กฎหมายมอร์แกน - เลข - 2026

เดอะแอสายตาของมอร์แกนมีกฎการอนุมานใช้ในตรรกะประพจน์ซึ่งสร้างสิ่งที่เป็นผลของการปฏิเสธความร้าวฉานและร่วมของข้อเสนอหรือตัวแปรประพจน์ที่ กฎหมายเหล่านี้กำหนดโดยนักคณิตศาสตร์ Augustus De Morgan

กฎหมายของมอร์แกนเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากในการแสดงให้เห็นถึงความถูกต้องของการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ต่อมาพวกเขาถูกนำไปใช้ในแนวคิดเรื่องเซตโดยนักคณิตศาสตร์ George Boole

การวางนัยทั่วไปที่สร้างขึ้นโดย Boole นั้นเทียบเท่ากับกฎของมอร์แกนเริ่มต้นอย่างสมบูรณ์ แต่ได้รับการพัฒนาโดยเฉพาะสำหรับชุดแทนที่จะเป็นข้อเสนอ ลักษณะทั่วไปนี้เรียกอีกอย่างว่ากฎหมายของมอร์แกน

ทบทวนตรรกะเชิงประพจน์

ก่อนที่จะดูว่ากฎของมอร์แกนโดยเฉพาะคืออะไรและใช้อย่างไรการจำแนวคิดพื้นฐานบางประการของตรรกะเชิงประพจน์จะเป็นประโยชน์ (สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมโปรดดูบทความเรื่องตรรกศาสตร์เชิงโจทย์)

ในขอบเขตของตรรกะทางคณิตศาสตร์ (หรือเชิงโจทย์) การอนุมานคือข้อสรุปที่ออกจากชุดของสถานที่หรือสมมติฐาน ข้อสรุปนี้ร่วมกับสถานที่ดังกล่าวทำให้เกิดสิ่งที่เรียกว่าการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์

การให้เหตุผลดังกล่าวต้องสามารถพิสูจน์ได้หรือปฏิเสธได้ นั่นคือไม่ใช่การอนุมานหรือข้อสรุปทั้งหมดในการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง

การเข้าใจผิด

การอนุมานที่ผิดจากสมมติฐานบางอย่างที่ถือว่าเป็นจริงเรียกว่าการเข้าใจผิด การเข้าใจผิดมีลักษณะเฉพาะของการเป็นข้อโต้แย้งที่ดูเหมือนถูกต้อง แต่ในทางคณิตศาสตร์นั้นไม่ใช่

ตรรกะของข้อเสนอมีหน้าที่รับผิดชอบอย่างแม่นยำในการพัฒนาและจัดหาวิธีการโดยที่การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์สามารถตรวจสอบหรือหักล้างได้โดยปราศจากความคลุมเครือ นั่นคือสรุปข้อสรุปที่ถูกต้องจากสถานที่ วิธีการเหล่านี้เรียกว่ากฎการอนุมานซึ่งกฎหมายของมอร์แกนเป็นส่วนหนึ่ง

ข้อเสนอ

องค์ประกอบที่สำคัญของตรรกะเชิงประพจน์คือประพจน์ ข้อเสนอเป็นข้อความที่สามารถบอกได้ว่าถูกต้องหรือไม่ แต่ไม่สามารถเป็นจริงหรือเท็จในเวลาเดียวกันได้ ไม่ควรมีความคลุมเครือในเรื่องนี้

เช่นเดียวกับตัวเลขที่สามารถรวมเข้าด้วยกันผ่านการบวกการลบการคูณและการหารข้อเสนอสามารถดำเนินการได้โดยใช้ตัวเชื่อมต่อเชิงตรรกะ (หรือตัวเชื่อมต่อ) ที่รู้จักกันดี: การปฏิเสธ (¬,“ ไม่ใช่”), การไม่แยก (V ,“ หรือ”), การรวม (Ʌ,“ และ”), เงื่อนไข (→,“ ถ้า…, แล้ว…”) และสองเงื่อนไข (↔,“ ถ้าและเฉพาะในกรณีที่”)

ในการทำงานโดยทั่วไปแทนที่จะพิจารณาประพจน์เฉพาะตัวแปรเชิงประพจน์ที่แสดงถึงประพจน์ใด ๆ จะได้รับการพิจารณาและโดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษรพิมพ์เล็ก p, q, r, s เป็นต้น

