การแจกแจงแบบทวินามคือการแจกแจงความน่าจะเป็นซึ่งคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นโดยมีเงื่อนไขว่าเกิดขึ้นภายใต้สองรูปแบบ: สำเร็จหรือล้มเหลว
การกำหนด (ความสำเร็จหรือความล้มเหลว) เหล่านี้เป็นไปตามอำเภอใจโดยสิ้นเชิงเนื่องจากไม่ได้แปลว่าสิ่งที่ดีหรือไม่ดี ในบทความนี้เราจะระบุรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงทวินามจากนั้นจะอธิบายความหมายของแต่ละคำโดยละเอียด
รูปที่ 1. การหมุนของแม่พิมพ์เป็นปรากฏการณ์ที่สามารถสร้างแบบจำลองได้โดยใช้การแจกแจงแบบทวินาม ที่มา: Pixabay
สมการ
สมการมีดังนี้:
ด้วย x = 0, 1, 2, 3 … .n โดยที่:
- P (x) คือความน่าจะเป็นที่จะมี x สำเร็จระหว่าง n ความพยายามหรือการทดลอง
- x เป็นตัวแปรที่อธิบายปรากฏการณ์ที่น่าสนใจซึ่งสอดคล้องกับจำนวนความสำเร็จ
- จำนวนครั้งที่พยายาม
- p คือความน่าจะเป็นของความสำเร็จใน 1 ครั้ง
- q คือความน่าจะเป็นของความล้มเหลวใน 1 ครั้งดังนั้น q = 1 - p
เครื่องหมายตกใจ "!" ใช้สำหรับสัญกรณ์แฟกทอเรียลดังนั้น:
0! = 1
หนึ่ง! = 1
สอง! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
และอื่น ๆ
แนวคิด
การแจกแจงแบบทวินามมีความเหมาะสมมากสำหรับการอธิบายสถานการณ์ที่เหตุการณ์เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น ถ้ามันเกิดขึ้นมันคือความสำเร็จและถ้าไม่มันก็คือความล้มเหลว นอกจากนี้ความน่าจะเป็นของความสำเร็จจะต้องคงที่เสมอ
มีปรากฏการณ์ที่เหมาะสมกับเงื่อนไขเหล่านี้ตัวอย่างเช่นการโยนเหรียญ ในกรณีนี้เราสามารถพูดได้ว่า "ความสำเร็จ" กำลังได้หน้า ความน่าจะเป็นคือ½และไม่เปลี่ยนแปลงไม่ว่าจะโยนเหรียญกี่ครั้ง
การหมุนวงล้อที่ซื่อสัตย์เป็นอีกตัวอย่างที่ดีเช่นเดียวกับการแบ่งประเภทของการผลิตออกเป็นชิ้นดีและชิ้นที่มีตำหนิและเปลี่ยนเป็นสีแดงแทนที่จะเป็นสีดำเมื่อหมุนวงล้อรูเล็ต
ลักษณะเฉพาะ
เราสามารถสรุปลักษณะของการแจกแจงแบบทวินามได้ดังนี้
- เหตุการณ์หรือการสังเกตใด ๆ ถูกดึงออกมาจากประชากรที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยไม่มีการแทนที่หรือจากประชากรที่ จำกัด โดยมีการแทนที่
- มีเพียงสองทางเลือกเท่านั้นที่ได้รับการพิจารณาโดยไม่รวมกัน: ความสำเร็จหรือความล้มเหลวตามที่อธิบายไว้ตอนต้น
- ความน่าจะเป็นของความสำเร็จจะต้องคงที่ในการสังเกตใด ๆ ที่เกิดขึ้น
- ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ใด ๆ ไม่ขึ้นกับเหตุการณ์อื่นใด
- ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงทวินามคือ np
- ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ:
ตัวอย่างการใช้งาน
ลองมาดูเหตุการณ์ง่ายๆซึ่งอาจจะได้รับ 2 หัว 5 โดยการตายอย่างซื่อสัตย์ 3 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้รับในการโยน 3 ครั้ง 2 หัวจาก 5
มีหลายวิธีในการบรรลุเป้าหมายนี้ตัวอย่างเช่น:
- การเปิดตัวสองครั้งแรกคือ 5 ครั้งและครั้งสุดท้ายไม่ใช่
