วิธีการของออยเลอร์มีไว้เพื่ออะไรขั้นตอนและแบบฝึกหัด - เลข - 2026

วิธีการออยเลอร์เป็นขั้นตอนพื้นฐานและง่ายที่สุดที่ใช้ในการหาแนวทางแก้ไขปัญหาที่เป็นตัวเลขใกล้เคียงกับสมการอนุพันธ์สามัญของ สั่งซื้อครั้งแรกโดยมีเงื่อนไขว่าสภาวะเริ่มต้นเป็นที่รู้จักกัน

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) คือสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของตัวแปรอิสระตัวเดียวกับอนุพันธ์

การประมาณอย่างต่อเนื่องโดยวิธีของออยเลอร์ ที่มา: Oleg Alexandrov

ถ้าอนุพันธ์ที่ใหญ่ที่สุดที่ปรากฏในสมการเป็นระดับหนึ่งแสดงว่าเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญของระดับแรก

วิธีทั่วไปที่สุดในการเขียนสมการของระดับแรกคือ:

x = x ₀

y = y ₀

วิธีของออยเลอร์คืออะไร?

ความคิดของวิธีการออยเลอร์คือการหาวิธีการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขสมการเชิงอนุพันธ์ในช่วงเวลาระหว่างที่ X ₀และ X ฉ

ขั้นแรกให้แบ่งช่วงเวลาเป็น n + 1 คะแนน:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ … , x _n

ซึ่งได้มาดังนี้
x _i = x ₀ + ih

โดยที่ h คือความกว้างหรือขั้นตอนของช่วงย่อย:

ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้นจึงเป็นไปได้ที่จะทราบอนุพันธ์ที่จุดเริ่มต้น:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

อนุพันธ์นี้แสดงถึงความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งของฟังก์ชัน y (x) อย่างแม่นยำที่จุด:

อ่าว = (x _o , y _o )

จากนั้นการคาดคะเนค่าของฟังก์ชัน y (x) โดยประมาณจะทำที่จุดต่อไปนี้:

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

จากนั้นได้รับจุดโดยประมาณถัดไปของการแก้ปัญหาซึ่งจะสอดคล้องกับ:

ก₁ = (x ₁ , y ₁ )

ทำซ้ำขั้นตอนเพื่อให้ได้คะแนนต่อเนื่อง

ก₂ , ก₃ …, x _n

ในรูปที่แสดงตอนต้นเส้นโค้งสีน้ำเงินแสดงถึงคำตอบที่แน่นอนของสมการเชิงอนุพันธ์และเส้นสีแดงแสดงถึงจุดโดยประมาณที่ต่อเนื่องกันซึ่งได้รับจากขั้นตอนออยเลอร์

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แบบฝึกหัด 1

I ) ให้สมการเชิงอนุพันธ์เป็น:

ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น x = a = 0; และ_a = 1

ใช้วิธีของออยเลอร์หาคำตอบโดยประมาณของ y ที่พิกัด X = b = 0.5 แบ่งช่วงเวลาออกเป็น n = 5 ส่วน

สารละลาย

ผลลัพธ์ที่เป็นตัวเลขสรุปได้ดังนี้:

จากนั้นสรุปได้ว่าโซลูชัน Y สำหรับค่า 0.5 คือ 1.4851

หมายเหตุ: Smath Studio ซึ่งเป็นโปรแกรมฟรีสำหรับการใช้งานฟรีถูกนำมาใช้ในการคำนวณ

แบบฝึกหัด 2

II ) ต่อด้วยสมการเชิงอนุพันธ์จากแบบฝึกหัด I) หาคำตอบที่แน่นอนและเปรียบเทียบกับผลลัพธ์ที่ได้จากวิธีของออยเลอร์ ค้นหาข้อผิดพลาดหรือความแตกต่างระหว่างผลลัพธ์ที่แน่นอนและผลลัพธ์โดยประมาณ

สารละลาย

ทางออกที่แน่นอนไม่ยากมากที่จะหา อนุพันธ์ของฟังก์ชัน sin (x) เรียกว่าฟังก์ชัน cos (x) ดังนั้นวิธีแก้ปัญหา y (x) จะเป็น:

y (x) = บาป x + C

เพื่อให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็นจริงและ (0) = 1 ค่าคงที่ C จะต้องเท่ากับ 1 ผลลัพธ์ที่แน่นอนจะถูกเปรียบเทียบกับค่าโดยประมาณ:

สรุปได้ว่าในช่วงเวลาที่คำนวณได้การประมาณมีค่าความแม่นยำที่สำคัญสามตัวเลข

แบบฝึกหัด 3

III ) พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์และเงื่อนไขเริ่มต้นที่ระบุด้านล่าง:

y '(x) = - y ²

ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น x ₀ = 0; และ₀ = 1

ใช้วิธีของออยเลอร์เพื่อหาค่าโดยประมาณของการแก้ปัญหา y (x) ในช่วงเวลา x = ใช้ขั้นตอน h = 0.1

