- สาธิต
- ตัวอย่าง
- ตัวอย่าง 1
- ตัวอย่าง 2
- ตัวอย่างที่ 3
- ตัวอย่างที่ 4
- ตัวอย่างที่ 5
- ตัวอย่างที่ 6
- แบบฝึกหัดที่แก้ไข
- แบบฝึกหัด 1
- แบบฝึกหัด 2
- แบบฝึกหัด 3
- แบบฝึกหัด 4
- อ้างอิง
เรียกว่าคุณสมบัติสามเหลี่ยมที่ไม่เท่ากันซึ่งตรงตามจำนวนจริงสองจำนวนซึ่งประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของผลรวมจะน้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของค่าสัมบูรณ์เสมอ คุณสมบัตินี้เรียกอีกอย่างว่าอสมการของ Minkowski หรืออสมการสามเหลี่ยม
สมบัติของตัวเลขนี้เรียกว่าอสมการสามเหลี่ยมเพราะในรูปสามเหลี่ยมความยาวของด้านหนึ่งจะน้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของอีกสองเสมอแม้ว่าอสมการนี้จะใช้ไม่ได้กับพื้นที่ของสามเหลี่ยมเสมอไป

รูปที่ 1. ค่าสัมบูรณ์ของผลรวมของตัวเลขสองจำนวนจะน้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของค่าสัมบูรณ์เสมอ (จัดทำโดยR.Pérez)
มีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมในจำนวนจริงหลายประการ แต่ในกรณีนี้เราจะเลือกหนึ่งโดยพิจารณาจากคุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์และทวินามกำลังสอง
ทฤษฎีบท:สำหรับทุกคู่ของตัวเลข a และ b ที่เป็นของจำนวนจริงเรามี:
- ก + ข - ≤ - ก - + - ข -
สาธิต
เราเริ่มต้นด้วยการพิจารณาสมาชิกตัวแรกของอสมการซึ่งจะถูกยกกำลังสอง:
- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Eq. 1)
ในขั้นตอนก่อนหน้านี้เราใช้คุณสมบัติที่ว่าจำนวนใด ๆ กำลังสองเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของจำนวนกำลังสองดังกล่าวนั่นคือ: -x- ^ 2 = x ^ 2 นอกจากนี้ยังใช้การขยายทวินามสแควร์
ทุกจำนวน x น้อยกว่าหรือเท่ากับค่าสัมบูรณ์ ถ้าจำนวนบวกมันจะเท่ากัน แต่ถ้าจำนวนนั้นเป็นลบมันจะน้อยกว่าจำนวนบวกเสมอ ในกรณีนี้ค่าสัมบูรณ์ของตัวเองนั่นคือสามารถระบุได้ว่า x ≤ - x -
ผลิตภัณฑ์ (ab) เป็นตัวเลขดังนั้นจึงใช้ว่า (ab) ≤ - ab - เมื่อคุณสมบัตินี้ถูกนำไปใช้กับ (Eq.1) เรามี:
- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Eq. 2)
โดยคำนึงว่า - ab - = - a - b - la (Eq.2) สามารถเขียนได้ดังนี้:
- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (สมการ 3)
แต่เนื่องจากก่อนหน้านี้เราได้กล่าวไปแล้วว่ากำลังสองของจำนวนเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของจำนวนกำลังสองดังนั้นสมการ 3 จึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (สมการ 4)
ในสมาชิกตัวที่สองของอสมการผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นได้รับการยอมรับซึ่งเมื่อนำไปใช้จะนำไปสู่:
- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (สมการ 5)
ในนิพจน์ก่อนหน้านี้ควรสังเกตว่าค่าที่จะยกกำลังสองในสมาชิกทั้งสองของอสมการเป็นค่าบวกดังนั้นจึงต้องพึงพอใจด้วยว่า:
- a + b - ≤ (-a- + -b-) (สมการ 6)
นิพจน์ก่อนหน้านี้เป็นสิ่งที่คุณต้องการแสดงให้เห็น
ตัวอย่าง
ต่อไปเราจะตรวจสอบอสมการสามเหลี่ยมด้วยตัวอย่างต่างๆ
ตัวอย่าง 1
เรารับค่า a = 2 และค่า b = 5 นั่นคือทั้งจำนวนบวกและเราตรวจสอบว่าอสมการเป็นที่พอใจหรือไม่
- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-
- 7 - ≤ -2- + -5-
7 ≤ 2+ 5
มีการตรวจสอบความเท่าเทียมกันดังนั้นทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยมจึงสำเร็จ
ตัวอย่าง 2
ค่าต่อไปนี้ a = 2 และ b = -5 ถูกเลือกนั่นคือจำนวนบวกและค่าลบอื่น ๆ เราตรวจสอบว่าอสมการนั้นพอใจหรือไม่
- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-
- -3 - ≤ -2- + --5-
3 ≤ 2 + 5
มีความพึงพอใจอสมการจึงได้ตรวจสอบทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยมแล้ว
ตัวอย่างที่ 3
เรารับค่า a = -2 และค่า b = 5 นั่นคือจำนวนลบและค่าบวกอื่น ๆ เราตรวจสอบว่าอสมการนั้นพอใจหรือไม่
- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-
- 3 - ≤ --2- + -5-
3 ≤ 2 + 5
ความไม่เท่าเทียมกันได้รับการตรวจสอบแล้วดังนั้นทฤษฎีบทจึงสำเร็จ
ตัวอย่างที่ 4
ค่าต่อไปนี้ a = -2 และ b = -5 ถูกเลือกนั่นคือทั้งจำนวนลบและเราตรวจสอบว่าอสมการนั้นพอใจหรือไม่
- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-
- -7 - ≤ --2- + --5-
7 ≤ 2+ 5
มีการตรวจสอบความเท่าเทียมกันดังนั้นทฤษฎีบทอสมการของ Minkowski จึงได้รับการตอบสนอง
ตัวอย่างที่ 5
เรารับค่า a = 0 และค่า b = 5 นั่นคือจำนวนศูนย์และค่าบวกอื่น ๆ จากนั้นเราจะตรวจสอบความไม่เท่าเทียมกันว่าพอใจหรือไม่
- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-
- 5 - ≤ -0- + -5-
5 ≤ 0+ 5
มีการเติมเต็มความเท่าเทียมกันดังนั้นจึงมีการตรวจสอบทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยม
ตัวอย่างที่ 6
เรารับค่า a = 0 และค่า b = -7 นั่นคือการบอกว่าจำนวนศูนย์และค่าบวกอื่น ๆ จากนั้นเราจะตรวจสอบว่าอสมการนั้นพอใจหรือไม่
- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-
- -7 - ≤ -0- + --7-
7 ≤ 0+ 7
มีการตรวจสอบความเท่าเทียมกันดังนั้นทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยมจึงได้รับการตอบสนอง
แบบฝึกหัดที่แก้ไข
ในแบบฝึกหัดต่อไปนี้ให้แสดงอสมการสามเหลี่ยมหรืออสมการ Minkowski ทางเรขาคณิตสำหรับตัวเลข a และ b
จำนวน a จะแสดงเป็นส่วนบนแกน X จุดกำเนิด O ตรงกับศูนย์ของแกน X และปลายอีกด้านของเซ็กเมนต์ (ที่จุด P) จะอยู่ในทิศทางบวก (ทางขวา) ของแกน X ถ้า a > 0 แต่ถ้า a <0 มันจะไปทางทิศลบของแกน X หน่วยมากที่สุดเท่าที่ค่าสัมบูรณ์จะระบุ
ในทำนองเดียวกันตัวเลข b จะแสดงเป็นส่วนที่มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุด P จุดสุดขั้วอื่น ๆ นั่นคือจุด Q จะอยู่ทางขวาของ P ถ้า b เป็นบวก (b> 0) และจุด Q จะเป็น -b - หน่วยทางซ้ายของ P ถ้า b <0
แบบฝึกหัด 1
กราฟความไม่เท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมสำหรับ a = 5 และ b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b - โดยที่ c = a + b

