ตรรกะทางคณิตศาสตร์: กำเนิดสิ่งที่ศึกษาประเภท - เลข

ตรรกะทางคณิตศาสตร์หรือตรรกะสัญลักษณ์เป็นภาษาทางคณิตศาสตร์ที่ครอบคลุมเครื่องมือที่ผ่านที่หนึ่งสามารถยืนยันหรือปฏิเสธเหตุผลทางคณิตศาสตร์

เป็นที่ทราบกันดีว่าไม่มีความคลุมเครือในคณิตศาสตร์ เนื่องจากอาร์กิวเมนต์ทางคณิตศาสตร์มันถูกต้องหรือไม่ ไม่สามารถเป็นเท็จและเป็นจริงในเวลาเดียวกันได้

ลักษณะเฉพาะของคณิตศาสตร์คือมีภาษาที่เป็นทางการและเข้มงวดซึ่งสามารถกำหนดความถูกต้องของข้อโต้แย้งได้ อะไรที่ทำให้การให้เหตุผลบางอย่างหรือการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์หักล้างไม่ได้? นั่นคือสิ่งที่ตรรกะทางคณิตศาสตร์เป็นข้อมูลเกี่ยวกับ

ดังนั้นตรรกะจึงเป็นระเบียบวินัยของคณิตศาสตร์ที่รับผิดชอบในการศึกษาการให้เหตุผลและการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์และจัดหาเครื่องมือเพื่อให้สามารถสรุปข้อสรุปที่ถูกต้องจากข้อความหรือประพจน์ก่อนหน้านี้

ในการทำเช่นนี้ให้ใช้สัจพจน์และแง่มุมทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ที่จะพัฒนาในภายหลัง

ที่มาและประวัติศาสตร์

วันที่ที่แน่นอนเกี่ยวกับหลายแง่มุมของตรรกะทางคณิตศาสตร์นั้นไม่แน่นอน อย่างไรก็ตามบรรณานุกรมส่วนใหญ่เกี่ยวกับเรื่องนี้มีต้นกำเนิดมาจากกรีกโบราณ

อริสโตเติล

จุดเริ่มต้นของการรักษาตรรกะอย่างเข้มงวดส่วนหนึ่งมาจากอริสโตเติลผู้เขียนชุดของตรรกะซึ่งต่อมาได้รวบรวมและพัฒนาโดยนักปรัชญาและนักวิทยาศาสตร์หลายคนจนถึงยุคกลาง นี่อาจถือได้ว่าเป็น "ตรรกะเก่า"

ต่อมาในสิ่งที่เรียกว่ายุคร่วมสมัยไลบนิซได้รับแรงบันดาลใจจากความปรารถนาอย่างยิ่งที่จะสร้างภาษาสากลเพื่อให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์และนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ เช่น Gottlob Frege และ Giuseppe Peano มีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาตรรกะทางคณิตศาสตร์โดยมีส่วนร่วมอย่างมาก ในหมู่พวกเขา Peano Axioms ซึ่งกำหนดคุณสมบัติที่ขาดไม่ได้ของจำนวนธรรมชาติ

นักคณิตศาสตร์ George Boole และ Georg Cantor ก็มีอิทธิพลอย่างมากเช่นกันโดยมีส่วนสำคัญในทฤษฎีเซตและตารางความจริงโดยเน้นด้านอื่น ๆ พีชคณิตบูลีน (โดย George Boole) และ Axiom of Choice (โดย George Cantor)

นอกจากนี้ยังมีออกัสตัสเดอมอร์แกนที่มีกฎหมายมอร์แกนที่รู้จักกันดีซึ่งพิจารณาถึงการปฏิเสธคำสันธานความไม่ลงรอยกันและเงื่อนไขระหว่างข้อเสนอกุญแจสู่การพัฒนา Symbolic Logic และ Jhon Venn ที่มีแผนภาพเวนน์ที่มีชื่อเสียง

ในศตวรรษที่ 20 ประมาณระหว่างปีพ. ศ. 2453 ถึง พ.ศ. 2456 เบอร์ทรานด์รัสเซลและอัลเฟรดนอร์ทไวท์เฮดโดดเด่นด้วยการตีพิมพ์ Principia mathematica ซึ่งเป็นชุดหนังสือที่รวบรวมพัฒนาและสรุปชุดของสัจพจน์และผลลัพธ์ของตรรกะ

ตรรกะทางคณิตศาสตร์ศึกษาอะไร?

ข้อเสนอ

ตรรกะทางคณิตศาสตร์เริ่มต้นด้วยการศึกษาเรื่องประพจน์ ประพจน์เป็นคำพูดที่สามารถพูดได้โดยไม่มีความคลุมเครือว่าเป็นจริงหรือไม่ ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของประพจน์:

2 + 4 = 6.
5 ² = 35.
ในปีพ. ศ. 2473 เกิดแผ่นดินไหวในยุโรป

ข้อแรกคือข้อความที่เป็นจริงและข้อที่สองเป็นข้อความเท็จ อย่างที่สามแม้ว่าคนที่อ่านอาจไม่รู้ว่ามันเป็นเรื่องจริงหรือทันที แต่เป็นคำพูดที่สามารถทดสอบและตัดสินได้ว่ามันเกิดขึ้นจริงหรือไม่

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของนิพจน์ที่ไม่ใช่ประพจน์:

เธอเป็นผมบลอนด์
2x = 6.
มาเล่นกัน!
คุณชอบดูหนังไหม

ในโจทย์แรกไม่ได้ระบุว่า "เธอ" คือใครจึงไม่มีอะไรสามารถยืนยันได้ ในโจทย์ที่สองยังไม่ได้ระบุสิ่งที่ "x" แสดงไว้ ถ้ามีการบอกว่า 2x = 6 สำหรับจำนวนธรรมชาติ x ในกรณีนี้มันจะสอดคล้องกับประพจน์ในความเป็นจริงเนื่องจากสำหรับ x = 3 จะเป็นจริง

ข้อความสองประโยคสุดท้ายไม่ตรงกับโจทย์เนื่องจากไม่มีทางปฏิเสธหรือยืนยันได้

สามารถรวมสองประพจน์ขึ้นไป (หรือเชื่อมต่อกัน) โดยใช้การเชื่อมต่อเชิงตรรกะ (หรือตัวเชื่อมต่อ) เหล่านี้คือ:

การปฏิเสธ: "ฝนไม่ตก"
คำตัดพ้อ: "Luisa ซื้อกระเป๋าสีขาวหรือสีเทา"
คำสันธาน: "4 ² = 16 และ 2 × 5 = 10"
เงื่อนไข: "ถ้าฝนตกบ่ายนี้ฉันจะไม่ไปออกกำลังกาย"
Biconditional: "ฉันไปยิมบ่ายนี้ถ้าฝนไม่ตก"

ประพจน์ที่ไม่มีการเชื่อมต่อก่อนหน้านี้เรียกว่าประพจน์ (หรืออะตอม) แบบธรรมดา ตัวอย่างเช่น "2 น้อยกว่า 4" เป็นโจทย์ง่ายๆ ประพจน์ที่มีความเกี่ยวพันกันเรียกว่าประพจน์ผสมเช่น "1 + 3 = 4 และ 4 เป็นเลขคู่"

ข้อความที่สร้างโดยประพจน์มักจะยาวดังนั้นจึงเป็นเรื่องน่าเบื่อที่จะต้องเขียนอย่างที่เห็นจนถึงตอนนี้ ด้วยเหตุนี้จึงมีการใช้ภาษาสัญลักษณ์ ข้อเสนอมักจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่เช่น P, Q, R, S เป็นต้น และสัญลักษณ์เชื่อมต่อดังต่อไปนี้:

ดังนั้น

การสนทนาของโจทย์เงื่อนไข

คือโจทย์

และการตอบโต้ซึ่งกันและกัน (หรือตรงกันข้าม ) ของประพจน์

คือโจทย์

ตารางความจริง

แนวคิดที่สำคัญอีกประการหนึ่งในตรรกะคือตารางความจริง ค่าความจริงของประพจน์คือความเป็นไปได้สองประการสำหรับประพจน์: จริง (ซึ่งจะแสดงด้วย V และจะบอกว่าค่าความจริงคือ V) หรือเท็จ (ซึ่งจะแสดงด้วย F และจะบอกว่าค่าของมัน จริงๆคือ F)

ค่าความจริงของประพจน์เชิงผสมขึ้นอยู่กับค่าความจริงของประพจน์ทั่วไปที่ปรากฏในนั้นเท่านั้น

ในการทำงานโดยทั่วไปเราจะไม่พิจารณาข้อเสนอที่เฉพาะเจาะจง แต่เป็นตัวแปรเชิงประพจน์ p, q, r, s เป็นต้นซึ่งจะแสดงถึงประพจน์ใด ๆ

