- คูณของจำนวนจริงαโดยเวกเตอร์วี : α วีให้เวกเตอร์อื่นและที่อยู่V

วิสัยทัศน์ทางศิลปะของพื้นที่เวกเตอร์ ที่มา: Pixabay

ในการแสดงเวกเตอร์เราใช้ตัวหนา ( vคือเวกเตอร์) และสำหรับสเกลาร์หรือตัวเลขตัวอักษรกรีก (αคือตัวเลข)

สัจพจน์และคุณสมบัติ

สำหรับการกำหนดช่องว่างเวกเตอร์ต้องถือสัจพจน์แปดประการต่อไปนี้:

ความสามารถในการสับเปลี่ยน 1: u + v = v + u

2 - ความไว: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3- การมีอยู่ของเวกเตอร์โมฆะ0ดังนั้น0 + v = v

4- การมีอยู่ของสิ่งที่ตรงกันข้าม: ตรงข้ามของvคือ (- v ) เนื่องจากv + (- v ) = 0

5-Distributivity ของผลิตภัณฑ์เทียบกับผลรวมเวกเตอร์: α ( u + v ) = α u + α v

6- การกระจายของผลิตภัณฑ์เทียบกับผลรวมสเกลาร์: (α + β) v = α v + β v

7-Associativity ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์: α (β v ) = (αβ) v

8- หมายเลข 1 เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางตั้งแต่: 1 v = v

ตัวอย่างของช่องว่างเวกเตอร์

ตัวอย่าง 1

เวกเตอร์ในระนาบ (R²) เป็นตัวอย่างของปริภูมิเวกเตอร์ เวกเตอร์ในระนาบเป็นวัตถุทางเรขาคณิตที่มีขนาดและทิศทาง มันแสดงโดยส่วนที่มุ่งเน้นซึ่งเป็นของเครื่องบินดังกล่าวและมีขนาดเป็นสัดส่วนกับขนาดของมัน

ผลรวมของเวกเตอร์สองตัวในระนาบสามารถกำหนดได้ว่าเป็นการดำเนินการแปลทางเรขาคณิตของเวกเตอร์ที่สองหลังจากตัวแรก ผลลัพธ์ของผลรวมคือส่วนเชิงที่เริ่มต้นจากจุดเริ่มต้นของจุดแรกและไปถึงปลายที่สอง

ในรูปจะเห็นได้ว่าผลรวมในR²เป็นการสับเปลี่ยน

รูปที่ 2. เวกเตอร์ในช่องว่างรูปแบบระนาบ ที่มา: self made.

นอกจากนี้ยังมีการกำหนดผลคูณของตัวเลขαและเวกเตอร์ หากตัวเลขเป็นค่าบวกทิศทางของเวกเตอร์ดั้งเดิมจะถูกเก็บไว้และขนาดคือαเท่าของเวกเตอร์เดิม หากจำนวนเป็นลบทิศทางจะตรงกันข้ามและขนาดของเวกเตอร์ที่ได้คือค่าสัมบูรณ์ของจำนวน

เวกเตอร์ตรงข้ามเวกเตอร์ใด ๆvคือ - v = (- 1) v .

เวกเตอร์ว่างคือจุดในระนาบR²และจำนวนศูนย์คูณเวกเตอร์ให้เวกเตอร์ว่าง

สิ่งที่กล่าวมาทั้งหมดแสดงไว้ในรูปที่ 2

ตัวอย่าง 2

เซตPของพหุนามทั้งหมดที่มีดีกรีน้อยกว่าหรือเท่ากับสองรวมทั้งศูนย์องศาจะสร้างเซตที่ตรงตามสัจพจน์ทั้งหมดของปริภูมิเวกเตอร์

ให้พหุนาม P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

มีการกำหนดผลรวมของพหุนามสองค่า: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

ผลรวมของพหุนามของเซตPคือการสับเปลี่ยนและสกรรมกริยา

พหุนามโมฆะที่เป็นของเซตPคือค่าที่มีค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

ผลรวมของสเกลาร์αโดยพหุนามกำหนดเป็น: α P (x) = α∙ a x² + α∙ bx + α∙ c

พหุนามตรงข้ามของ P (x) คือ -P (x) = (-1) P (x)

จากทั้งหมดข้างต้นเป็นไปตามที่เซตPของพหุนามทั้งหมดที่มีดีกรีน้อยกว่าหรือเท่ากับสองคือปริภูมิเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 3

