ฟังก์ชั่นการฉีด: มันคืออะไรมีไว้เพื่ออะไรและเป็นตัวอย่าง - เลข - 2026

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเป็นความสัมพันธ์ใด ๆ ขององค์ประกอบของโดเมนที่มีองค์ประกอบเดียวของโคโดเมน หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ( 1 - 1 ) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการจำแนกประเภทของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ขององค์ประกอบ

องค์ประกอบของโคโดเมนสามารถเป็นรูปภาพขององค์ประกอบเดียวของโดเมนเท่านั้นด้วยวิธีนี้ค่าของตัวแปรตามไม่สามารถทำซ้ำได้

ที่มา: ผู้แต่ง.

ตัวอย่างที่ชัดเจนคือการจัดกลุ่มผู้ชายที่มีงานในกลุ่ม A และกลุ่ม B เป็นหัวหน้าทั้งหมด ฟังก์ชันFจะเป็นฟังก์ชันที่เชื่อมโยงคนงานแต่ละคนกับเจ้านายของเขา หากพนักงานแต่ละคนมีความเกี่ยวข้องกับเจ้านายที่แตกต่างกันผ่านFแล้วFจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ในการพิจารณาฟังก์ชั่นฉีดต้องปฏิบัติตามสิ่งต่อไปนี้:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

นี่คือวิธีการพูดเกี่ยวกับพีชคณิตสำหรับทุกๆ x _{1 ที่}แตกต่างจาก x ₂เรามี F (x ₁ ) ที่แตกต่างจาก F (x ₂ )

ฟังก์ชั่นการฉีดมีไว้ทำอะไร?

การฉีดเป็นคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องเนื่องจากทำให้มั่นใจได้ว่าการกำหนดภาพสำหรับแต่ละองค์ประกอบของโดเมนเป็นลักษณะสำคัญในความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

เมื่อวาดแนวขนานกับXแกนบนกราฟของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งกราฟควรได้รับการสัมผัสเพียงจุดเดียวไม่ว่าสิ่งที่สูงหรือความสำคัญของการไม่มีYสายจะถูกวาด นี่เป็นวิธีการแบบกราฟิกในการทดสอบการฉีดของฟังก์ชัน

อีกวิธีหนึ่งในการทดสอบว่าฟังก์ชันเป็นแบบฉีดหรือไม่โดยการแก้ตัวแปรอิสระXในรูปของตัวแปรตามYจากนั้นจะต้องตรวจสอบว่าโดเมนของนิพจน์ใหม่นี้มีจำนวนจริงหรือไม่ในเวลาเดียวกันกับค่าYแต่ละค่ามีค่าXเพียงค่าเดียว

ฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ของคำสั่งเป็นไปตามสัญกรณ์F: D _f → C _f

Fอ่านว่าอะไรจาก D _fถึง C _f

โดยที่ฟังก์ชันFเกี่ยวข้องกับชุดโดเมนและCodomain หรือที่เรียกว่าชุดเริ่มต้นและชุดจบ

โดเมนD _fมีค่าที่อนุญาตสำหรับตัวแปรอิสระ codomain C _fประกอบด้วยค่าทั้งหมดที่มีให้สำหรับตัวแปรตาม องค์ประกอบของC _fที่เกี่ยวข้องกับD _fเรียกว่าช่วงของฟังก์ชัน (R _f )

การปรับสภาพการทำงาน

บางครั้งฟังก์ชั่นที่ไม่ได้ฉีดอาจต้องอยู่ภายใต้เงื่อนไขบางประการ เงื่อนไขใหม่เหล่านี้สามารถทำให้เป็นฟังก์ชันฉีดได้ การปรับเปลี่ยนโดเมนและโคโดเมนของฟังก์ชันทุกชนิดถูกต้องโดยมีวัตถุประสงค์เพื่อเติมเต็มคุณสมบัติการฉีดในความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างฟังก์ชั่นการฉีดพร้อมแบบฝึกหัดที่มีการแก้ไข

ตัวอย่าง 1

ให้ฟังก์ชันF: R → RกำหนดโดยบรรทัดF (x) = 2x - 3

A:

ที่มา: ผู้แต่ง.

