เมทริกซ์ผกผัน: การคำนวณและแก้ไขแบบฝึกหัด - เลข - 2026

เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ให้เป็นเมทริกซ์นั้นคูณด้วยต้นฉบับให้เมทริกซ์เอกลักษณ์ เมทริกซ์ผกผันมีประโยชน์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นดังนั้นความสำคัญของการรู้วิธีคำนวณ

เมทริกซ์มีประโยชน์มากในฟิสิกส์วิศวกรรมและคณิตศาสตร์เนื่องจากเป็นเครื่องมือขนาดกะทัดรัดสำหรับแก้ปัญหาที่ซับซ้อน อรรถประโยชน์ของเมทริกซ์จะเพิ่มขึ้นเมื่อพวกมันกลับด้านได้และยังเป็นที่รู้จักกันว่าผกผัน

รูปที่ 1. เมทริกซ์ 2 × 2 ทั่วไปและเมทริกซ์ผกผันจะแสดง (จัดทำโดย Ricardo Pérez)

ในด้านการประมวลผลกราฟิก Big Data, Data Mining, Machine Learning และอื่น ๆ อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพและรวดเร็วใช้ในการประเมินเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ nxn ที่มี n ขนาดใหญ่มากโดยเรียงลำดับเป็นพันหรือล้าน

เพื่อแสดงให้เห็นถึงการใช้เมทริกซ์ผกผันในการจัดการระบบสมการเชิงเส้นเราจะเริ่มต้นด้วยกรณีที่ง่ายที่สุดของเมทริกซ์ทั้งหมด: 1 × 1

กรณีที่ง่ายที่สุด: พิจารณาสมการเชิงเส้นของตัวแปรเดียว: 2 x = 10

แนวคิดคือการหาค่าของ x แต่จะทำ "เมทริกซ์"

เมทริกซ์ M = (2) ที่คูณเวกเตอร์ (x) คือเมทริกซ์ 1 × 1 ที่ให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ (10):

ม (x) = (10)

ผกผันของเมทริกซ์ M จะเขียนแทนด้วย M -1

วิธีทั่วไปในการเขียน "ระบบเชิงเส้น" คือ:

MX = B โดยที่ X คือเวกเตอร์ (x) และ B คือเวกเตอร์ (10)

ตามความหมายเมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์ที่คูณด้วยผลลัพธ์เมทริกซ์ดั้งเดิมในเมทริกซ์เอกลักษณ์ I:

ม^{-1 ม} = ฉัน

ในกรณีที่พิจารณาเมทริกซ์ M ^-1คือเมทริกซ์ (½) นั่นคือ M ^-1 = (½) ตั้งแต่ M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

ในการหาเวกเตอร์ที่ไม่รู้จัก X = (x) ในสมการที่เสนอสมาชิกทั้งสองจะถูกคูณด้วยเมทริกซ์ผกผัน:

ม^{-1 ม} . (x) = ม^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

ถึงความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์สองตัวซึ่งจะเท่ากันก็ต่อเมื่อองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องมีค่าเท่ากันนั่นคือ x = 5

การคำนวณค่าผกผันของเมทริกซ์

สิ่งที่กระตุ้นให้คำนวณเมทริกซ์ผกผันคือการหาวิธีสากลสำหรับการแก้ปัญหาของระบบเชิงเส้นเช่นระบบ 2 × 2 ต่อไปนี้:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

ทำตามขั้นตอนของกรณี 1 × 1 ที่ศึกษาในส่วนก่อนหน้านี้เราเขียนระบบสมการในรูปแบบเมทริกซ์:

รูปที่ 2. ระบบเชิงเส้นในรูปเมทริกซ์

โปรดสังเกตว่าระบบนี้เขียนด้วยสัญกรณ์เวกเตอร์ขนาดกะทัดรัดดังนี้:

MX = B

ที่ไหน

ขั้นตอนต่อไปคือการหาค่าผกผันของ M.

วิธีที่ 1: การใช้ Gaussian Elimination

จะใช้วิธีการกำจัดแบบเสียน ซึ่งประกอบด้วยการดำเนินการเบื้องต้นบนแถวของเมทริกซ์การดำเนินการเหล่านี้คือ:

- คูณแถวด้วยตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์

- เพิ่มหรือลบแถวอื่นจากแถวหรือหลายแถวของแถวอื่น

- สลับแถว

วัตถุประสงค์คือผ่านการดำเนินการเหล่านี้เพื่อแปลงเมทริกซ์ดั้งเดิมเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