แบบฝึกหัด 2
กราฟความไม่เท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมสำหรับ a = 5 และ b = -3
- a + b - ≤ - a - + - b - โดยที่ c = a + b

แบบฝึกหัด 3
แสดงอสมการของรูปสามเหลี่ยมแบบกราฟิกสำหรับ a = -5 และ b = 3
- a + b - ≤ - a - + - b - โดยที่ c = a + b

แบบฝึกหัด 4
สร้างอสมการสามเหลี่ยมแบบกราฟิกสำหรับ a = -5 และ b = -3
- a + b - ≤ - a - + - b - โดยที่ c = a + b

อ้างอิง
- E. Whitesitt (2523). พีชคณิตบูลีนและการประยุกต์ใช้. กองบรรณาธิการ Continental CA
- Mícheál O 'Searcoid. (2003) องค์ประกอบของการวิเคราะห์นามธรรม. . ภาควิชาคณิตศาสตร์. University College Dublin, Beldfield, Dublind
- J. Van Wyk. (2549) คณิตศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์สาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์. สถาบันวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และเทคโนโลยี. สำนักงานมาตรฐานแห่งชาติ. วอชิงตัน ดี.ซี. 20234
- Eric Lehman คณิตศาสตร์สำหรับวิทยาการคอมพิวเตอร์. Google Inc.
- F ทอมสันเลห์ตัน (1980) แคลคูลัส. ภาควิชาคณิตศาสตร์และห้องปฏิบัติการวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และ AI สถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์
- Khan Academy. ทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยม สืบค้นจาก: khanacademy.org
- วิกิพีเดีย อสมการสามเหลี่ยม กู้คืนจาก: es. wikipedia.com