สูตรเชิงประพจน์คือการรวมกันของตัวแปรเชิงประพจน์โดยใช้การเชื่อมต่อเชิงตรรกะบางส่วน กล่าวอีกนัยหนึ่งมันเป็นองค์ประกอบของตัวแปรเชิงประพจน์ มักเขียนด้วยอักษรกรีก

ว่ากันว่าสูตรเชิงโจทย์มีความหมายเชิงเหตุผลอีกนัยหนึ่งเมื่อหลังเป็นจริงทุกครั้งที่อดีตเป็นจริง แสดงโดย:

เมื่อความหมายเชิงตรรกะระหว่างสูตรเชิงประพจน์สองสูตรเป็นซึ่งกันและกันนั่นคือเมื่อความหมายก่อนหน้านี้ใช้ได้ในความหมายตรงกันข้ามสูตรจะถูกกล่าวว่ามีความเท่าเทียมกันทางตรรกะและแสดงโดย

ความเท่าเทียมทางตรรกะเป็นรูปแบบของความเท่าเทียมกันระหว่างสูตรเชิงประพจน์และอนุญาตให้อีกสูตรหนึ่งถูกแทนที่ได้เมื่อจำเป็น

กฎหมายของมอร์แกน

กฎของมอร์แกนประกอบด้วยการเทียบเท่าเชิงตรรกะสองแบบระหว่างรูปแบบเชิงประพจน์สองรูปแบบ ได้แก่ :

กฎหมายเหล่านี้อนุญาตให้แยกการปฏิเสธของการแยกส่วนหรือการรวมกันเป็นการปฏิเสธของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง

ครั้งแรกสามารถอ่านได้ดังนี้: การปฏิเสธของการแยกเท่ากับการรวมกันของการปฏิเสธ และคำที่สองอ่านดังนี้: การปฏิเสธของการรวมคือการไม่ต่อเนื่องของการปฏิเสธ

กล่าวอีกนัยหนึ่งการปฏิเสธการไม่ต่อกันของตัวแปรเชิงประพจน์สองตัวแปรนั้นเทียบเท่ากับการรวมกันของการปฏิเสธของตัวแปรทั้งสอง ในทำนองเดียวกันการปฏิเสธการรวมกันของตัวแปรเชิงประพจน์สองตัวแปรนั้นเทียบเท่ากับการไม่แยกส่วนของการปฏิเสธของตัวแปรทั้งสอง

ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้การแทนที่ความเท่าเทียมเชิงตรรกะนี้ช่วยในการพิสูจน์ผลลัพธ์ที่สำคัญพร้อมกับกฎการอนุมานอื่น ๆ ที่มีอยู่ ด้วยวิธีนี้คุณสามารถลดความซับซ้อนของสูตรเชิงประพจน์ต่างๆเพื่อให้ใช้งานได้อย่างมีประโยชน์มากขึ้น

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์โดยใช้กฎการอนุมานรวมถึงกฎของมอร์แกน โดยเฉพาะแสดงให้เห็นว่าสูตร:

เทียบเท่ากับ:

ข้อหลังนี้ง่ายกว่าในการทำความเข้าใจและพัฒนา

สาธิต

เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญว่าความถูกต้องของกฎหมายของมอร์แกนสามารถแสดงให้เห็นได้ในเชิงคณิตศาสตร์ วิธีหนึ่งคือการเปรียบเทียบตารางความจริงของคุณ

ชุด

กฎเดียวกันของการอนุมานและแนวคิดของตรรกะที่ใช้กับประพจน์ยังสามารถพัฒนาโดยพิจารณาจากเซต นี่คือสิ่งที่เรียกว่าพีชคณิตบูลีนรองจากจอร์จบูลนักคณิตศาสตร์

ในการแยกความแตกต่างของกรณีต่างๆจำเป็นต้องเปลี่ยนสัญกรณ์และถ่ายโอนไปยังชุดแนวคิดตรรกะเชิงประพจน์ที่เห็นอยู่แล้วทั้งหมด

ชุดคือชุดของวัตถุ ชุดจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ A, B, C, X, … และองค์ประกอบของชุดจะแสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็ก a, b, c, x ฯลฯ เมื่อองค์ประกอบ a อยู่ในชุด X จะแสดงโดย:

เมื่อไม่ได้เป็นของ X สัญกรณ์คือ:

วิธีแสดงชุดคือการวางองค์ประกอบไว้ในวงเล็บปีกกา ตัวอย่างเช่นชุดของจำนวนธรรมชาติแสดงโดย:

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงชุดได้โดยไม่ต้องเขียนรายการองค์ประกอบที่ชัดเจน สามารถแสดงในรูปแบบ {:} ลำไส้ใหญ่ถูกอ่านว่า "เช่นนั้น" ทางด้านซ้ายของจุดทั้งสองจะมีการวางตัวแปรที่แสดงถึงองค์ประกอบของชุดและทางด้านขวาจะวางคุณสมบัติหรือเงื่อนไขที่พวกเขาตอบสนอง นี่คือ:

ตัวอย่างเช่นชุดของจำนวนเต็มมากกว่า -4 สามารถแสดงเป็น:

หรือเทียบเท่าและย่อมากขึ้นเป็น:

ในทำนองเดียวกันนิพจน์ต่อไปนี้แสดงถึงชุดของจำนวนคี่และเลขคู่ตามลำดับ:

ยูเนี่ยนจุดตัดและส่วนประกอบของเซต

ต่อไปเราจะเห็นแอนะล็อกของการเชื่อมต่อเชิงตรรกะในกรณีของเซตซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการดำเนินการพื้นฐานระหว่างเซต

ยูเนี่ยนและสี่แยก

มีการกำหนดยูเนี่ยนและจุดตัดของเซตตามลำดับดังนี้:

ตัวอย่างเช่นพิจารณาชุด:

ดังนั้นคุณต้อง:

ส่วนประกอบ

ส่วนประกอบของชุดประกอบด้วยองค์ประกอบที่ไม่ได้เป็นของชุดดังกล่าว (เป็นประเภทเดียวกับชุดเดิม) ส่วนประกอบของชุด A แสดงโดย:

ตัวอย่างเช่นภายในจำนวนธรรมชาติส่วนประกอบของเซตของจำนวนคู่คือจำนวนคี่และในทางกลับกัน

ในการพิจารณาส่วนประกอบของเซตชุดสากลหรือชุดหลักขององค์ประกอบที่อยู่ระหว่างการพิจารณาต้องชัดเจนตั้งแต่เริ่มต้น ตัวอย่างเช่นการพิจารณาส่วนเติมเต็มของเซตเหนือจำนวนธรรมชาติเป็นมากกว่าจำนวนตรรกยะนั้นไม่เหมือนกัน

ตารางต่อไปนี้แสดงความสัมพันธ์หรือการเปรียบเทียบที่มีอยู่ระหว่างการดำเนินการกับชุดที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้และความเชื่อมโยงของตรรกะเชิงประพจน์:

กฎของมอร์แกนสำหรับชุด

ในที่สุดกฎหมายของมอร์แกนเกี่ยวกับฉากคือ:

ในคำ: ส่วนเติมเต็มของสหภาพคือจุดตัดของส่วนเติมเต็มและส่วนเติมเต็มของจุดตัดคือการรวมกันของส่วนเติมเต็ม

การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ของความเท่าเทียมกันครั้งแรกจะเป็นดังต่อไปนี้:

การพิสูจน์ครั้งที่สองนั้นคล้ายคลึงกัน

อ้างอิง

1. Almaguer, G. (2002). คณิตศาสตร์ 1. บทบรรณาธิการ Limusa.
2. Aylwin, จุฬาฯ (2554). ตรรกะชุดและตัวเลข เมริดา - เวเนซุเอลา: Publications Council, Universidad de Los Andes
3. Barrantes, H. , Díaz, P. , Murillo, M. , & Soto, A. (1998) รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน EUNED
4. Castañeda, S. (2016). หลักสูตรพื้นฐานของทฤษฎีจำนวน มหาวิทยาลัยนอร์ทเทิร์น.
5. Cofré, A. , & Tapia, L. (1995). วิธีพัฒนาการใช้เหตุผลเชิงตรรกะทางคณิตศาสตร์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย.
6. เชวารา MH (nd) ทฤษฎีตัวเลข EUNED
7. ซาราโกซา, AC (sf) ทฤษฎีจำนวน บรรณาธิการวิสัยทัศน์ Libros