มีเมทริกซ์ที่ตั้งฉากกันเมื่อเมทริกซ์ดังกล่าวคูณด้วยผลลัพธ์ทรานสโพสในเมทริกซ์เอกลักษณ์ ถ้าผกผันของเมทริกซ์เท่ากับทรานสโพสเมทริกซ์ดั้งเดิมจะตั้งฉากกัน
เมทริกซ์มุมฉากมีลักษณะที่จำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์ นอกจากนี้เวกเตอร์แถวยังเป็นเวกเตอร์มุมฉากและเวกเตอร์แถวทรานสโพส
รูปที่ 1. ตัวอย่างของเมทริกซ์มุมฉากและวิธีเปลี่ยนวัตถุทางเรขาคณิต (จัดทำโดย Ricardo Pérez)
เมื่อเมทริกซ์มุมฉากคูณด้วยเวกเตอร์ของปริภูมิเวกเตอร์จะทำให้เกิดการแปลงภาพสามมิตินั่นคือการแปลงที่ไม่เปลี่ยนระยะทางและรักษามุมไว้
ตัวแทนทั่วไปของเมทริกซ์มุมฉากคือเมทริกซ์แบบหมุน การแปลงเมทริกซ์มุมฉากบนปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่าการแปลงมุมฉาก
การแปลงทางเรขาคณิตของการหมุนและการสะท้อนของจุดที่แสดงโดยเวกเตอร์คาร์ทีเซียนของพวกมันทำได้โดยการใช้เมทริกซ์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมเพื่อให้ได้พิกัดของเวกเตอร์ที่แปลงแล้ว ด้วยเหตุนี้เมทริกซ์มุมฉากจึงถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการประมวลผลกราฟิกคอมพิวเตอร์
คุณสมบัติ
เมทริกซ์Mเป็นมุมฉากถ้าคูณด้วย transpose ของM Tให้เป็นผลเอกลักษณ์เมทริกซ์ผมในทำนองเดียวกันผลคูณของทรานสโพสของเมทริกซ์มุมฉากโดยเมทริกซ์ดั้งเดิมส่งผลให้เมทริกซ์เอกลักษณ์:
MM T = M T M = I
อันเป็นผลมาจากคำสั่งก่อนหน้านี้เราพบว่าทรานสโพสของเมทริกซ์มุมฉากเท่ากับเมทริกซ์ผกผัน:
M T = M -1
ชุดของเมทริกซ์มุมฉากของมิติ nxn สร้างกลุ่มมุมฉาก O (n) และส่วนย่อยของ O (n) ของเมทริกซ์มุมฉากที่มีดีเทอร์มิแนนต์ +1 จะรวมกันเป็นกลุ่มของเมทริกซ์พิเศษแบบรวม SU (n) เมทริกซ์ของกลุ่ม SU (n) เป็นเมทริกซ์ที่สร้างการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นของการหมุนหรือที่เรียกว่ากลุ่มของการหมุน
สาธิต
เราต้องการแสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์เป็นมุมฉากถ้าเวกเตอร์แถว (หรือเวกเตอร์คอลัมน์) ตั้งฉากกันและเป็นบรรทัดฐาน 1
สมมติว่าแถวของเมทริกซ์มุมฉาก nxn เป็น n เวกเตอร์ปกติของมิติ n ถ้าแสดงด้วยv 1 , v 2 , …., V nถึง n เวกเตอร์จะถือ:
โดยที่เห็นได้ชัดว่าเซตของเวกเตอร์แถวเป็นเซตของเวกเตอร์มุมฉากที่มีบรรทัดฐานหนึ่ง
ตัวอย่าง
ตัวอย่าง 1
แสดงว่าเมทริกซ์ 2 x 2 ที่อยู่ในแถวแรกมีเวกเตอร์v1 = (-1 0) และในแถวที่สองเวกเตอร์v2 = (0 1) เป็นเมทริกซ์ที่ตั้งฉากกัน
วิธีแก้ไข: เมทริกซ์Mถูกสร้างขึ้นและมีการคำนวณทรานสโพสM T :
ในตัวอย่างนี้เมทริกซ์Mมีการทรานสโพสในตัวเองนั่นคือเมทริกซ์และทรานสโพสจะเหมือนกัน คูณMด้วยทรานสโพสM T :
ได้รับการตรวจสอบแล้วว่าMM Tเท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์:
เมื่อเมทริกซ์Mคูณด้วยพิกัดของเวกเตอร์หรือจุดจะได้พิกัดใหม่ที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงที่เมทริกซ์ทำบนเวกเตอร์หรือจุด
รูปที่ 1 แสดงวิธีที่Mแปลงเวกเตอร์uเป็นu 'และวิธีที่Mแปลงรูปหลายเหลี่ยมสีน้ำเงินเป็นรูปหลายเหลี่ยมสีแดง เนื่องจากMเป็นมุมฉากจึงเป็นการแปลงมุมฉากซึ่งรักษาระยะทางและมุม
ตัวอย่าง 2
สมมติว่าคุณมีเมทริกซ์ 2 x 2 ที่กำหนดไว้ในจำนวนจริงที่กำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:
หาค่าที่แท้จริงของ a, b, c และ d เพื่อให้เมทริกซ์Mเป็นเมทริกซ์มุมฉาก
วิธีแก้ปัญหา: ตามความหมายเมทริกซ์จะตั้งฉากกันถ้าคูณด้วยทรานสโพสเมทริกซ์เอกลักษณ์จะได้รับ โปรดจำไว้ว่าเมทริกซ์ทรานสโพสต์นั้นได้มาจากต้นฉบับการแลกเปลี่ยนแถวสำหรับคอลัมน์จะได้รับความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
การคูณเมทริกซ์เรามี:
เมื่อเทียบองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้านซ้ายกับองค์ประกอบของเมทริกซ์เอกลักษณ์ทางด้านขวาเราจะได้ระบบสมการสี่สมการโดยมีสี่ที่ไม่รู้จัก a, b, c และ d
เราขอเสนอ a, b, c และ d นิพจน์ต่อไปนี้ในรูปของอัตราส่วนตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์:
ด้วยข้อเสนอนี้และเนื่องจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานสมการที่หนึ่งและสามจะได้รับความพึงพอใจโดยอัตโนมัติในความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบเมทริกซ์ สมการที่สามและสี่จะเหมือนกันและในความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์หลังจากแทนที่ค่าที่เสนอแล้วจะมีลักษณะดังนี้:
ซึ่งนำไปสู่การแก้ปัญหาต่อไปนี้:
ในที่สุดก็จะได้รับโซลูชันต่อไปนี้สำหรับเมทริกซ์มุมฉาก M:
โปรดสังเกตว่าโซลูชันแรกมีดีเทอร์มิแนนต์ +1 ดังนั้นจึงเป็นของกลุ่ม SU (2) ในขณะที่โซลูชันที่สองมีดีเทอร์มีแนนต์ -1 ดังนั้นจึงไม่อยู่ในกลุ่มนี้
ตัวอย่างที่ 3
จากเมทริกซ์ต่อไปนี้ให้หาค่าของ a และของ b เพื่อให้เรามีเมทริกซ์มุมฉาก
วิธีแก้ปัญหา: เพื่อให้เมทริกซ์ที่กำหนดเป็นมุมฉากผลิตภัณฑ์ที่มีทรานสโพสจะต้องเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ จากนั้นผลคูณเมทริกซ์ของเมทริกซ์ที่กำหนดด้วยเมทริกซ์ทรานสโพสจะดำเนินการโดยให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:
ถัดไปผลลัพธ์จะเท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ 3 x 3:
ในแถวที่สองคอลัมน์ที่สามมี (ab = 0) แต่ a ไม่สามารถเป็นศูนย์ได้เพราะมิฉะนั้นความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบในแถวที่สองและคอลัมน์ที่สองจะไม่เป็นจริง จากนั้นจำเป็นต้องเป็น b = 0 การแทนที่ b สำหรับค่า 0 ที่เรามี:
จากนั้นสมการจะได้รับการแก้ไข: 2a ^ 2 = 1 ซึ่งมีคำตอบ: + ½√2และ-½√2
การหาคำตอบที่เป็นบวกสำหรับ a จะได้เมทริกซ์มุมฉากต่อไปนี้:
ผู้อ่านสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าเวกเตอร์แถว (และเวกเตอร์คอลัมน์) มีมุมฉากและรวมกันนั่นคือปกติ
ตัวอย่างที่ 4
แสดงว่าเมทริกซ์Aที่มีเวกเตอร์แถวคือv1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0)และv3 = (0 0 -1)เป็นเมทริกซ์มุมฉาก นอกจากนี้พบว่าเวกเตอร์จะเปลี่ยนจากบัญญัติพื้นฐานI, J, Kเพื่อเวกเตอร์u1 , u2และU3
วิธีแก้ปัญหา: ควรจำไว้ว่าองค์ประกอบ (i, j) ของเมทริกซ์คูณด้วยทรานสโพสเป็นผลคูณจุดของเวกเตอร์ของแถว (i) ตามคอลัมน์ (j) ของทรานสโพส นอกจากนี้ผลิตภัณฑ์นี้มีค่าเท่ากับเดลต้า Kronecker ในกรณีที่เมทริกซ์ตั้งฉากกัน:
ในกรณีของเรามีลักษณะดังนี้:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเป็นเมทริกซ์มุมฉาก
นอกจากนี้u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) และสุดท้ายu3 = A k = (0, 0, -1)
อ้างอิง
- Anthony Nicolaides (1994) ปัจจัยกำหนดและเมทริกซ์. ผ่านสิ่งพิมพ์
- Birkhoff และ MacLane (1980) พีชคณิตสมัยใหม่เอ็ด Vicens-Vives, มาดริด
- Casteleiro Villalba M. (2004) พีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้น. บรรณาธิการ ESIC
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann
- Jenny Olive (1998) คณิตศาสตร์: คู่มือการอยู่รอดของนักเรียน สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
- Richard J.Brown (2012) คณิตศาสตร์ 30 วินาที: 50 ทฤษฎีที่ขยายใจมากที่สุดในคณิตศาสตร์ ไอวี่เพรส จำกัด
- วิกิพีเดีย เมทริกซ์มุมฉาก สืบค้นจาก: es.wikipedia.com
- วิกิพีเดีย เมทริกซ์มุมฉาก สืบค้นจาก: en.wikipedia.com