เป็นที่สังเกตว่าสำหรับทุกค่าของโดเมนจะมีภาพอยู่ในโคโดเมน ภาพนี้ไม่เหมือนใครซึ่งทำให้ F เป็นฟังก์ชันฉีด สิ่งนี้ใช้กับฟังก์ชันเชิงเส้นทั้งหมด (ฟังก์ชันที่มีระดับสูงสุดของตัวแปรคือหนึ่ง)

ที่มา: ผู้แต่ง.

ตัวอย่าง 2

ให้ฟังก์ชันF: R → RกำหนดโดยF (x) = x ² +1

ที่มา: ผู้แต่ง

เมื่อวาดเส้นแนวนอนจะสังเกตได้ว่าพบกราฟมากกว่าหนึ่งครั้ง ด้วยเหตุนี้ฟังก์ชันFจึงไม่ถูกฉีดตราบเท่าที่กำหนดR → R

เราดำเนินการต่อเพื่อกำหนดเงื่อนไขโดเมนของฟังก์ชัน:

F: R ⁺ U {0} → R

ที่มา: ผู้แต่ง

ตอนนี้ตัวแปรอิสระไม่ได้ใช้ค่าลบในวิธีนี้ผลการทำซ้ำจะหลีกเลี่ยงและฟังก์ชั่นF: R ⁺ U {0} → Rกำหนดโดยf (x) = x ² + 1 เป็นหนึง

วิธีแก้ปัญหาที่คล้ายคลึงกันอีกวิธีหนึ่งคือการ จำกัด โดเมนไว้ทางซ้ายนั่นคือการ จำกัด ฟังก์ชันให้รับเฉพาะค่าลบและค่าศูนย์เท่านั้น

เราดำเนินการเพื่อกำหนดเงื่อนไขโดเมนของฟังก์ชัน

F: R ^- U {0} → R

ที่มา: ผู้แต่ง

ตอนนี้ตัวแปรอิสระไม่ได้ใช้ค่าลบในวิธีนี้ผลการทำซ้ำจะหลีกเลี่ยงและฟังก์ชั่นF: R ^- U {0} → Rกำหนดโดยf (x) = x ² + 1 เป็นหนึง

ฟังก์ชันตรีโกณมิติมีพฤติกรรมคล้ายคลื่นซึ่งเป็นเรื่องปกติมากที่จะพบการซ้ำของค่าในตัวแปรตาม ด้วยการปรับสภาพที่เฉพาะเจาะจงตามความรู้เดิมเกี่ยวกับฟังก์ชันเหล่านี้เราสามารถ จำกัด ขอบเขตให้แคบลงเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขของการฉีด

ตัวอย่างที่ 3

ให้ฟังก์ชันF: → R ถูกกำหนดโดยF (x) = Cos (x)

ในช่วงเวลาฟังก์ชันโคไซน์จะเปลี่ยนผลลัพธ์ระหว่างศูนย์และหนึ่ง

ที่มา: ผู้แต่ง.

ดังที่เห็นได้จากกราฟ เริ่มจากศูนย์ที่x = - π / 2 จากนั้นถึงจุดสูงสุดที่ศูนย์ หลังจากx = 0ค่าจะเริ่มทำซ้ำจนกว่าจะกลับสู่ศูนย์ที่x = π / 2 ด้วยวิธีนี้เป็นที่ทราบกันดีว่าF (x) = Cos (x) ไม่ได้เป็นแบบฉีดสำหรับช่วงเวลา

เมื่อศึกษากราฟของฟังก์ชันF (x) = Cos (x)จะสังเกตเห็นช่วงเวลาที่พฤติกรรมของเส้นโค้งปรับให้เข้ากับเกณฑ์การฉีด เช่นช่วงเวลา

โดยที่ฟังก์ชันเปลี่ยนผลลัพธ์จาก 1 ถึง -1 โดยไม่ต้องทำซ้ำค่าใด ๆ ในตัวแปรตาม

ด้วยวิธีนี้ฟังก์ชันฟังก์ชันF: → R กำหนดโดยF (x) = Cos (x) เป็นแบบฉีด

มีฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่เกิดกรณีที่คล้ายคลึงกัน สำหรับนิพจน์ประเภทเหตุผลที่ตัวส่วนมีตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวแปรมีข้อ จำกัด ที่ป้องกันการแทรกซึมของความสัมพันธ์

