เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์: สิ่งที่ศึกษาประวัติศาสตร์การใช้งาน - คณิตศาสตร์ - 2026

เรขาคณิตวิเคราะห์สายการศึกษาและรูปทรงเรขาคณิตโดยใช้เทคนิคพีชคณิตพื้นฐานและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในการกำหนดระบบพิกัด

ดังนั้นเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์จึงเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่วิเคราะห์ข้อมูลทั้งหมดของรูปทรงเรขาคณิตอย่างละเอียดนั่นคือปริมาตรมุมพื้นที่จุดตัดกันระยะทางและอื่น ๆ

ลักษณะพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์คือทำให้สามารถแสดงตัวเลขทางเรขาคณิตผ่านสูตรได้

ตัวอย่างเช่นเส้นรอบวงแสดงด้วยสมการพหุนามของระดับที่สองในขณะที่เส้นแสดงด้วยสมการพหุนามของระดับแรก

เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์เกิดขึ้นในศตวรรษที่สิบเจ็ดเนื่องจากความต้องการที่จะให้คำตอบสำหรับปัญหาที่จนถึงขณะนี้ยังไม่มีทางแก้ไข ตัวแทนชั้นนำ ได้แก่ René Descartes และ Pierre de Fermat

ปัจจุบันผู้เขียนหลายคนชี้ให้เห็นว่าเป็นการสร้างสรรค์ที่ปฏิวัติวงการคณิตศาสตร์เนื่องจากเป็นจุดเริ่มต้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่

ประวัติเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

คำว่าเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์เกิดขึ้นในฝรั่งเศสในศตวรรษที่สิบเจ็ดเนื่องจากความต้องการที่จะให้คำตอบสำหรับปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้พีชคณิตและเรขาคณิตในการแยก แต่วิธีแก้ปัญหาอยู่ในการใช้ทั้งสองอย่างร่วมกัน

ตัวแทนหลักของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

ในช่วงศตวรรษที่สิบเจ็ดสองชาวฝรั่งเศสโดยบังเอิญในชีวิตได้ทำการวิจัยว่าไม่ทางใดก็ทางหนึ่งจบลงด้วยการสร้างเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ คนเหล่านี้คือปิแอร์เดอแฟร์มาต์และเรอเนเดการ์ตส์

ปัจจุบันถือว่าผู้สร้างเรขาคณิตวิเคราะห์คือRené Descartes นี่เป็นเพราะเขาตีพิมพ์หนังสือของเขาก่อน Fermat และเจาะลึกกับ Descartes ในเรื่องเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

อย่างไรก็ตามทั้งแฟร์มาต์และเดส์การ์ตค้นพบว่าเส้นและรูปทรงเรขาคณิตสามารถแสดงได้ด้วยสมการและสมการสามารถแสดงเป็นเส้นหรือรูปทรงเรขาคณิตได้

จากการค้นพบของทั้งสองคนอาจกล่าวได้ว่าทั้งสองเป็นผู้สร้างเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

ปิแอร์เดอแฟร์มาต์

ปิแอร์เดอแฟร์มาต์เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่เกิดในปี 1601 และเสียชีวิตในปี 1665 ในช่วงชีวิตของเขาเขาศึกษารูปทรงเรขาคณิตของยุคลิดอพอลโลเนียสและแพปปุสเพื่อแก้ปัญหาการวัดผลที่มีอยู่ในเวลานั้น

ต่อมาการศึกษาเหล่านี้ก่อให้เกิดการสร้างรูปทรงเรขาคณิต พวกเขาได้รับการแสดงไว้ในหนังสือ "Introduction to flat and solid places" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge) ซึ่งตีพิมพ์ 14 ปีหลังจากที่เขาเสียชีวิตในปี 1679

ปิแอร์เดอแฟร์มาต์ใช้เรขาคณิตวิเคราะห์กับทฤษฎีบทของอพอลโลเนียสเกี่ยวกับสถานที่ทางเรขาคณิตในปี 1623 เขายังเป็นคนแรกที่นำเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ไปใช้กับอวกาศสามมิติ

Rene Descartes

หรือที่เรียกว่า Cartesius เขาเป็นนักคณิตศาสตร์นักฟิสิกส์และนักปรัชญาที่เกิดเมื่อวันที่ 31 มีนาคม ค.ศ. 1596 ในฝรั่งเศสและเสียชีวิตในปี 1650

René Descartes ตีพิมพ์ในปี 1637 หนังสือของเขา "วาทกรรมเกี่ยวกับวิธีการดำเนินการด้วยเหตุผลอย่างถูกต้องและการแสวงหาความจริงในวิทยาศาสตร์" ที่รู้จักกันดีในชื่อ "วิธีการ" และจากนั้นคำว่าเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ได้ถูกนำไปใช้ทั่วโลก หนึ่งในภาคผนวกคือ "เรขาคณิต"

