อสมการสามเหลี่ยม: การพิสูจน์ตัวอย่างแบบฝึกหัดที่แก้ไขได้ - เลข - 2026

เรียกว่าคุณสมบัติสามเหลี่ยมที่ไม่เท่ากันซึ่งตรงตามจำนวนจริงสองจำนวนซึ่งประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของผลรวมจะน้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของค่าสัมบูรณ์เสมอ คุณสมบัตินี้เรียกอีกอย่างว่าอสมการของ Minkowski หรืออสมการสามเหลี่ยม

สมบัติของตัวเลขนี้เรียกว่าอสมการสามเหลี่ยมเพราะในรูปสามเหลี่ยมความยาวของด้านหนึ่งจะน้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของอีกสองเสมอแม้ว่าอสมการนี้จะใช้ไม่ได้กับพื้นที่ของสามเหลี่ยมเสมอไป

รูปที่ 1. ค่าสัมบูรณ์ของผลรวมของตัวเลขสองจำนวนจะน้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของค่าสัมบูรณ์เสมอ (จัดทำโดยR.Pérez)

มีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมในจำนวนจริงหลายประการ แต่ในกรณีนี้เราจะเลือกหนึ่งโดยพิจารณาจากคุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์และทวินามกำลังสอง

ทฤษฎีบท:สำหรับทุกคู่ของตัวเลข a และ b ที่เป็นของจำนวนจริงเรามี:

- ก + ข - ≤ - ก - + - ข -

สาธิต

เราเริ่มต้นด้วยการพิจารณาสมาชิกตัวแรกของอสมการซึ่งจะถูกยกกำลังสอง:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Eq. 1)

ในขั้นตอนก่อนหน้านี้เราใช้คุณสมบัติที่ว่าจำนวนใด ๆ กำลังสองเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของจำนวนกำลังสองดังกล่าวนั่นคือ: -x- ^ 2 = x ^ 2 นอกจากนี้ยังใช้การขยายทวินามสแควร์

ทุกจำนวน x น้อยกว่าหรือเท่ากับค่าสัมบูรณ์ ถ้าจำนวนบวกมันจะเท่ากัน แต่ถ้าจำนวนนั้นเป็นลบมันจะน้อยกว่าจำนวนบวกเสมอ ในกรณีนี้ค่าสัมบูรณ์ของตัวเองนั่นคือสามารถระบุได้ว่า x ≤ - x -

ผลิตภัณฑ์ (ab) เป็นตัวเลขดังนั้นจึงใช้ว่า (ab) ≤ - ab - เมื่อคุณสมบัตินี้ถูกนำไปใช้กับ (Eq.1) เรามี:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Eq. 2)

โดยคำนึงว่า - ab - = - a - b - la (Eq.2) สามารถเขียนได้ดังนี้:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (สมการ 3)

แต่เนื่องจากก่อนหน้านี้เราได้กล่าวไปแล้วว่ากำลังสองของจำนวนเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของจำนวนกำลังสองดังนั้นสมการ 3 จึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (สมการ 4)

ในสมาชิกตัวที่สองของอสมการผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นได้รับการยอมรับซึ่งเมื่อนำไปใช้จะนำไปสู่:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (สมการ 5)

ในนิพจน์ก่อนหน้านี้ควรสังเกตว่าค่าที่จะยกกำลังสองในสมาชิกทั้งสองของอสมการเป็นค่าบวกดังนั้นจึงต้องพึงพอใจด้วยว่า:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (สมการ 6)

นิพจน์ก่อนหน้านี้เป็นสิ่งที่คุณต้องการแสดงให้เห็น

ตัวอย่าง

ต่อไปเราจะตรวจสอบอสมการสามเหลี่ยมด้วยตัวอย่างต่างๆ

ตัวอย่าง 1

เรารับค่า a = 2 และค่า b = 5 นั่นคือทั้งจำนวนบวกและเราตรวจสอบว่าอสมการเป็นที่พอใจหรือไม่

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

มีการตรวจสอบความเท่าเทียมกันดังนั้นทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยมจึงสำเร็จ

ตัวอย่าง 2

ค่าต่อไปนี้ a = 2 และ b = -5 ถูกเลือกนั่นคือจำนวนบวกและค่าลบอื่น ๆ เราตรวจสอบว่าอสมการนั้นพอใจหรือไม่

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

มีความพึงพอใจอสมการจึงได้ตรวจสอบทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยมแล้ว

