโซ่ที่แขวนไว้ที่ปลายโดยใช้รูปร่างของเส้นโค้งที่กำหนดโดย:
y = (e x + e -x ) / 2
- ตัวเก็บประจุ C ที่ปล่อยออกมาในตอนแรกซึ่งเชื่อมต่อแบบอนุกรมกับตัวต้านทาน R และแหล่งจ่ายแรงดัน V เพื่อชาร์จจะได้รับประจุ Q เป็นฟังก์ชันของเวลาที่กำหนดโดย:
Q (t) = CV (1-e -t / RC )
ชีววิทยา
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = Ae Bxพร้อมค่าคงที่ A และ B ใช้เพื่อจำลองการเติบโตของเซลล์และการเจริญเติบโตของแบคทีเรีย
กายภาพ
ในฟิสิกส์นิวเคลียร์การสลายตัวของกัมมันตภาพรังสีและการกำหนดอายุถูกจำลองโดยการหาคู่ของเรดิโอคาร์บอน
เศรษฐกิจ
ในการคำนวณดอกเบี้ยทบต้นจำนวน e เกิดขึ้นตามธรรมชาติ
สมมติว่าคุณมีเงินจำนวนหนึ่ง P oเพื่อลงทุนในอัตราดอกเบี้ย i% ต่อปี
หากคุณทิ้งเงินไว้ 1 ปีหลังจากนั้นคุณจะมี:
หลังจากนั้นอีกหนึ่งปีโดยไม่ต้องสัมผัสคุณจะมี:
และดำเนินต่อไปในลักษณะนี้เป็นเวลา n ปี:
ตอนนี้เรามาจำหนึ่งในคำจำกัดความของ e:
ดูเหมือนสำนวนสำหรับ P จะต้องมีความสัมพันธ์กัน
เราจะกระจายอัตราดอกเบี้ยเล็กน้อย i ใน n ช่วงเวลาด้วยวิธีนี้อัตราดอกเบี้ยทบต้นจะเป็น i / n:
นิพจน์นี้ดูเหมือนขีด จำกัด ของเรามากกว่าเล็กน้อย แต่ก็ยังไม่เหมือนเดิมทุกประการ
อย่างไรก็ตามหลังจากการปรับเปลี่ยนพีชคณิตบางอย่างสามารถแสดงให้เห็นว่าการเปลี่ยนแปลงตัวแปรนี้:
เงินของเรา P กลายเป็น:
และสิ่งที่อยู่ระหว่างวงเล็บปีกกาแม้ว่าจะเขียนด้วยตัวอักษร h แต่ก็เท่ากับอาร์กิวเมนต์ของขีด จำกัด ที่กำหนดจำนวน e ขาดเพียงขีด จำกัด
ลองสร้าง h →∞และสิ่งที่อยู่ระหว่างเครื่องหมายวงเล็บจะกลายเป็นเลข e นี่ไม่ได้หมายความว่าเราต้องรอเป็นเวลานานในการถอนเงิน
หากเรามองอย่างใกล้ชิดโดยการสร้าง h = n / i และพุ่งไปที่∞สิ่งที่เราทำจริงคือกระจายอัตราดอกเบี้ยในช่วงเวลาที่น้อยมาก:
ผม = n / h
สิ่งนี้เรียกว่าการทบต้นอย่างต่อเนื่อง ในกรณีเช่นนี้จำนวนเงินจะคำนวณได้ง่ายเช่นนี้:
อัตราดอกเบี้ยรายปีคืออะไร ตัวอย่างเช่นเมื่อฝาก€ 12 ที่ 9% ต่อปีผ่านการใช้ตัวพิมพ์ใหญ่อย่างต่อเนื่องหลังจากหนึ่งปีคุณมี:
ด้วยกำไร 1.13 ยูโร
อ้างอิง
- สนุกกับคณิตศาสตร์ ดอกเบี้ยทบต้น: องค์ประกอบเป็นระยะ ดึงมาจาก: enjoylasmatematicas.com.
- Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. หลากหลาย รุ่น CO-BO
- García, M. จำนวน e ในแคลคูลัสเบื้องต้น กู้คืนจาก: matematica.ciens.ucv.ve.
- Jiménez, R. 2008. พีชคณิต. ศิษย์ฮอลล์.
- Larson, R. 2010. การคำนวณตัวแปร. วันที่ 9. ฉบับ McGraw Hill