วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดเป็นหนึ่งในโปรแกรมที่สำคัญที่สุดในการประมาณค่าฟังก์ชัน แนวคิดคือการหาเส้นโค้งที่กำหนดให้เป็นชุดคู่ที่เรียงลำดับฟังก์ชันนี้จะประมาณข้อมูลได้ดีที่สุด ฟังก์ชันสามารถเป็นเส้นโค้งกำลังสองลูกบาศก์ ฯลฯ
แนวคิดของวิธีการนี้ประกอบด้วยการลดผลรวมของกำลังสองของความแตกต่างในการกำหนด (องค์ประกอบ Y) ระหว่างจุดที่สร้างโดยฟังก์ชันที่เลือกและจุดที่เป็นของชุดข้อมูล
วิธีกำลังสองน้อยที่สุด
ก่อนจะให้วิธีนี้เราต้องชัดเจนก่อนว่า“ แนวทางที่ดีกว่า” หมายถึงอะไร สมมติว่าเรากำลังมองหาเส้น y = b + mx ซึ่งเป็นเส้นที่แทนเซตของ n พอยต์ได้ดีที่สุดคือ {(x1, y1), (x2, y2) …, (xn, yn)}
ดังที่แสดงในรูปก่อนหน้านี้ถ้าตัวแปร x และ y สัมพันธ์กันในบรรทัด y = b + mx ดังนั้นสำหรับ x = x1 ค่าที่สอดคล้องกันของ y จะเป็น b + mx1 อย่างไรก็ตามค่านี้แตกต่างจากค่าที่แท้จริงของ y ซึ่งก็คือ y = y1
โปรดจำไว้ว่าในระนาบระยะห่างระหว่างจุดสองจุดจะถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:
ด้วยเหตุนี้เพื่อกำหนดวิธีการเลือกเส้น y = b + mx ที่ใกล้เคียงกับข้อมูลที่กำหนดได้ดีที่สุดดูเหมือนว่าจะมีเหตุผลที่จะใช้เป็นเกณฑ์ในการเลือกเส้นที่ลดผลรวมของกำลังสองของระยะทางระหว่างจุด และตรง
เนื่องจากระยะห่างระหว่างจุด (x1, y1) และ (x1, b + mx1) คือ y1- (b + mx1) ปัญหาของเราจึงลดลงเป็นการหาตัวเลข m และ b ทำให้ผลรวมต่อไปนี้น้อยที่สุด:
เส้นที่ตรงตามเงื่อนไขนี้เรียกว่า«การประมาณของเส้นกำลังสองน้อยที่สุดไปยังจุด (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) »
เมื่อได้ปัญหาแล้วให้เลือกวิธีการหาค่าประมาณกำลังสองน้อยที่สุดเท่านั้น ถ้าจุด (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) ทั้งหมดอยู่บนเส้น y = mx + b เราจะได้ว่าพวกมันเป็น collinear y:
ในนิพจน์นี้:
สุดท้ายถ้าจุดไม่เรียงกัน y-Au = 0 และปัญหาสามารถแปลเป็นการหาเวกเตอร์ u เพื่อให้บรรทัดฐานของยุคลิดมีค่าน้อยที่สุด
การหาเวกเตอร์ย่อขนาด u นั้นไม่ยากอย่างที่คิด เนื่องจาก A เป็นเมทริกซ์ nx2 และ u เป็นเมทริกซ์ 2 × 1 เราจึงมีเวกเตอร์ Au เป็นเวกเตอร์ใน R nและอยู่ในรูปของ A ซึ่งเป็นสเปซย่อยของ R n ที่มีขนาดไม่เกินสอง
เราจะถือว่า n = 3 เพื่อแสดงว่าต้องปฏิบัติตามขั้นตอนใด ถ้า n = 3 ภาพของ A จะเป็นระนาบหรือเส้นผ่านจุดกำเนิด
ให้ v เป็นเวกเตอร์ย่อขนาด ในรูปเราสังเกตว่า y-Au ถูกย่อให้เล็กสุดเมื่อมันตั้งฉากกับรูป A นั่นคือถ้า v เป็นเวกเตอร์ที่ย่อขนาดแล้วมันจะเกิดขึ้นว่า:
จากนั้นเราสามารถแสดงข้อมูลข้างต้นด้วยวิธีนี้:
สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ:
ในที่สุดการแก้หา v เรามี:
เป็นไปได้ที่จะทำเช่นนี้เนื่องจาก A t A จะกลับด้านได้ตราบเท่าที่ n คะแนนที่ระบุเนื่องจากข้อมูลไม่ได้เรียงกัน
ตอนนี้ถ้าแทนที่จะมองหาเส้นเราต้องการหาพาราโบลา (ซึ่งนิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ y = a + bx + cx 2 ) ซึ่งจะเป็นการประมาณที่ดีกว่าสำหรับจุดข้อมูล n ขั้นตอนจะเป็นไปตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง
หากจุดข้อมูล n อยู่ในพาราโบลานี้เราจะมี:
แล้ว:
ในทำนองเดียวกันเราสามารถเขียน y = Au ถ้าจุดทั้งหมดไม่ได้อยู่ในพาราโบลาแสดงว่า y-Au นั้นแตกต่างจากศูนย์สำหรับเวกเตอร์ u ใด ๆ และปัญหาของเราคืออีกครั้ง: หาเวกเตอร์ u ใน R3 เพื่อให้บรรทัดฐาน --y-Au - มีขนาดเล็กที่สุด .