ตัวอย่างที่ 4

ให้ฟังก์ชันF: R → RกำหนดโดยF (x) = 10 / x

ฟังก์ชั่นที่มีการกำหนดตัวเลขจริงทั้งหมดยกเว้น{0}ที่มีกำหนด (ให้มันไม่สามารถหารด้วยศูนย์)

เมื่อตัวแปรตามเข้าใกล้ศูนย์จากทางซ้ายจะใช้ค่าลบที่มากและทันทีหลังจากศูนย์ค่าของตัวแปรตามจะมีตัวเลขบวกมาก

การหยุดชะงักนี้ทำให้นิพจน์F: R → RกำหนดโดยF (x) = 10 / x

อย่าฉีดยา

ดังที่เห็นในตัวอย่างก่อนหน้านี้การยกเว้นค่าในโดเมนทำหน้าที่ "ซ่อมแซม" ความไม่แน่นอนเหล่านี้ เราดำเนินการเพื่อแยกศูนย์ออกจากโดเมนโดยปล่อยให้ชุดเริ่มต้นและชุดสิ้นสุดที่กำหนดไว้ดังนี้:

R - {0} → R

โดยที่R - {0}เป็นสัญลักษณ์แทนค่าความจริงยกเว้นชุดที่มีองค์ประกอบเดียวเป็นศูนย์

ด้วยวิธีนี้นิพจน์F: R - {0} → R ที่กำหนดโดยF (x) = 10 / x เป็นแบบฉีด

ตัวอย่างที่ 5

ให้ฟังก์ชันF: → R ถูกกำหนดโดยF (x) = Sen (x)

ในช่วงเวลาฟังก์ชันไซน์จะเปลี่ยนผลลัพธ์ระหว่างศูนย์และหนึ่ง

ที่มา: ผู้แต่ง.

ดังที่เห็นได้จากกราฟ เริ่มต้นจากศูนย์ที่x = 0แล้วถึงค่าสูงสุดที่x = π / 2 หลังจากx = π / 2 ค่าจะเริ่มทำซ้ำจนกว่าจะกลับสู่ศูนย์ที่x = π ด้วยวิธีนี้เป็นที่ทราบกันดีว่าF (x) = Sen (x) ไม่ได้เป็นแบบฉีดสำหรับช่วงเวลา

เมื่อศึกษากราฟของฟังก์ชันF (x) = Sen (x)จะสังเกตเห็นช่วงเวลาที่พฤติกรรมของเส้นโค้งปรับให้เข้ากับเกณฑ์การฉีด เช่นช่วงเวลา

โดยที่ฟังก์ชันเปลี่ยนผลลัพธ์จาก 1 ถึง -1 โดยไม่ต้องทำซ้ำค่าใด ๆ ในตัวแปรตาม

ด้วยวิธีนี้ฟังก์ชันF: → RกำหนดโดยF (x) = Sen (x) เป็นแบบฉีด

ตัวอย่างที่ 6

ตรวจสอบว่าฟังก์ชันF: → RกำหนดโดยF (x) = Tan (x) หรือไม่

F: → RกำหนดโดยF (x) = Cos (x + 1)

F: R → RกำหนดโดยบรรทัดF (x) = 7x + 2

อ้างอิง

1. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรรกะและการคิดเชิงวิพากษ์ ปลาแซลมอน Merrilee H. มหาวิทยาลัยพิตต์สเบิร์ก
2. ปัญหาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ Piotr Biler, Alfred Witkowski มหาวิทยาลัยวรอกลอว์. โปแลนด์.
3. องค์ประกอบของการวิเคราะห์บทคัดย่อ Mícheál O'Searcoid PhD. ภาควิชาคณิตศาสตร์. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับลอจิกและระเบียบวิธีวิทยานิรนัย Alfred Tarski จาก New York Oxford สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด
5. หลักการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์. Enrique LinésEscardó บทบรรณาธิการReverté S. A 1991. บาร์เซโลนาสเปน.