ขีด จำกัด ของแฟร์มาต์: สิ่งที่ประกอบด้วยและการออกกำลังกายได้รับการแก้ไข - เลข - 2026

ขีด จำกัด ของแฟร์มาต์เป็นวิธีการคำนวณที่ใช้ในการขอรับค่าของความลาดชันของเส้นซึ่งเป็นสัมผัสกับฟังก์ชั่นที่จุดหนึ่งประสิทธิภาพสูง นอกจากนี้ยังใช้เพื่อรับจุดวิกฤตของฟังก์ชัน นิพจน์ถูกกำหนดให้เป็น:

เห็นได้ชัดว่าแฟร์มาต์ไม่ทราบพื้นฐานของการหามา แต่เป็นการศึกษาของเขาที่กระตุ้นให้นักคณิตศาสตร์กลุ่มหนึ่งสอบถามเกี่ยวกับเส้นสัมผัสและการประยุกต์ใช้ในแคลคูลัส

ขีด จำกัด ของแฟร์มาต์คืออะไร?

ประกอบด้วยวิธีการ 2 จุดซึ่งในเงื่อนไขก่อนหน้านี้สร้างเส้นเซแคนท์ไปยังฟังก์ชันที่มีจุดตัดเป็นคู่ของค่า

เมื่อเข้าใกล้ตัวแปรถึงค่า "a" คู่ของจุดจะถูกบังคับให้พบกัน ด้วยวิธีนี้เส้นเซแคนท์ก่อนหน้านี้จะกลายเป็นแทนเจนต์ไปยังจุด (a; f (a))

ค่าของผลหาร (x - a) เมื่อประเมินที่จุด“ a” จะให้ผลไม่แน่นอนของขีด จำกัด ของประเภท K ระหว่างศูนย์ (K / 0) เมื่อใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่แตกต่างกันความไม่แน่นอนเหล่านี้สามารถทำลายได้

เทคนิคการปฏิบัติงานที่ใช้บ่อยที่สุด ได้แก่ :

- ความแตกต่างของกำลังสอง (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); การมีอยู่ขององค์ประกอบ (a - b) หมายถึงในกรณีส่วนใหญ่ปัจจัยที่ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น (x - a) ในผลหารของขีด จำกัด แฟร์มาต์

- เสร็จสิ้นกำลังสอง (ขวาน² + bx); หลังจากทำกำลังสองเสร็จแล้วจะได้ทวินามของนิวตันซึ่งหนึ่งใน 2 ปัจจัยของมันถูกทำให้ง่ายขึ้นด้วยนิพจน์ (x - a) ทำลายความไม่แน่นอน

- ผัน (a + b) / (a ​​+ b); การคูณและหารนิพจน์ด้วยคอนจูเกตของตัวประกอบบางตัวสามารถช่วยทำลายความไม่แน่นอนได้

- ปัจจัยร่วม; ในหลาย ๆ กรณีผลลัพธ์ของการใช้ตัวเศษของขีด จำกัด แฟร์มาต์ f (x) - f (a) จะซ่อนตัวประกอบ (x - a) ที่จำเป็นในการแยกตัวประกอบ สำหรับสิ่งนี้มีการสังเกตอย่างรอบคอบว่าองค์ประกอบใดที่ทำซ้ำในแต่ละปัจจัยของนิพจน์

การใช้ขีด จำกัด แฟร์มาต์สำหรับจำนวนสูงสุดและต่ำสุด

แม้ว่าขีด จำกัด แฟร์มาต์จะไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุดและต่ำสุดเนื่องจากสามารถระบุได้เฉพาะจุดวิกฤตตามคำจำกัดความจึงมักใช้ในการคำนวณส่วนบนหรือชั้นของฟังก์ชันในระนาบ

ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับทฤษฎีกราฟิกของฟังก์ชันร่วมกับทฤษฎีบทนี้อาจเพียงพอที่จะกำหนดค่าสูงสุดและต่ำสุดระหว่างฟังก์ชัน ในความเป็นจริงจุดผันแปรสามารถกำหนดได้โดยใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยนอกเหนือจากทฤษฎีบทของแฟร์มาต์

อุปมาลูกบาศก์

ความขัดแย้งที่สำคัญที่สุดสำหรับแฟร์มาต์มาจากการศึกษาพาราโบลาลูกบาศก์ เนื่องจากความสนใจของเขาพุ่งไปที่เส้นสัมผัสของฟังก์ชันสำหรับจุดหนึ่ง ๆ เขาจึงพบกับปัญหาในการกำหนดเส้นสัมผัสดังกล่าวที่จุดเบี่ยงเบนในฟังก์ชัน

ดูเหมือนจะเป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดเส้นสัมผัสให้ตรงจุด ดังนั้นจึงเริ่มการไต่สวนที่จะทำให้เกิดแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ กำหนดในภายหลังโดยเลขชี้กำลังที่สำคัญของคณิตศาสตร์

Maximus และ minimus

การศึกษาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันเป็นความท้าทายสำหรับคณิตศาสตร์คลาสสิกซึ่งจำเป็นต้องใช้วิธีการที่ชัดเจนและใช้งานได้จริงในการกำหนด

แฟร์มาต์สร้างวิธีการขึ้นอยู่กับการดำเนินการของค่าที่แตกต่างกันเล็กน้อยซึ่งหลังจากกระบวนการแยกตัวประกอบแล้วจะถูกกำจัดออกโดยให้วิธีการหาค่าสูงสุดและต่ำสุด