เมื่อเสร็จแล้วในเมทริกซ์ M การดำเนินการเดียวกันจะถูกนำไปใช้กับเมทริกซ์เอกลักษณ์ เมื่อหลังจากการดำเนินงานหลายแถว, M จะเปลี่ยนไปยังหน่วยเมทริกซ์แล้วหนึ่งที่ แต่เดิมเป็นหน่วยงานที่จะกลายเป็นเมทริกซ์ผกผันของ M, ที่อยู่, M -1

1- เราเริ่มกระบวนการโดยการเขียนเมทริกซ์ M และถัดจากนั้นเมทริกซ์หน่วย:

2- เราเพิ่มสองแถวและใส่ผลลัพธ์ในแถวที่สองด้วยวิธีนี้เราจะได้ศูนย์ในองค์ประกอบแรกของแถวที่สอง:

3- เราคูณแถวที่สองด้วย -1 เพื่อให้ได้ 0 และ 1 ในแถวที่สอง:

4- แถวแรกคูณด้วย½:

5- เพิ่มครั้งที่สองและครั้งแรกและผลลัพธ์จะถูกวางไว้ในแถวแรก:

6- ตอนนี้เพื่อสิ้นสุดกระบวนการแถวแรกจะถูกคูณด้วย 2 เพื่อให้ได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ในแถวแรกและเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ดั้งเดิม M ในแถวที่สอง:

กล่าวคือ:

โซลูชันระบบ

เมื่อได้เมทริกซ์ผกผันแล้วระบบสมการจะได้รับการแก้ไขโดยใช้เมทริกซ์ผกผันกับสมาชิกทั้งสองของสมการเวกเตอร์ขนาดกะทัดรัด:

ม^{-1 ม} X = ม^-1ข

X = M ^-1 B

ซึ่งมีลักษณะดังนี้:

จากนั้นทำการคูณเมทริกซ์เพื่อให้ได้เวกเตอร์ X:

วิธีที่ 2: ใช้เมทริกซ์ที่แนบมา

ในวิธีที่สองนี้เมทริกซ์ผกผันคำนวณจากเมทริกซ์ adjoint ของเดิมเมทริกซ์

สมมติว่าเมทริกซ์ A กำหนดโดย:

ที่_{ฉัน j}เป็นองค์ประกอบในแถวและคอลัมน์ฉันเจของเมทริกซ์

จุดต่อของเมทริกซ์A จะเรียกว่าAdj (A)และองค์ประกอบคือ:

โฆษณา_{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

ที่อัยเจเป็นเมทริกซ์ต่ำเสริมได้โดยการกำจัดแถวที่ผมและคอลัมน์ญของเดิมเมทริกซ์ แท่ง ¦ ¦ ระบุว่ามีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์นั่นคือ¦Ai, j¦คือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เสริมรอง

สูตรเมทริกซ์ผกผัน

สูตรในการหาเมทริกซ์ผกผันที่เริ่มต้นจากเมทริกซ์ที่อยู่ติดกันของเมทริกซ์ดั้งเดิมมีดังนี้:

คือเมทริกซ์ผกผันของ, ^-1เป็น transpose ของ adjoint ของหารด้วยปัจจัยของ

ทรานสโพสA ^T ของเมทริกซ์Aได้มาจากการแลกเปลี่ยนแถวสำหรับคอลัมน์นั่นคือแถวแรกกลายเป็นคอลัมน์แรกและแถวที่สองกลายเป็นคอลัมน์ที่สองไปเรื่อย ๆ จนกว่า n แถวของเมทริกซ์ดั้งเดิมจะเสร็จสมบูรณ์

การออกกำลังกายได้รับการแก้ไข

ให้เมทริกซ์ A เป็นดังต่อไปนี้:

คำนวณแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ adjoint ของ A: Adj (A)

ส่งผลให้เมทริกซ์ adjoint ของ A, Adj (A) มีดังต่อไปนี้:

จากนั้นจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A, det (A):

ในที่สุดก็ได้เมทริกซ์ผกผันของ A:

อ้างอิง

1. Anthony Nicolaides (1994) ปัจจัยกำหนดและเมทริกซ์. ผ่านสิ่งพิมพ์
2. Awol Assen (2013) การศึกษาเกี่ยวกับการคำนวณตัวกำหนดของ 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) พีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้น. บรรณาธิการ ESIC
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann
5. Jenny Olive (1998) คณิตศาสตร์: คู่มือการอยู่รอดของนักเรียน สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
6. Richard J.Brown (2012) คณิตศาสตร์ 30 วินาที: 50 ทฤษฎีที่ขยายใจมากที่สุดในคณิตศาสตร์ ไอวี่เพรส จำกัด
7. มดลูก สำนักพิมพ์วิชาการแลปแลมเบิร์ต.