สารละลาย

วิธีของออยเลอร์เหมาะสำหรับใช้กับสเปรดชีต ในกรณีนี้เราจะใช้สเปรดชีต geogebra ซึ่งเป็นโปรแกรมฟรีและโอเพ่นซอร์ส

สเปรดชีตในรูปแสดงสามคอลัมน์ (A, B, C) คอลัมน์แรกคือตัวแปร x คอลัมน์ที่สองแสดงถึงตัวแปร y และคอลัมน์ที่สามคืออนุพันธ์ y '

แถวที่ 2 ประกอบด้วยค่าเริ่มต้นของ X, Y, Y '

ขั้นตอนค่า 0.1 ถูกวางไว้ในเซลล์ตำแหน่งสัมบูรณ์ ($ D $ 4)

ค่าเริ่มต้นของ y0 อยู่ในเซลล์ B2 และ y1 อยู่ในเซลล์ B3 ในการคำนวณ y ₁จะใช้สูตร:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

สูตรสเปรดชีตนี้จะเป็น Number B3: = B2 + $ D $ 4 * C3

ในทำนองเดียวกัน y2 จะอยู่ในเซลล์ B4 และสูตรจะแสดงในรูปต่อไปนี้:

รูปยังแสดงกราฟของคำตอบที่แน่นอนและจุด A, B, …, P ของวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณโดยวิธีของออยเลอร์

พลศาสตร์ของนิวตันและวิธีของออยเลอร์

พลศาสตร์คลาสสิกได้รับการพัฒนาโดย Isaac Newton (1643 - 1727) แรงจูงใจดั้งเดิมของ Leonard Euler (1707 - 1783) ในการพัฒนาวิธีการของเขาคือการแก้สมการของกฎข้อที่สองของนิวตันในสถานการณ์ทางกายภาพต่างๆ

กฎข้อที่สองของนิวตันมักแสดงเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ของระดับที่สอง:

โดยที่ x แทนตำแหน่งของวัตถุในเวลา t วัตถุดังกล่าวมีมวล m และอยู่ภายใต้แรง F ฟังก์ชัน f เกี่ยวข้องกับแรงและมวลดังนี้:

ในการใช้วิธีของออยเลอร์ค่าเริ่มต้นของเวลา t ต้องใช้ความเร็ว v และตำแหน่ง x

ตารางต่อไปนี้อธิบายถึงวิธีการเริ่มต้นจากค่าเริ่มต้น t1, v1, x1 โดยประมาณของความเร็ว v2 และตำแหน่ง x2 สามารถหาได้ที่ t2 = t1 + Δtทันทีโดยที่Δtแสดงถึงการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยและสอดคล้องกับขั้นตอนในวิธีการของ ออยเลอร์

แบบฝึกหัด 4

IV ) ปัญหาพื้นฐานอย่างหนึ่งในกลศาสตร์คือบล็อกมวล M ที่ผูกติดกับสปริง (หรือสปริง) ของค่าคงที่ยืดหยุ่น K

กฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับปัญหานี้จะมีลักษณะดังนี้:

ในตัวอย่างนี้เพื่อความง่ายเราจะใช้ M = 1 และ K = 1 ค้นหาคำตอบโดยประมาณสำหรับตำแหน่ง x และความเร็ว v โดยวิธีของออยเลอร์ในช่วงเวลาโดยแบ่งช่วงเวลาออกเป็น 12 ส่วน

ใช้ 0 เป็นค่าเริ่มต้นทันทีความเร็วเริ่มต้น 0 และตำแหน่งเริ่มต้น 1

สารละลาย

ผลลัพธ์ที่เป็นตัวเลขจะแสดงในตารางต่อไปนี้:

กราฟของตำแหน่งและความเร็วระหว่างคูณ 0 ถึง 1.44 จะแสดงขึ้นด้วย

เสนอแบบฝึกหัดสำหรับที่บ้าน

แบบฝึกหัด 1

ใช้สเปรดชีตเพื่อหาคำตอบโดยประมาณโดยใช้วิธีของออยเลอร์สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์:

y '= - Exp (-y) ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น x = 0, y = -1 ในช่วงเวลา x =

เริ่มต้นด้วย 0.1 ขั้นตอน พล็อตผลลัพธ์

แบบฝึกหัด 2

การใช้สเปรดชีตค้นหาคำตอบที่เป็นตัวเลขสำหรับสมการกำลังสองต่อไปนี้โดยที่ y เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ t

y '' = - 1 / y²พร้อมเงื่อนไขเริ่มต้น t = 0; และ (0) = 0.5; y '(0) = 0

หาคำตอบในช่วงเวลาโดยใช้ขั้นตอน 0.05

พล็อตผลลัพธ์: y vs t; y 'กับ t

อ้างอิง

1. วิธี Eurler นำมาจาก wikipedia.org
2. ตัวแก้ออยเลอร์ นำมาจาก en.smath.com