hypercubeเป็นก้อนของมิติ n กรณีเฉพาะของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติเรียกว่า tesseract ไฮเปอร์คิวบ์หรือ n-cube ประกอบด้วยส่วนตรงซึ่งมีความยาวเท่ากันทั้งหมดซึ่งตั้งฉากกันที่จุดยอด
มนุษย์รับรู้พื้นที่สามมิติ ได้แก่ ความกว้างความสูงและความลึก แต่เป็นไปไม่ได้ที่เราจะมองเห็นภาพไฮเปอร์คิวบ์ที่มีขนาดมากกว่า 3
รูปที่ 1. 0 คิวบ์คือจุดถ้าจุดนั้นขยายไปในทิศทางที่ไกลออกไปรูปแบบ 1 คิวบ์ถ้า 1 คิวบ์นั้นขยายระยะทาง a ในทิศทางมุมฉากเรามี 2 คิวบ์ (จาก ด้าน x ถึง a) ถ้า 2 คิวบ์ขยายระยะทาง a ในทิศทางมุมฉากเรามี 3 คิวบ์ ที่มา: F. Zapata
อย่างมากที่สุดเราสามารถสร้างเส้นโครงของมันในพื้นที่สามมิติเพื่อแสดงได้ในลักษณะเดียวกับที่เราฉายคิวบ์ลงบนระนาบเพื่อเป็นตัวแทน
ในมิติ 0 รูปเดียวคือจุดดังนั้น 0 คิวบ์จึงเป็นจุด 1 คิวบ์คือส่วนตรงซึ่งเกิดจากการเคลื่อนจุดไปในทิศทางเดียวเป็นระยะทางก.
ในส่วนของมัน 2 คิวบ์คือสี่เหลี่ยมจัตุรัส สร้างขึ้นโดยการขยับ 1 คิวบ์ (ส่วนของความยาว a) ไปในทิศทาง y ซึ่งตั้งฉากกับทิศทาง x ระยะทาง a
3 คิวบ์คือคิวบ์ทั่วไป สร้างขึ้นจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยเลื่อนไปในทิศทางที่สาม (z) ซึ่งตั้งฉากกับทิศทาง x และ y ระยะทาง a
รูปที่ 2. 4 คิวบ์ (tesseract) คือส่วนขยายของ 3 คิวบ์ในทิศทางมุมฉากไปยังทิศทางเชิงพื้นที่ทั้งสามแบบ ที่มา: F. Zapata
4 คิวบ์คือ tesseract ซึ่งสร้างขึ้นจาก 3 คิวบ์ที่เคลื่อนที่ในแนวตั้งฉากระยะทาง a ไปยังมิติที่สี่ (หรือทิศทางที่สี่) ซึ่งเราไม่สามารถรับรู้ได้
tesseract มีมุมฉากทั้งหมดมี 16 จุดยอดและขอบทั้งหมด (18 อัน) มีความยาวเท่ากัน a.
ถ้าความยาวของขอบของ n-cube หรือไฮเปอร์คิวบ์ของมิติ n เท่ากับ 1 แสดงว่าเป็นหน่วยไฮเปอร์คิวบ์ซึ่งเส้นทแยงมุมที่ยาวที่สุดจะวัด√n
รูปที่ 3 n-cube ได้มาจาก (n-1) -cube ที่ขยายในแนวตั้งฉากในมิติถัดไป ที่มา: wikimedia commons.
มีมิติอะไรบ้าง?
มิติคือองศาอิสระหรือทิศทางที่เป็นไปได้ที่วัตถุสามารถเคลื่อนที่ได้
ในมิติ 0 ไม่มีความเป็นไปได้ที่จะแปลและวัตถุทางเรขาคณิตที่เป็นไปได้เพียงจุดเดียวคือจุด
มิติในปริภูมิยุคลิดแสดงด้วยเส้นหรือแกนเชิงที่กำหนดมิตินั้นเรียกว่าแกน X การแยกระหว่างสองจุด A และ B คือระยะห่างแบบยุคลิด:
d = √.
ในสองมิติช่องว่างจะแสดงด้วยเส้นสองเส้นที่เน้นมุมฉากซึ่งกันและกันเรียกว่าแกน X และแกน Y
ตำแหน่งของจุดใด ๆ ในปริภูมิสองมิตินี้กำหนดโดยคู่ของพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y) และระยะห่างระหว่างสองจุด A และ B จะเป็น:
d = √
เนื่องจากเป็นช่องว่างที่มีการเติมเต็มรูปทรงเรขาคณิตของยุคลิด
พื้นที่สามมิติ
พื้นที่สามมิติคือช่องว่างที่เราเคลื่อนที่ มีสามทิศทาง: กว้างความสูงและความลึก
ในห้องว่างมุมตั้งฉากจะให้ทิศทางทั้งสามนี้และแต่ละอันเราสามารถเชื่อมโยงแกนได้: X, Y, Z
ช่องว่างนี้เป็นแบบยุคลิดเช่นกันและระยะห่างระหว่างสองจุด A และ B คำนวณได้ดังนี้:
d = √
มนุษย์ไม่สามารถรับรู้มิติเชิงพื้นที่ (หรือยุคลิด) ได้มากกว่าสามมิติ
อย่างไรก็ตามจากมุมมองทางคณิตศาสตร์อย่างเคร่งครัดเป็นไปได้ที่จะกำหนดปริภูมิแบบยุคลิด n มิติ
ในช่องว่างนี้จุดมีพิกัด: (x1, x2, x3, … .. , xn) และระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือ:
d = √.
มิติที่สี่และเวลา
แท้จริงแล้วในทฤษฎีสัมพัทธภาพเวลาถือเป็นอีกมิติหนึ่งและมีความสัมพันธ์กับพิกัด
แต่ต้องชี้แจงให้ชัดเจนว่าพิกัดนี้ที่เกี่ยวข้องกับเวลาเป็นจำนวนจินตภาพ ดังนั้นการแยกจุดหรือเหตุการณ์สองจุดในเวลาอวกาศจึงไม่ใช่แบบยุคลิด แต่เป็นไปตามเมตริกลอเรนซ์
ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ (tesseract) ไม่ได้อาศัยอยู่ในปริภูมิ - เวลาเป็นของไฮเปอร์สเปซแบบยุคลิดสี่มิติ
รูปที่ 4. การฉายภาพ 3 มิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติในการหมุนอย่างง่ายรอบระนาบที่แบ่งรูปจากด้านหน้าไปซ้ายกลับไปขวาและบนลงล่าง ที่มา: Wikimedia Commons
พิกัดของไฮเปอร์คิวบ์
พิกัดของจุดยอดของ n-cube ที่อยู่ตรงกลางจุดกำเนิดนั้นหาได้จากการเรียงลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดของนิพจน์ต่อไปนี้:
(ก / 2) (± 1, ± 1, ± 1, …., ± 1)
ความยาวของขอบอยู่ที่ไหน
-The ปริมาณของ n-ก้อนขอบเป็น (ก / 2) n (2 n ) = a n
- เส้นทแยงมุมที่ยาวที่สุดคือระยะห่างระหว่างจุดยอดตรงข้าม
- ต่อไปนี้คือจุดยอดตรงข้ามในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส : (-1, -1) และ (+1, +1)
- และในลูกบาศก์ : (-1, -1, -1) และ (+1, +1, +1)
- เส้นทแยงมุมที่ยาวที่สุดของมาตรการ n-cube:
d = √ = √ = 2√n
ในกรณีนี้ถือว่าด้านข้างเป็น a = 2 สำหรับ n-cube ของด้านใด ๆ จะเป็น:
d = a√n.
-A tesseract มีจุดยอด 16 จุดเชื่อมต่อกับขอบทั้งสี่ด้าน รูปต่อไปนี้แสดงวิธีการเชื่อมต่อจุดยอดใน tesseract
รูปที่ 5. จุดยอด 16 จุดของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติและวิธีการเชื่อมต่อจะแสดงขึ้น ที่มา: Wikimedia Commons
การขยายไฮเปอร์คิวบ์
รูปทรงเรขาคณิตปกติเช่นรูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถคลี่ออกเป็นตัวเลขที่มีขนาดเล็กกว่าได้หลายรูปแบบ
ในกรณีของ 2 คิวบ์ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) สามารถแบ่งออกเป็นสี่ส่วนนั่นคือสี่ 1 คิวบ์
ในทำนองเดียวกัน 3 คิวบ์สามารถคลี่ออกเป็น 6 ก้อน 2 ก้อน
รูปที่ 6 n-cube สามารถคลี่ออกเป็นหลาย ๆ (n-1) -cubes ที่มา: Wikimedia Commons
4 คิวบ์ (tesseract) สามารถคลี่ออกเป็น 8 ก้อน 3 ก้อน
ภาพเคลื่อนไหวต่อไปนี้แสดงการขยาย tesseract
รูปที่ 7. ไฮเปอร์คิวบ์ 4 มิติสามารถคลี่ออกเป็นลูกบาศก์สามมิติแปดก้อน ที่มา: Wikimedia Commons
รูปที่ 8. การฉายภาพสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติซึ่งทำการหมุนสองรอบรอบระนาบมุมฉากสองระนาบ ที่มา: Wikimedia Commons
อ้างอิง
- วัฒนธรรมทางวิทยาศาสตร์. Hypercube แสดงภาพมิติที่สี่ ดึงมาจาก: culturacientifica.com
- Epsilons ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติหรือ tesseract ดึงมาจาก: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. วิธีการรับ tesseract จากการพัฒนาไฮเปอร์คิวบ์ (4D) ดึงมาจาก: researchgate.net
- วิกิพีเดีย คณิตศาสตร์รูปทรงหลายเหลี่ยมไฮเปอร์คิวบ์ สืบค้นจาก: es.wikibooks.org
- วิกิพีเดีย hypercube สืบค้นจาก: en.wikipedia.com
- วิกิพีเดีย Tesseract สืบค้นจาก: en.wikipedia.com