ตัวแปรนี้จะต้องได้รับการประเมินในนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อกำหนดพิกัดของจุดดังกล่าวซึ่งร่วมกับเกณฑ์การวิเคราะห์จะถูกกำหนดเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของนิพจน์

วิธี

ในวิธีการของเขาแฟร์มาต์ใช้สัญลักษณ์ตามตัวอักษรของ Vieta ซึ่งประกอบด้วยการใช้ตัวพิมพ์ใหญ่: สระสำหรับไม่ทราบและพยัญชนะสำหรับปริมาณที่ทราบ

สำหรับกรณีของค่ารากที่รุนแรงแฟร์มาต์ได้ใช้กระบวนการเฉพาะซึ่งต่อมาจะถูกนำมาใช้ในการแยกตัวประกอบของขีด จำกัด ของความไม่แน่นอนของความไม่สิ้นสุดระหว่างความไม่มีที่สิ้นสุด

กระบวนการนี้ประกอบด้วยการหารแต่ละนิพจน์ด้วยค่าของดิฟเฟอเรนเชียลที่ใช้ ในกรณีของแฟร์มาต์เขาใช้ตัวอักษร E ซึ่งหลังจากหารด้วยพลังสูงสุดของ E แล้วค่าที่ต้องการของจุดวิกฤตจะชัดเจนขึ้น

ประวัติศาสตร์

ขีด จำกัด ของแฟร์มาต์เป็นหนึ่งในผลงานที่มีชื่อเสียงน้อยที่สุดในรายการยาวของนักคณิตศาสตร์ การศึกษาของเขาเปลี่ยนจากจำนวนเฉพาะไปเป็นการสร้างพื้นฐานสำหรับการคำนวณ

ในทางกลับกันแฟร์มาต์เป็นที่รู้จักในเรื่องความผิดปกติของเขาเมื่อเทียบกับสมมติฐานของเขา เป็นเรื่องปกติที่เขาจะทิ้งความท้าทายให้กับนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ในเวลานั้นเมื่อเขามีวิธีแก้ปัญหาหรือข้อพิสูจน์แล้ว

เขามีข้อพิพาทและเป็นพันธมิตรกับนักคณิตศาสตร์หลายคนในยุคนั้นซึ่งทั้งรักหรือเกลียดการทำงานร่วมกับเขา

ทฤษฎีบทสุดท้ายของเขาเป็นส่วนสำคัญที่ทำให้ชื่อเสียงของเขาโด่งดังไปทั่วโลกโดยที่เขาระบุว่าการสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับระดับ "n" นั้นเป็นไปไม่ได้ เขาอ้างว่ามีหลักฐานที่ถูกต้อง แต่เสียชีวิตก่อนที่จะเปิดเผยต่อสาธารณะ

การสาธิตนี้ต้องรอประมาณ 350 ปี ในปี 1995 นักคณิตศาสตร์แอนดรูว์ไวล์สและริชาร์ดเทย์เลอร์ยุติความวิตกกังวลจากแฟร์มาต์แสดงให้เห็นว่าเขาถูกต้องผ่านการพิสูจน์ที่ถูกต้องของทฤษฎีบทสุดท้ายของเขา

การออกกำลังกาย

แบบฝึกหัด 1

กำหนดความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง f (x) = x ²ที่จุด (4, 16)

การแทนที่ในนิพจน์ของขีด จำกัด แฟร์มาต์เรามี:

ปัจจัย (x - 4) ถูกทำให้ง่ายขึ้น

เมื่อประเมินว่าคุณมี

ม = 4 + 4 = 8

แบบฝึกหัด 2

กำหนดจุดวิกฤตของนิพจน์ f (x) = x ² + 4x โดยใช้ขีด จำกัด แฟร์มาต์

มีการจัดกลุ่มองค์ประกอบเชิงกลยุทธ์โดยพยายามจัดกลุ่มคู่ XX ₀

มีการพัฒนากำลังสองน้อยที่สุด

สังเกตปัจจัยทั่วไป XX _{0 และแยกออก}

ขณะนี้นิพจน์สามารถทำให้ง่ายขึ้นและความไม่แน่นอนเสียไป

ที่จุดต่ำสุดเป็นที่ทราบกันดีว่าความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับศูนย์ ด้วยวิธีนี้เราสามารถทำให้นิพจน์ที่พบเป็นศูนย์เท่ากันและแก้ค่า X _{0 ได้}

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

เพื่อให้ได้พิกัดที่ขาดหายไปจำเป็นต้องประเมินจุดในฟังก์ชันเดิมเท่านั้น

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

จุดวิกฤตคือP (-2, -4)

อ้างอิง

1. การวิเคราะห์จริง แนวทางประวัติศาสตร์ Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5 ส.ค. 1999
2. อาชีพทางคณิตศาสตร์ของ Pierre de Fermat, 1601-1665: Second Edition Michael Sean Mahoney สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน 5 มิ.ย. 2018
3. จาก Fermat ถึง Minkowski: การบรรยายเกี่ยวกับทฤษฎีตัวเลขและพัฒนาการทางประวัติศาสตร์ W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์: ทฤษฎีเบื้องต้นเกี่ยวกับพีชคณิตทางพันธุกรรม แฮโรลด์เอ็มเอ็ดเวิร์ด Springer Science & Business Media, 14 ม.ค. 2000
5. วันแฟร์มาต์ 85: คณิตศาสตร์เพื่อการเพิ่มประสิทธิภาพ J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier 1 ม.ค. 1986