เรขาคณิตแบบยุคลิด: ประวัติศาสตร์แนวคิดพื้นฐานและตัวอย่าง - เลข - 2026

เรขาคณิตแบบยุคลิดสอดคล้องกับการศึกษาคุณสมบัติของช่องว่างทางเรขาคณิตที่สัจพจน์ของ Euclid มีความพึงพอใจ แม้ว่าบางครั้งคำนี้จะใช้เพื่อครอบคลุมรูปทรงเรขาคณิตที่มีขนาดสูงกว่าและมีคุณสมบัติใกล้เคียงกัน แต่โดยทั่วไปแล้วคำนี้มีความหมายเหมือนกันกับเรขาคณิตคลาสสิกหรือเรขาคณิตระนาบ

ในศตวรรษที่ 3 ก. C. Euclides และสาวกของเขาเขียนเรื่อง Elements ซึ่งเป็นงานที่ครอบคลุมความรู้ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับเวลาที่มีโครงสร้างเชิงตรรกะ - นิรนัย ตั้งแต่นั้นมาเรขาคณิตกลายเป็นวิทยาศาสตร์โดยเริ่มแรกเพื่อแก้ปัญหาแบบคลาสสิกและพัฒนามาเป็นวิทยาศาสตร์เชิงโครงสร้างที่ช่วยให้เหตุผล

ประวัติศาสตร์

ในการพูดคุยเกี่ยวกับประวัติของเรขาคณิตแบบยุคลิดจำเป็นต้องเริ่มต้นด้วย Euclid of Alexandria และ Elements

เมื่ออียิปต์ตกอยู่ในเงื้อมมือของปโตเลมีที่ 1 หลังจากการตายของอเล็กซานเดอร์มหาราชเขาเริ่มโครงการในโรงเรียนในอเล็กซานเดรีย

ในบรรดาปราชญ์ที่สอนในโรงเรียนคือยูคลิด มีการคาดเดาว่าเขาเกิดเมื่อประมาณ 325 ปีก่อนคริสตกาล ค. และเสียชีวิตในปี 265 ก. C. เราสามารถรู้ได้อย่างแน่นอนว่าเขาไปโรงเรียนของเพลโต

เป็นเวลากว่าสามสิบปีที่ยูคลิดสอนในอเล็กซานเดรียการสร้างองค์ประกอบที่มีชื่อเสียง: เขาเริ่มเขียนคำอธิบายอย่างละเอียดถี่ถ้วนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ในช่วงเวลาของเขา คำสอนของ Euclid ทำให้เกิดสาวกที่ยอดเยี่ยมเช่น Archimedes และ Apollonius of Perga

ยูคลิดเป็นผู้รับผิดชอบในการจัดโครงสร้างการค้นพบที่แตกต่างกันของชาวกรีกโบราณในองค์ประกอบ แต่ต่างจากรุ่นก่อนเขาไม่ จำกัด ตัวเองให้ยืนยันว่าทฤษฎีบทเป็นความจริง Euclid เสนอการสาธิต

The Elements เป็นหนังสือรวมสิบสามเล่ม หลังจากพระคัมภีร์ไบเบิลเป็นหนังสือที่มีการตีพิมพ์มากที่สุดโดยมีมากกว่าหนึ่งพันฉบับ

องค์ประกอบของยุคลิด

องค์ประกอบเป็นผลงานชิ้นเอกของ Euclid ในสาขาเรขาคณิตและนำเสนอการรักษาขั้นสุดท้ายของรูปทรงเรขาคณิตของสองมิติ (ระนาบ) และสามมิติ (อวกาศ) ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของสิ่งที่เรารู้จักกันในชื่อเรขาคณิตแบบยุคลิด .

แนวคิดพื้นฐาน

องค์ประกอบประกอบด้วยคำจำกัดความแนวคิดทั่วไปและสมมุติฐาน (หรือสัจพจน์) ตามด้วยทฤษฎีบทโครงสร้างและการพิสูจน์

- ประเด็นคือสิ่งที่ไม่มีชิ้นส่วน

- เส้นคือความยาวที่ไม่มีความกว้าง

- เส้นตรงคือเส้นที่มีความสัมพันธ์กับจุดที่อยู่ในนั้นเท่า ๆ กัน

- ถ้าตัดสองเส้นเพื่อให้มุมที่อยู่ติดกันเท่ากันมุมนั้นจะเรียกว่าเส้นตรงและเรียกว่าเส้นตั้งฉาก

- เส้นขนานคือเส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกันไม่เคยตัดกัน

หลังจากคำจำกัดความเหล่านี้และคำจำกัดความอื่น ๆ Euclid นำเสนอรายการห้าสมมุติฐานและแนวคิดห้าประการ