ชุดMของเมทริกซ์ทั้งหมดของคอลัมน์ m แถว xn ที่มีองค์ประกอบเป็นจำนวนจริงในรูปพื้นที่เวกเตอร์จริงซึ่งเกี่ยวกับการดำเนินการของการบวกเมทริกซ์และผลคูณของตัวเลขด้วยเมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 4

ชุด F ของฟังก์ชันต่อเนื่องของตัวแปรจริงสร้างพื้นที่เวกเตอร์เนื่องจากเป็นไปได้ที่จะกำหนดผลรวมของสองฟังก์ชันการคูณสเกลาร์ด้วยฟังก์ชันฟังก์ชันว่างและฟังก์ชันสมมาตร นอกจากนี้ยังเติมเต็มสัจพจน์ที่แสดงลักษณะของพื้นที่เวกเตอร์

ฐานและขนาดของปริภูมิเวกเตอร์

ฐาน

ฐานของปริภูมิเวกเตอร์ถูกกำหนดให้เป็นชุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นซึ่งจากการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์ใด ๆ ของพื้นที่เวกเตอร์นั้นสามารถสร้างขึ้นได้

การรวมเวกเตอร์ตั้งแต่สองเวกเตอร์เชิงเส้นขึ้นไปประกอบด้วยการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์บางส่วนแล้วบวกเวกเตอร์

ยกตัวอย่างเช่นในพื้นที่เวกเตอร์ของเวกเตอร์ในสามมิติที่เกิดขึ้นจากR³พื้นฐานที่ยอมรับที่กำหนดโดยหน่วยเวกเตอร์ (ขนาด 1) ฉัน , J , K ถูกนำมาใช้

โดยที่ฉัน = (1, 0, 0); เจ = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1) เหล่านี้คือเวกเตอร์คาร์ทีเซียนหรือบัญญัติ

เวกเตอร์Vอยู่R³เขียนเป็นV = a ฉัน b + J + C kซึ่งคือการรวมกันเชิงเส้นของฐานเวกเตอร์ฉัน , J , Kเกลาหรือตัวเลข b, c เป็นที่รู้จักกันเป็นส่วนประกอบของคาร์ทีเซียนV

ว่ากันว่าเวกเตอร์ฐานของปริภูมิเวกเตอร์สร้างชุดกำเนิดของปริภูมิเวกเตอร์

มิติ

มิติของปริภูมิเวกเตอร์คือจำนวนสำคัญของพื้นฐานเวกเตอร์สำหรับช่องว่างนั้น นั่นคือจำนวนเวกเตอร์ที่ประกอบเป็นฐานดังกล่าว

คาร์ดินัลนี้คือจำนวนเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดของพื้นที่เวกเตอร์นั้นและในเวลาเดียวกันจำนวนเวกเตอร์ขั้นต่ำที่สร้างชุดกำเนิดของช่องว่างนั้น

ฐานของปริภูมิเวกเตอร์ไม่ซ้ำกัน แต่ฐานทั้งหมดของปริภูมิเวกเตอร์เดียวกันมีมิติเดียวกัน

พื้นที่ย่อยเวกเตอร์

เวกเตอร์ย่อยสเปซ S ของปริภูมิเวกเตอร์ V คือส่วนย่อยของ V ซึ่งการดำเนินการเดียวกันถูกกำหนดไว้ใน V และเติมเต็มสัจพจน์ของปริภูมิเวกเตอร์ทั้งหมด ดังนั้นพื้นที่ย่อย S จะเป็นช่องว่างเวกเตอร์ด้วย

ตัวอย่างของเวกเตอร์ย่อยคือเวกเตอร์ที่อยู่ในระนาบ XY พื้นที่ย่อยนี้เป็นส่วนย่อยของพื้นที่เวกเตอร์ที่มีมิติมากกว่าชุดของเวกเตอร์ที่เป็นของพื้นที่สามมิติ XYZ

อีกตัวอย่างหนึ่งของเวกเตอร์พื้นที่ย่อย S1 ของพื้นที่เวกเตอร์ S ที่สร้างขึ้นโดยเมทริกซ์ 2 × 2 ทั้งหมดที่มีองค์ประกอบจริงถูกกำหนดไว้ด้านล่าง:

ในทางกลับกัน S2 ที่กำหนดไว้ด้านล่างแม้ว่าจะเป็นส่วนย่อยของ S แต่ก็ไม่ได้สร้างพื้นที่ย่อยเวกเตอร์:

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- การออกกำลังกาย 1

ให้เวกเตอร์V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) และV3 = (0, 0, 3) ในR³