ตัวอย่างที่ 3

เรารับค่า a = -2 และค่า b = 5 นั่นคือจำนวนลบและค่าบวกอื่น ๆ เราตรวจสอบว่าอสมการนั้นพอใจหรือไม่

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

ความไม่เท่าเทียมกันได้รับการตรวจสอบแล้วดังนั้นทฤษฎีบทจึงสำเร็จ

ตัวอย่างที่ 4

ค่าต่อไปนี้ a = -2 และ b = -5 ถูกเลือกนั่นคือทั้งจำนวนลบและเราตรวจสอบว่าอสมการนั้นพอใจหรือไม่

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

มีการตรวจสอบความเท่าเทียมกันดังนั้นทฤษฎีบทอสมการของ Minkowski จึงได้รับการตอบสนอง

ตัวอย่างที่ 5

เรารับค่า a = 0 และค่า b = 5 นั่นคือจำนวนศูนย์และค่าบวกอื่น ๆ จากนั้นเราจะตรวจสอบความไม่เท่าเทียมกันว่าพอใจหรือไม่

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

มีการเติมเต็มความเท่าเทียมกันดังนั้นจึงมีการตรวจสอบทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยม

ตัวอย่างที่ 6

เรารับค่า a = 0 และค่า b = -7 นั่นคือการบอกว่าจำนวนศูนย์และค่าบวกอื่น ๆ จากนั้นเราจะตรวจสอบว่าอสมการนั้นพอใจหรือไม่

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

มีการตรวจสอบความเท่าเทียมกันดังนั้นทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยมจึงได้รับการตอบสนอง

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

ในแบบฝึกหัดต่อไปนี้ให้แสดงอสมการสามเหลี่ยมหรืออสมการ Minkowski ทางเรขาคณิตสำหรับตัวเลข a และ b

จำนวน a จะแสดงเป็นส่วนบนแกน X จุดกำเนิด O ตรงกับศูนย์ของแกน X และปลายอีกด้านของเซ็กเมนต์ (ที่จุด P) จะอยู่ในทิศทางบวก (ทางขวา) ของแกน X ถ้า a > 0 แต่ถ้า a <0 มันจะไปทางทิศลบของแกน X หน่วยมากที่สุดเท่าที่ค่าสัมบูรณ์จะระบุ

ในทำนองเดียวกันตัวเลข b จะแสดงเป็นส่วนที่มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุด P จุดสุดขั้วอื่น ๆ นั่นคือจุด Q จะอยู่ทางขวาของ P ถ้า b เป็นบวก (b> 0) และจุด Q จะเป็น -b - หน่วยทางซ้ายของ P ถ้า b <0

แบบฝึกหัด 1

กราฟความไม่เท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมสำหรับ a = 5 และ b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b - โดยที่ c = a + b

แบบฝึกหัด 2

กราฟความไม่เท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมสำหรับ a = 5 และ b = -3

- a + b - ≤ - a - + - b - โดยที่ c = a + b

แบบฝึกหัด 3

แสดงอสมการของรูปสามเหลี่ยมแบบกราฟิกสำหรับ a = -5 และ b = 3

- a + b - ≤ - a - + - b - โดยที่ c = a + b

แบบฝึกหัด 4

สร้างอสมการสามเหลี่ยมแบบกราฟิกสำหรับ a = -5 และ b = -3

- a + b - ≤ - a - + - b - โดยที่ c = a + b

อ้างอิง

1. E. Whitesitt (2523). พีชคณิตบูลีนและการประยุกต์ใช้. กองบรรณาธิการ Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) องค์ประกอบของการวิเคราะห์นามธรรม. . ภาควิชาคณิตศาสตร์. University College Dublin, Beldfield, Dublind
3. J. Van Wyk. (2549) คณิตศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์สาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์. สถาบันวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และเทคโนโลยี. สำนักงานมาตรฐานแห่งชาติ. วอชิงตัน ดี.ซี. 20234
4. Eric Lehman คณิตศาสตร์สำหรับวิทยาการคอมพิวเตอร์. Google Inc.
5. F ทอมสันเลห์ตัน (1980) แคลคูลัส. ภาควิชาคณิตศาสตร์และห้องปฏิบัติการวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และ AI สถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์
6. Khan Academy. ทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยม สืบค้นจาก: khanacademy.org
7. วิกิพีเดีย อสมการสามเหลี่ยม กู้คืนจาก: es. wikipedia.com