แนวคิดทั่วไป

- สองสิ่งที่เท่ากับหนึ่งในสามมีค่าเท่ากัน

- หากเพิ่มสิ่งเดียวกันในสิ่งเดียวกันผลลัพธ์จะเหมือนกัน

- ถ้าสิ่งที่เท่ากันลบสิ่งที่เท่ากันผลลัพธ์จะเท่ากัน

- สิ่งที่จับคู่กันมีค่าเท่ากัน

- ยอดรวมมากกว่าส่วนหนึ่ง

สมมุติฐานหรือสัจพจน์

- เส้นเดียวและเส้นเดียวผ่านจุดที่แตกต่างกันสองจุด

- เส้นตรงสามารถขยายได้เรื่อย ๆ

- คุณสามารถวาดวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางและรัศมีใดก็ได้

- มุมฉากทั้งหมดเท่ากัน

- ถ้าเส้นตรงข้ามเส้นตรงสองเส้นเพื่อให้มุมภายในของด้านเดียวกันรวมกันน้อยกว่าสองมุมฉากเส้นทั้งสองจะข้ามไปที่ด้านนั้น

สมมุติฐานสุดท้ายนี้เรียกว่าสมมุติฐานคู่ขนานและได้รับการจัดรูปแบบใหม่ในลักษณะต่อไปนี้: "สำหรับจุดที่อยู่นอกเส้นสามารถลากเส้นคู่ขนานไปกับเส้นที่กำหนดได้"

ตัวอย่าง

จากนั้นทฤษฎีบทบางประการขององค์ประกอบจะแสดงคุณสมบัติของช่องว่างทางเรขาคณิตที่มีการเติมเต็มสมมุติฐานห้าประการของยุคลิด นอกจากนี้ยังจะแสดงให้เห็นถึงเหตุผลเชิงตรรกะ - นิรนัยที่นักคณิตศาสตร์คนนี้ใช้

ตัวอย่างแรก

ข้อเสนอ 1.4. (LAL)

ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปมีสองด้านและมุมระหว่างทั้งสองเท่ากันด้านอื่น ๆ และอีกมุมจะเท่ากัน

สาธิต

ให้ ABC และ A'B'C 'เป็นสามเหลี่ยมสองรูปโดยมี AB = A'B', AC = A'C 'และมุม BAC และ B'A'C' เท่ากัน ลองย้ายสามเหลี่ยม A'B'C 'เพื่อให้ A'B' ตรงกับ AB และมุมนั้น B'A'C ตรงกับมุม BAC

ดังนั้นบรรทัด A'C 'จึงตรงกับสาย AC ดังนั้น C' จึงตรงกับ C จากนั้นโดยสมมุติฐาน 1 บรรทัด BC ต้องตรงกับบรรทัด B'C ' ดังนั้นสามเหลี่ยมทั้งสองจึงตรงกันดังนั้นมุมและด้านของมันจึงเท่ากัน

ตัวอย่างที่สอง

ข้อเสนอ 1.5. (

สมมติว่าสามเหลี่ยม ABC มีด้าน AB และ AC เท่ากัน

ดังนั้นสามเหลี่ยม ABD และ ACD จึงมีด้านเท่ากันสองด้านและมุมระหว่างทั้งสองเท่ากัน ดังนั้นตามข้อเสนอ 1.4 มุม ABD และ ACD จึงเท่ากัน

ตัวอย่างที่สาม

ข้อเสนอ 1.31

คุณสามารถสร้างเส้นที่ขนานกับเส้นที่กำหนดโดยจุดที่กำหนด

อาคาร

เมื่อกำหนดเส้น L และจุด P เส้น M จะลากผ่าน P และตัดกับ L จากนั้นเส้น N จะลากผ่าน P ที่ตัด L ตอนนี้เส้น N ลากผ่าน P ซึ่งตัดกับ M สร้างมุมเท่ากับมุมที่ L สร้างด้วย M

การยืนยัน

N ขนานกับ L

สาธิต

สมมติว่า L และ N ไม่ขนานกันและตัดกันที่จุด A ให้ B เป็นจุดใน L เกิน A ให้เราพิจารณาเส้น O ที่ผ่าน B และ P จากนั้น O ตัดกัน M ที่มุมที่รวมกันน้อยกว่า สองตัวตรง

จากนั้น 1.5 เส้น O จะต้องตัดเส้น L อีกด้านหนึ่งของ M ดังนั้น L และ O จึงตัดกันที่จุดสองจุดซึ่งขัดแย้งกับข้อที่ 1 ดังนั้น L และ N ต้องขนานกัน

อ้างอิง

1. ยุคลิด. องค์ประกอบของเรขาคณิต. มหาวิทยาลัยอิสระแห่งชาติเม็กซิโก
2. Euclid หนังสือหกเล่มแรกและองค์ประกอบที่สิบเอ็ดและสิบสองของยุคลิด
3. Eugenio Filloy Yague การสอนและประวัติของเรขาคณิตแบบยุคลิด, Grupo Editorial Iberoamericano
4. K. Ribnikov ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์. บรรณาธิการ Mir
5. Viloria, N. , & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. บทบรรณาธิการ Venezolana CA