ก) แสดงว่าเป็นอิสระเชิงเส้น

b) แสดงให้เห็นว่าพวกมันเป็นพื้นฐานใน R tri เนื่องจากสามเท่า (x, y, z) สามารถเขียนเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของ V1, V2, V3 ได้

c) หาส่วนประกอบของสามV = (-3,5,4) ในฐานV1 , V2 , V3

สารละลาย

เกณฑ์ที่แสดงถึงความเป็นอิสระเชิงเส้นประกอบด้วยการสร้างชุดสมการต่อไปนี้ในα, βและγ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

ในกรณีที่ทางออกเดียวของระบบนี้คือα = β = γ = 0 ดังนั้นเวกเตอร์จะเป็นอิสระเชิงเส้นมิฉะนั้นจะไม่ใช่

เพื่อให้ได้ค่าของα, βและγเราขอเสนอระบบสมการต่อไปนี้:

α∙ 1 + β∙ 0 + γ∙ 0 = 0

α∙ 1 + β∙ 2 + γ∙ 0 = 0

α∙ 0 + β∙ 1 + γ∙ 3 = 0

อันดับแรกนำไปสู่α = 0, α = -2 ∙βที่สอง แต่เนื่องจากα = 0 แล้วβ = 0 สมการที่สามหมายความว่าγ = (- 1/3) β แต่เนื่องจากβ = 0 แล้วγ = 0

คำตอบ

สรุปได้ว่าเป็นชุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นในR³

ตอบข

ทีนี้ลองเขียนสามเท่า (x, y, z) เป็นการรวมเชิงเส้นของ V1, V2, V3

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α∙ 1 + β∙ 0 + γ∙ 0 = x

α∙ 1 + β∙ 2 + γ∙ 0 = y

α∙ 0 + β∙ 1 + γ∙ 3 = z

คุณมีที่ไหน:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

ตัวแรกระบุα = x วินาทีβ = (yx) / 2 และตัวที่สามγ = (z- y / 2 + x / 2) / 3 ด้วยวิธีนี้เราพบเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของα, βและγของR³สามตัว

ตอบค

ขอย้ายเพื่อหาส่วนประกอบของสามV = (-3,5,4) ในฐานV1 , V2 , V3

เราแทนที่ค่าที่เกี่ยวข้องในนิพจน์ที่พบด้านบนสำหรับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า

ในกรณีนี้เรามี: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

นั่นคือ:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

โดยล่าสุด:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

เราสรุปได้ว่าV1, V2, V3เป็นพื้นฐานในปริภูมิเวกเตอร์R³ของมิติ 3

- การออกกำลังกาย 2

แสดงพหุนาม P (t) = t² + 4t -3 เป็นการรวมเชิงเส้นของ P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t และ P3 (t) = t + 3

สารละลาย

P (เสื้อ) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

โดยที่จะกำหนดตัวเลข x, y, z

ด้วยการคูณและจัดกลุ่มคำที่มีระดับเดียวกันใน t เราจะได้:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

ซึ่งนำเราไปสู่ระบบสมการต่อไปนี้:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

คำตอบของระบบสมการนี้คือ:

x = -3, y = 2, z = 4

นั่นคือ:

P (เสื้อ) = -3 P1 (เสื้อ) + 2 P2 (เสื้อ) + 4 P3 (เสื้อ)

- การออกกำลังกาย 3

แสดงว่าเวกเตอร์v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) และv3 = (2, 1, -1, 1) ของR⁴เป็นอิสระเชิงเส้น

สารละลาย

เรารวมเวกเตอร์สามตัวv1 , v2 , v3เป็นเส้นตรงและต้องการให้ชุดค่าผสมเพิ่มองค์ประกอบว่างของR⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

กล่าวคือ,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

สิ่งนี้นำเราไปสู่ระบบสมการต่อไปนี้:

a + b + 2 ค = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

การลบตัวแรกและตัวที่สี่เรามี: -a + c = 0 ซึ่งหมายถึง a = c

แต่ถ้าเราดูสมการที่สามเราจะมี a = -c วิธีเดียวที่ a = c = (- c) ถือคือให้ c เป็น 0 ดังนั้น a จะเป็น 0 ด้วย

a = c = 0

ถ้าเราใส่ผลลัพธ์นี้เข้ากับสมการแรกเราจะสรุปได้ว่า b = 0

สุดท้าย a = b = c = 0 ดังนั้นจึงสามารถสรุปได้ว่าเวกเตอร์ v1, v2 และ v3 เป็นอิสระเชิงเส้น

อ้างอิง

1. Lipschutz, S. 1993. พีชคณิตเชิงเส้น. พิมพ์ครั้งที่สอง. McGraw-Hill 167-198