ด้วยตัวแปรเหล่านี้และการเชื่อมต่อเชิงตรรกะสูตรประพจน์ที่รู้จักกันดีจะถูกสร้างขึ้นเช่นเดียวกับการสร้างประพจน์เชิงผสม

ถ้าตัวแปรแต่ละตัวที่ปรากฏในสูตรประพจน์ถูกแทนที่ด้วยประพจน์จะได้ประพจน์ผสม

ด้านล่างนี้เป็นตารางความจริงสำหรับการเชื่อมต่อเชิงตรรกะ:

มีสูตรเชิงประพจน์ที่รับเฉพาะค่า V ในตารางความจริงนั่นคือคอลัมน์สุดท้ายของตารางความจริงจะมีค่า V เท่านั้นสูตรเหล่านี้เรียกว่า tautologies ตัวอย่างเช่น:

ต่อไปนี้เป็นตารางความจริงของสูตร

มีการกล่าวถึงสูตรαในเชิงเหตุผลว่ามีสูตรอื่นβถ้าαเป็นจริงทุกครั้งที่βเป็นจริง นั่นคือในตารางความจริงของαและβแถวที่αมี V, βยังมี V เราสนใจเฉพาะแถวที่αมีค่า V เท่านั้นสัญกรณ์สำหรับผลเชิงตรรกะมีดังนี้ :

ตารางต่อไปนี้สรุปคุณสมบัติของผลกระทบเชิงตรรกะ:

สูตรเชิงประพจน์สองสูตรมีความเท่าเทียมกันทางตรรกะหากตารางความจริงเหมือนกัน สัญกรณ์ต่อไปนี้ใช้เพื่อแสดงความเท่าเทียมกันเชิงตรรกะ:

ตารางต่อไปนี้สรุปคุณสมบัติของการเทียบเท่าตรรกะ:

ประเภทของตรรกะทางคณิตศาสตร์

มีตรรกะหลายประเภทโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเราคำนึงถึงตรรกะเชิงปฏิบัติหรือไม่เป็นทางการที่ชี้ไปที่ปรัชญาท่ามกลางพื้นที่อื่น ๆ

เท่าที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ประเภทของตรรกะสามารถสรุปได้ดังนี้:

ตรรกะที่เป็นทางการหรืออริสโตเติล (ตรรกะโบราณ)
ตรรกะของข้อเสนอ: มีหน้าที่ในการศึกษาทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับความถูกต้องของข้อโต้แย้งและข้อเสนอโดยใช้ภาษาที่เป็นทางการและเป็นสัญลักษณ์
ลอจิกเชิงสัญลักษณ์: มุ่งเน้นไปที่การศึกษาเซตและคุณสมบัติของพวกมันรวมถึงภาษาที่เป็นทางการและสัญลักษณ์และเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งกับตรรกะเชิงประพจน์
Combinatorial logic: หนึ่งในสิ่งที่พัฒนาล่าสุดเกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ที่สามารถพัฒนาได้โดยใช้อัลกอริทึม
การเขียนโปรแกรมเชิงตรรกะ: ใช้ในแพ็คเกจและภาษาโปรแกรมต่างๆ

พื้นที่

ในบรรดาพื้นที่ที่ใช้ประโยชน์จากตรรกะทางคณิตศาสตร์ในลักษณะที่ขาดไม่ได้ในการพัฒนาเหตุผลและข้อโต้แย้งปรัชญาที่โดดเด่นทฤษฎีเซตทฤษฎีจำนวนคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์พีชคณิตและภาษาโปรแกรม

อ้างอิง

Aylwin, จุฬาฯ (2554). ตรรกะชุดและตัวเลข เมริดา - เวเนซุเอลา: Publications Council, Universidad de Los Andes
Barrantes, H. , Díaz, P. , Murillo, M. , & Soto, A. (1998) รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน EUNED
Castañeda, S. (2016). หลักสูตรพื้นฐานของทฤษฎีจำนวน มหาวิทยาลัยนอร์ทเทิร์น.
Cofré, A. , & Tapia, L. (1995). วิธีพัฒนาการใช้เหตุผลเชิงตรรกะทางคณิตศาสตร์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย.
ซาราโกซา, AC (sf) ทฤษฎีจำนวน บรรณาธิการวิสัยทัศน์ Libros

ตรรกะทางคณิตศาสตร์: กำเนิดสิ่งที่ศึกษาประเภท - เลข - 2026