องค์ประกอบพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยองค์ประกอบต่อไปนี้:

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

ระบบนี้ตั้งชื่อตามRené Descartes

ไม่ใช่เขาที่ตั้งชื่อมันหรือเป็นคนที่ทำระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเสร็จ แต่เขาเป็นคนที่พูดถึงพิกัดที่มีตัวเลขบวกทำให้นักวิชาการในอนาคตสามารถทำมันให้เสร็จได้

ระบบนี้ประกอบด้วยระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและระบบพิกัดเชิงขั้ว

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเรียกว่าระนาบที่เกิดจากโครงร่างของเส้นจำนวนสองเส้นที่ตั้งฉากกันโดยที่จุดตัดเกิดขึ้นพร้อมกับศูนย์ทั่วไป

จากนั้นระบบนี้จะประกอบด้วยเส้นแนวนอนและแนวตั้ง

เส้นแนวนอนคือแกน X หรือแกน abscissa เส้นแนวตั้งจะเป็นแกน Y หรือแกนกำหนด

ระบบพิกัดเชิงขั้ว

ระบบนี้มีหน้าที่ตรวจสอบตำแหน่งสัมพัทธ์ของจุดที่สัมพันธ์กับเส้นคงที่และจุดคงที่บนเส้น

สมการคาร์ทีเซียนของเส้น

สมการนี้ได้มาจากเส้นเมื่อรู้จุดสองจุดที่มันผ่าน

เส้นตรง

เป็นรูปที่ไม่เบี่ยงเบนจึงไม่มีทั้งส่วนโค้งหรือมุม

รูปกรวย

พวกเขาคือเส้นโค้งที่กำหนดโดยเส้นที่ผ่านจุดคงที่และจุดของเส้นโค้ง

วงรีเส้นรอบวงพาราโบลาและไฮเพอร์โบลาเป็นเส้นโค้งรูปกรวย แต่ละรายการมีคำอธิบายด้านล่าง

เส้นรอบวง

เส้นรอบวงเรียกว่าเส้นโค้งระนาบปิดซึ่งเกิดจากจุดทั้งหมดของระนาบที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดภายในนั่นคือจากจุดศูนย์กลางของเส้นรอบวง

อุทาหรณ์

เป็นตำแหน่งของจุดในระนาบที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดคงที่ (โฟกัส) และเส้นคงที่ (directrix) Directrix และโฟกัสคือสิ่งที่กำหนดพาราโบลา

พาราโบลาสามารถหาได้เป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิวรูปกรวยของการปฏิวัติผ่านระนาบขนานกับเจเนอเรเตอร์

วงรี

เส้นโค้งปิดที่อธิบายจุดเมื่อเคลื่อนที่ในระนาบเรียกว่าวงรีในลักษณะที่ผลรวมของระยะทางถึงสอง (2) จุดคงที่ (เรียกว่า foci) เป็นค่าคงที่

ไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลาเรียกว่าเส้นโค้งที่กำหนดให้เป็นตำแหน่งของจุดในระนาบซึ่งความแตกต่างระหว่างระยะทางของจุดคงที่สองจุด (foci) เป็นค่าคงที่

ไฮเพอร์โบลามีแกนสมมาตรที่ผ่านจุดโฟกัสเรียกว่าแกนโฟกัส นอกจากนี้ยังมีอีกอันหนึ่งซึ่งเป็นเส้นแบ่งครึ่งของส่วนที่มีจุดคงที่ที่ปลาย

การประยุกต์ใช้งาน

มีการประยุกต์ใช้เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์มากมายในด้านต่างๆของชีวิตประจำวัน ตัวอย่างเช่นเราสามารถพบพาราโบลาซึ่งเป็นองค์ประกอบพื้นฐานอย่างหนึ่งของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ได้ในเครื่องมือหลายชนิดที่ใช้ทุกวันในปัจจุบัน เครื่องมือเหล่านี้บางส่วนมีดังนี้:

จานดาวเทียม

เสาอากาศพาราโบลามีตัวสะท้อนแสงที่สร้างขึ้นจากพาราโบลาที่หมุนบนแกนของเสาอากาศดังกล่าว พื้นผิวที่สร้างขึ้นจากการกระทำนี้เรียกว่าพาราโบลา

ความสามารถของพาราโบลานี้เรียกว่าคุณสมบัติทางแสงหรือคุณสมบัติการสะท้อนของพาราโบลาและด้วยเหตุนี้พาราโบลาจึงสามารถสะท้อนคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่ได้รับจากกลไกการให้อาหารที่ประกอบเป็นเสาอากาศ