ทำซ้ำขั้นตอนก่อนหน้านี้เราสามารถมาถึงเวกเตอร์ที่ต้องการคือ:
แบบฝึกหัดที่แก้ไข
แบบฝึกหัด 1
ค้นหาเส้นที่เหมาะกับจุด (1,4), (-2,5), (3, -1) และ (4,1)
สารละลาย
เราต้อง:
แล้ว:
ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าเส้นที่เหมาะกับคะแนนมากที่สุดคือ:
แบบฝึกหัด 2
สมมติว่าวัตถุตกจากที่สูง 200 ม. เมื่อมันตกลงมาให้ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:
เราทราบว่าความสูงของวัตถุดังกล่าวหลังจากเวลาผ่านไป t กำหนดโดย:
ถ้าเราต้องการได้ค่า g เราสามารถหาพาราโบลาที่เป็นค่าประมาณที่ดีกว่ากับจุดห้าจุดที่ระบุในตารางดังนั้นเราจะได้ค่าสัมประสิทธิ์ที่มาพร้อมกับ t 2จะเป็นค่าประมาณที่สมเหตุสมผลกับ (-1/2) g ถ้า การวัดมีความแม่นยำ
เราต้อง:
และหลังจากนั้น:
ดังนั้นจุดข้อมูลจึงพอดีกับนิพจน์กำลังสองต่อไปนี้:
ดังนั้นคุณต้อง:
นี่คือค่าที่สมเหตุสมผลใกล้กับที่ถูกต้องซึ่งเป็น g = 9.81 m / s 2 เพื่อให้ได้ค่าประมาณ g ที่แน่นอนมากขึ้นจำเป็นต้องเริ่มจากการสังเกตที่แม่นยำยิ่งขึ้น
มีไว้เพื่ออะไร?
ในปัญหาที่เกิดขึ้นในธรรมชาติหรือสังคมศาสตร์การเขียนความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างตัวแปรต่าง ๆ โดยใช้นิพจน์ทางคณิตศาสตร์นั้นสะดวก
ตัวอย่างเช่นในทางเศรษฐศาสตร์เราสามารถเชื่อมโยงต้นทุน (C) รายได้ (I) และผลกำไร (U) โดยใช้สูตรง่ายๆ:
ในทางฟิสิกส์เราสามารถเชื่อมโยงความเร่งที่เกิดจากแรงโน้มถ่วงเวลาที่วัตถุตกลงมาและความสูงของวัตถุตามกฎหมาย:
ในนิพจน์ก่อนหน้า s oคือความสูงเริ่มต้นของวัตถุดังกล่าวและ v oคือความเร็วเริ่มต้น
อย่างไรก็ตามการค้นหาสูตรเช่นนี้ไม่ใช่เรื่องง่าย โดยปกติแล้วผู้เชี่ยวชาญจะต้องทำงานกับข้อมูลจำนวนมากและทำการทดลองหลายครั้งซ้ำ ๆ (เพื่อตรวจสอบว่าผลลัพธ์ที่ได้นั้นคงที่) เพื่อค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลที่แตกต่างกัน
วิธีทั่วไปในการบรรลุเป้าหมายนี้คือการแสดงข้อมูลที่ได้รับในระนาบเป็นจุดและมองหาฟังก์ชันต่อเนื่องที่ประมาณจุดเหล่านั้นอย่างเหมาะสมที่สุด
วิธีหนึ่งในการค้นหาฟังก์ชันที่ "ใกล้เคียงที่สุด" กับข้อมูลที่ระบุคือวิธีกำลังสองน้อยที่สุด
นอกจากนี้อย่างที่เราเห็นในแบบฝึกหัดด้วยวิธีนี้ทำให้เราได้ค่าประมาณที่ใกล้เคียงกับค่าคงที่ทางกายภาพ
อ้างอิง
- Charles W Curtis พีชคณิตเชิงเส้น สปริง Velarg
- ไก่ลายจุง. ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นด้วยกระบวนการสุ่ม Springer-Verlag New York Inc.
- Richar L Burden และ J. Douglas Faires การวิเคราะห์เชิงตัวเลข (7ed) การเรียนรู้ของ ธ อมป์สัน
- Stanley I. Grossman การประยุกต์ใช้พีชคณิตเชิงเส้น MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
- Stanley I. Grossman พีชคณิตเชิงเส้น MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO