HEPTADECAGON: คุณสมบัติเส้นทแยงมุมปริมณฑลพื้นที่ - เลข

รูปสิบเจ็ดเหลี่ยมเป็นรูปเหลี่ยมปกติกับ 17 ด้านและ 17 จุด การก่อสร้างสามารถทำได้ในสไตล์ยุคลิดนั่นคือใช้เพียงไม้บรรทัดและเข็มทิศ คาร์ลฟรีดริชเกาส์อัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ (ค.ศ. 1777-1855) อายุเพียง 18 ปีซึ่งพบขั้นตอนในการก่อสร้างในปี พ.ศ. 2339

เห็นได้ชัดว่าเกาส์มีความโน้มเอียงไปที่รูปทรงเรขาคณิตนี้มากจนถึงขนาดที่เขาค้นพบโครงสร้างของมันตั้งแต่วันที่เขาค้นพบเขาตัดสินใจที่จะเป็นนักคณิตศาสตร์ ว่ากันว่าเขาต้องการให้สลักเฮปตาดีกอนบนหลุมฝังศพของเขา

รูปที่ 1. heptadecagon คือรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มี 17 ด้านและ 17 จุดยอด ที่มา: F. Zapata

Gauss ยังพบสูตรเพื่อตรวจสอบว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติใดมีความเป็นไปได้ในการสร้างด้วยไม้บรรทัดและเข็มทิศเนื่องจากบางรูปไม่มีโครงสร้างแบบยุคลิดที่แน่นอน

ลักษณะของ heptadecagon

สำหรับลักษณะของมันเช่นเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ ผลรวมของมุมภายในมีความสำคัญ ในรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มี n ด้านผลรวมจะได้รับจาก:

ผลรวมนี้แสดงเป็นเรเดียนมีลักษณะดังนี้:

จากสูตรข้างต้นสามารถอนุมานได้อย่างง่ายดายว่าแต่ละมุมภายในของเฮปตาดีกอนมีการวัดที่แน่นอนαกำหนดโดย:

ตามมาว่ามุมภายในโดยประมาณคือ:

เส้นทแยงมุมและเส้นรอบวง

เส้นทแยงมุมและเส้นรอบวงเป็นลักษณะสำคัญอื่น ๆ ในรูปหลายเหลี่ยมจำนวนเส้นทแยงมุมคือ:

D = n (n - 3) / 2 และในกรณีของ heptadecagon เมื่อ n = 17 เรามีเส้นทแยงมุม D = 119

ในทางกลับกันถ้าทราบความยาวของแต่ละด้านของ heptadecagon แล้วจะพบเส้นรอบวงของ heptadecagon โดยการเพิ่มความยาว 17 เท่าหรือเทียบเท่ากับ 17 เท่าของความยาว d ของแต่ละด้าน:

P = 17 ง

เส้นรอบวงของ heptadecagon

บางครั้งทราบเฉพาะรัศมี r ของเฮปตาดากอนดังนั้นจึงจำเป็นต้องพัฒนาสูตรสำหรับกรณีนี้

ด้วยเหตุนี้จึงมีการนำแนวคิดของ apothem มาใช้ apothem คือส่วนที่เปลี่ยนจากจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติไปยังจุดกึ่งกลางของด้านหนึ่ง apothem เทียบกับด้านหนึ่งตั้งฉากกับด้านนั้น (ดูรูปที่ 2)

รูปที่ 2 ส่วนของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีรัศมี r และอะโปเธมจะแสดง (ความประณีตของตัวเอง)

นอกจากนี้อะโปเธมยังเป็นรูปครึ่งวงกลมของมุมที่มีจุดยอดกลางและด้านข้างบนจุดยอดสองจุดที่ต่อเนื่องกันของรูปหลายเหลี่ยมซึ่งทำให้เราพบความสัมพันธ์ระหว่างรัศมี r และด้าน d

ถ้า DOE มุมกลางเรียกว่าβและคำนึงว่า apothem OJ เป็นเส้นแบ่งครึ่งเรามี EJ = d / 2 = r Sen (β / 2) ซึ่งเรามีความสัมพันธ์เพื่อหาความยาว d ของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม รู้จักรัศมี r และมุมกลางβ:

d = 2 r เสน (β / 2)

ในกรณีของ heptadecagon β = 360º / 17 เรามี:

d = 2 r เสน (180º / 17) ≈ 0.3675 r

ในที่สุดก็จะได้สูตรสำหรับเส้นรอบวงของ heptadecagon ซึ่งรู้จักรัศมีของมัน:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6.2475 r

เส้นรอบวงของ heptadecagon อยู่ใกล้กับเส้นรอบวงของเส้นรอบวงที่ล้อมรอบ แต่ค่าของมันน้อยกว่านั่นคือเส้นรอบวงของวงกลมที่ล้อมรอบคือ Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r

พื้นที่

ในการกำหนดพื้นที่ของ heptadecagon เราจะอ้างถึงรูปที่ 2 ซึ่งแสดงด้านข้างและ apothem ของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มี n ด้าน ในรูปนี้สามเหลี่ยม EOD มีพื้นที่เท่ากับฐาน d (ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม) คูณความสูง a (apothem ของรูปหลายเหลี่ยม) หารด้วย 2:

พื้นที่ EOD = (dxa) / 2

ดังนั้นเมื่อรู้ apothem ของ heptadecagon และด้าน d ของมันพื้นที่ของมันคือ:

พื้นที่ Heptadecagon = (17/2) (dxa)

พื้นที่ให้ด้านข้าง

เพื่อให้ได้สูตรสำหรับพื้นที่ของ heptadecagon โดยทราบความยาวของด้านที่สิบเจ็ดจำเป็นต้องได้รับความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของ apothem a และด้าน d

เมื่ออ้างอิงถึงรูปที่ 2 จะได้รับความสัมพันธ์ตรีโกณมิติต่อไปนี้:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a โดยที่βคือ DOE มุมกลาง ดังนั้น apothem a สามารถคำนวณได้หากทราบความยาว d ของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมและมุมกลางβ:

a = (d / 2) โคตัน (β / 2)

หากนิพจน์นี้ถูกแทนที่ด้วย apothem ในสูตรสำหรับพื้นที่ของ heptadecagon ที่ได้รับในส่วนก่อนหน้านี้เรามี:

พื้นที่ Heptadecagon = (17/4) (d ² ) Cotan (β / 2)

เป็นβ = 360º / 17 สำหรับ heptadecagon ในที่สุดเราก็มีสูตรที่ต้องการ:

พื้นที่ Heptadecagon = (17/4) (d ² ) Cotan (180º / 17)

พื้นที่ที่กำหนดรัศมี

ในส่วนก่อนหน้านี้พบความสัมพันธ์ระหว่างด้าน d ของรูปหลายเหลี่ยมปกติกับรัศมี r ความสัมพันธ์นี้มีดังต่อไปนี้:

d = 2 r เสน (β / 2)

นิพจน์นี้สำหรับ d ถูกแทรกในนิพจน์ที่ได้รับในส่วนก่อนหน้าสำหรับพื้นที่ หากมีการแทนที่และการทำให้เข้าใจง่ายขึ้นจะได้รับสูตรที่ช่วยในการคำนวณพื้นที่ของเฮปตาดีกอน:

พื้นที่ Heptadecagon = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

นิพจน์โดยประมาณสำหรับพื้นที่คือ:

พื้นที่ Heptadecagon = 3.0706 (r ² )

ตามที่คาดไว้พื้นที่นี้มีขนาดเล็กกว่าพื้นที่ของวงกลมที่ล้อมรอบเฮปตาดากอน A _circ = π r ² ≈ 3.1416 r ²เล็กน้อย เพื่อความแม่นยำมันน้อยกว่าวงกลมที่ถูกล้อมรอบ 2%

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

ในการตอบคำถามจำเป็นต้องจำความสัมพันธ์ระหว่างด้านข้างและรัศมีของรูปหลายเหลี่ยมด้าน n ปกติ:

d = 2 r เสน (180º / n)

สำหรับ heptadecagon n = 17 ดังนั้น d = 0.3675 r นั่นคือรัศมีของ heptadecagon คือ r = 2 cm / 0.3675 = 5.4423 cm หรือ

เส้นผ่านศูนย์กลาง 10.8844 ซม.

เส้นรอบวงด้านข้าง 2 ซม. คือ P = 17 * 2 ซม. = 34 ซม.

ตัวอย่าง 2

เราต้องอ้างถึงสูตรที่แสดงในส่วนก่อนหน้าซึ่งช่วยให้เราสามารถค้นหาพื้นที่ของเฮปตะดากอนเมื่อมีความยาว d ของด้านข้าง:

พื้นที่ Heptadecagon = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

โดยการแทนที่ d = 2 cm ในสูตรก่อนหน้านี้เราจะได้:

พื้นที่ = 90.94 ซม

อ้างอิง

CEA (2003) องค์ประกอบเรขาคณิต: พร้อมแบบฝึกหัดและเรขาคณิตของเข็มทิศ มหาวิทยาลัย Medellin
Campos, F. , Cerecedo, FJ (2014). คณิตศาสตร์ 2. Grupo Editorial Patria.
อิสระ, K. (2550). ค้นพบรูปหลายเหลี่ยม Benchmark Education Company.
เฮนดริก, V. (2013). รูปหลายเหลี่ยมทั่วไป Birkhäuser
Iger (เอสเอฟ) คณิตศาสตร์ภาคเรียนที่ 1 Tacaná Iger
เรขาคณิตจูเนียร์ (2014) รูปหลายเหลี่ยม Lulu Press, Inc.
Miller, Heeren และ Hornsby (2006) คณิตศาสตร์: การใช้เหตุผลและการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่สิบ). การศึกษาของเพียร์สัน.
ปาติโญ, ม. (2549). คณิตศาสตร์ 5. บรรณาธิการ Progreso.
Sada, M. รูปหลายเหลี่ยมปกติ 17 ด้านพร้อมไม้บรรทัดและเข็มทิศ สืบค้นจาก: geogebra.org
วิกิพีเดีย รูปสิบเจ็ดเหลี่ยม สืบค้นจาก: es.wikipedia.com

HEPTADECAGON: คุณสมบัติเส้นทแยงมุมปริมณฑลพื้นที่ - เลข - 2026