- อันแรกและอันสุดท้ายคือ 5 แต่ไม่ใช่อันกลาง
- การโยนสองครั้งสุดท้ายคือ 5 ครั้งและครั้งแรกไม่ได้
ลองนำลำดับแรกที่อธิบายไว้เป็นตัวอย่างและคำนวณความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ 5 หัวในม้วนแรกคือ 1/6 และในครั้งที่สองเนื่องจากเป็นเหตุการณ์อิสระ
ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวอื่นที่ไม่ใช่ 5 ในม้วนสุดท้ายคือ 1 - 1/6 = 5/6 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ลำดับนี้ออกมาจึงเป็นผลคูณของความน่าจะเป็น:
(1/6) (1/6) (5/6) = 5/216 = 0.023
แล้วอีกสองลำดับล่ะ? มีความน่าจะเป็นเท่ากัน: 0.023
และเนื่องจากเรามีลำดับความสำเร็จทั้งหมด 3 ลำดับความน่าจะเป็นทั้งหมดจะเป็น:
ตัวอย่าง 2
มหาวิทยาลัยแห่งหนึ่งอ้างว่า 80% ของนักเรียนในทีมบาสเก็ตบอลของวิทยาลัยจบการศึกษา การสอบสวนตรวจสอบผลการเรียนของนักเรียน 20 คนของทีมบาสเก็ตบอลที่ลงทะเบียนเรียนในมหาวิทยาลัยเมื่อไม่นานมานี้
จากนักเรียน 20 คนนี้ 11 คนจบการศึกษาและ 9 คนออกจากโรงเรียน
รูปที่ 2 นักเรียนเกือบทั้งหมดที่เล่นให้กับทีมวิทยาลัยจบการศึกษา ที่มา: Pixabay
หากคำแถลงของมหาวิทยาลัยเป็นจริงจำนวนนักศึกษาที่เล่นบาสเก็ตบอลและจบการศึกษาจาก 20 คนควรมีการแจกแจงทวินามด้วย n = 20 และ p = 0.8 ความน่าจะเป็นเท่าไหร่ที่ผู้เล่น 11 จาก 20 คนจะจบการศึกษา?
สารละลาย
ในการแจกแจงแบบทวินาม:
ตัวอย่างที่ 3
นักวิจัยได้ทำการศึกษาเพื่อตรวจสอบว่ามีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญในอัตราการสำเร็จการศึกษาระหว่างนักศึกษาแพทย์ที่เข้ารับการรักษาผ่านโปรแกรมพิเศษและนักศึกษาแพทย์ที่เข้ารับการรักษาตามเกณฑ์การรับเข้าปกติ
อัตราการสำเร็จการศึกษาพบว่า 94% สำหรับแพทย์นักเรียนที่เข้ารับการรักษาผ่านโปรแกรมพิเศษ (อ้างอิงข้อมูลจาก Journal of the American Medical Association)
หากนักเรียนในโปรแกรมพิเศษ 10 คนถูกสุ่มเลือกให้ค้นหาความน่าจะเป็นที่อย่างน้อย 9 คนสำเร็จการศึกษา
b) จะสุ่มเลือกนักเรียน 10 คนจากโครงการพิเศษและพบว่ามีเพียง 7 คนเท่านั้นที่สำเร็จการศึกษา?
สารละลาย
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนที่เข้าเรียนในโปรแกรมพิเศษจะสำเร็จการศึกษาคือ 94/100 = 0.94 เราเลือกนักเรียน n = 10 คนจากโปรแกรมพิเศษและเราต้องการค้นหาความเป็นไปได้ที่อย่างน้อย 9 คนจะสำเร็จการศึกษา
จากนั้นค่าต่อไปนี้จะถูกแทนที่ในการแจกแจงทวินาม:
ข)
อ้างอิง
- Berenson, M. 1985. สถิติสำหรับการจัดการและเศรษฐศาสตร์. Interamericana SA
- MathWorks การแจกแจงทวินาม สืบค้นจาก: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. สถิติสำหรับการจัดการและเศรษฐศาสตร์. 3 ฉบับ Grupo Editorial Iberoamérica
- Moore, D. 2005. สถิติพื้นฐานประยุกต์. ครั้งที่ 2 ฉบับ
- Triola, M. 2012. สถิติเบื้องต้น. วันที่ 11 เอ็ดการศึกษาของเพียร์สัน
- วิกิพีเดีย การแจกแจงทวินาม สืบค้นจาก: es.wikipedia.org