สะพานแขวน

เมื่อเชือกรองรับน้ำหนักที่เป็นเนื้อเดียวกัน แต่ในขณะเดียวกันก็มีค่ามากกว่าน้ำหนักของเชือกอย่างมากผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นพาราโบลา

หลักการนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการสร้างสะพานแขวนซึ่งโดยปกติจะรองรับโครงสร้างสายเคเบิลเหล็กกว้าง

หลักการของคำอุปมาเรื่องสะพานแขวนถูกนำมาใช้ในโครงสร้างเช่นสะพานโกลเดนเกตซึ่งตั้งอยู่ในเมืองซานฟรานซิสโกในสหรัฐอเมริกาหรือสะพานใหญ่แห่งช่องแคบอาคาชิซึ่งตั้งอยู่ในญี่ปุ่นและเชื่อมต่อกับเกาะแห่ง เกาะ Awaji กับเกาะฮอนชูซึ่งเป็นเกาะหลักของประเทศนั้น

การวิเคราะห์ทางดาราศาสตร์

เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ยังมีการใช้ที่เฉพาะเจาะจงและเด็ดขาดในด้านดาราศาสตร์อีกด้วย ในกรณีนี้องค์ประกอบของเรขาคณิตวิเคราะห์ที่อยู่ตรงกลางคือวงรี กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของ Johannes Kepler สะท้อนให้เห็นถึงสิ่งนี้

เคปเลอร์นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันได้พิจารณาว่าวงรีเป็นเส้นโค้งที่พอดีกับการเคลื่อนที่ของดาวอังคารมากที่สุด เขาเคยทดสอบแบบจำลองวงกลมที่โคเปอร์นิคัสเสนอมาก่อนหน้านี้ แต่ในระหว่างการทดลองของเขาเขาอนุมานได้ว่าวงรีทำหน้าที่วาดวงโคจรให้คล้ายกับดาวเคราะห์ที่เขากำลังศึกษาอยู่

ต้องขอบคุณวงรีทำให้เคปเลอร์สามารถยืนยันได้ว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่ในวงโคจรของวงรี ข้อพิจารณานี้เป็นคำสั่งของกฎข้อที่สองของเคปเลอร์ที่เรียกว่า

จากการค้นพบนี้ต่อมาได้รับการเสริมแต่งโดยนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษไอแซกนิวตันจึงเป็นไปได้ที่จะศึกษาการเคลื่อนที่ในวงโคจรของดาวเคราะห์และเพื่อเพิ่มพูนความรู้ที่มีเกี่ยวกับจักรวาลที่เราเป็นส่วนหนึ่ง

กล้องโทรทรรศน์ Cassegrain

กล้องโทรทรรศน์ Cassegrain ตั้งชื่อตามนักประดิษฐ์ชื่อ Laurent Cassegrain นักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศสที่เกิด ในกล้องโทรทรรศน์นี้ใช้หลักการของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์เนื่องจากส่วนใหญ่ประกอบด้วยกระจกสองบาน: อันแรกเว้าและพาราโบลาและอันที่สองมีลักษณะนูนและไฮเพอร์โบลิก

ตำแหน่งและลักษณะของกระจกเหล่านี้ทำให้ไม่เกิดข้อบกพร่องที่เรียกว่าความคลาดทรงกลม ข้อบกพร่องนี้ป้องกันไม่ให้รังสีแสงสะท้อนไปยังโฟกัสของเลนส์ที่กำหนด

กล้องโทรทรรศน์ Cassegrain มีประโยชน์อย่างมากสำหรับการสังเกตการณ์ดาวเคราะห์อีกทั้งยังมีความหลากหลายและใช้งานง่าย

อ้างอิง

1. เรขาคณิตวิเคราะห์. สืบค้นเมื่อวันที่ 20 ตุลาคม 2017 จาก britannica.com
2. เรขาคณิตวิเคราะห์. สืบค้นเมื่อวันที่ 20 ตุลาคม 2017 จาก encyclopediafmath.org
3. เรขาคณิตวิเคราะห์. สืบค้นเมื่อวันที่ 20 ตุลาคม 2017 จาก khancademy.org
4. เรขาคณิตวิเคราะห์. สืบค้นเมื่อวันที่ 20 ตุลาคม 2017 จาก wikipedia.org
5. เรขาคณิตวิเคราะห์. สืบค้นเมื่อวันที่ 20 ตุลาคม 2017 จาก whitman.edu
6. เรขาคณิตวิเคราะห์. สืบค้นเมื่อวันที่ 20 ตุลาคม 2017 จาก stewartcalculus.com
7. เรขาคณิตวิเคราะห์ของเครื่องบินสืบค้นเมื่อ 20 ตุลาคม 2017