อนุพันธ์ต่อเนื่อง (พร้อมแบบฝึกหัดที่แก้ไข) - เลข - 2026

อนุพันธ์ต่อเนื่องเป็นผู้ที่ได้รับมาจากฟังก์ชันหนึ่งหลังจากอนุพันธ์อันดับสอง กระบวนการคำนวณอนุพันธ์ต่อเนื่องมีดังต่อไปนี้เรามีฟังก์ชัน f ซึ่งเราสามารถหาอนุพันธ์ได้และได้รับฟังก์ชันอนุพันธ์ f ' เราสามารถหาอนุพันธ์ของ f ได้อีกครั้งโดยได้รับ (f ')'

ฟังก์ชันใหม่นี้เรียกว่าอนุพันธ์อันดับสอง อนุพันธ์ทั้งหมดที่คำนวณจากวินาทีนั้นต่อเนื่องกัน สิ่งเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าลำดับที่สูงขึ้นมีแอปพลิเคชันที่ยอดเยี่ยมเช่นการให้ข้อมูลเกี่ยวกับพล็อตของกราฟของฟังก์ชันการทดสอบอนุพันธ์อันดับสองสำหรับความสุดขั้วสัมพัทธ์และการกำหนดอนุกรมอนันต์

คำนิยาม

ด้วยการใช้สัญกรณ์ของไลบนิซเราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน "y" เทียบกับ "x" คือ dy / dx เพื่อแสดงอนุพันธ์อันดับสองของ "y" โดยใช้สัญกรณ์ของไลบ์นิซเราเขียนดังนี้:

โดยทั่วไปเราสามารถแสดงอนุพันธ์ที่ต่อเนื่องกันได้ดังต่อไปนี้ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซโดยที่ n แทนลำดับของอนุพันธ์

สัญกรณ์อื่น ๆ ที่ใช้มีดังต่อไปนี้:

ตัวอย่างบางส่วนที่เราสามารถเห็นสัญกรณ์ต่างๆ ได้แก่ :

ตัวอย่าง 1

รับอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชัน f ที่กำหนดโดย:

โดยใช้เทคนิคการหาอนุพันธ์ตามปกติเราพบว่าอนุพันธ์ของ f คือ:

โดยการทำซ้ำกระบวนการเราสามารถได้รับอนุพันธ์ที่สองอนุพันธ์ที่สามและอื่น ๆ

สังเกตว่าอนุพันธ์อันดับสี่เป็นศูนย์และอนุพันธ์ของศูนย์เป็นศูนย์ดังนั้นเราจึงมี:

ตัวอย่าง 2

คำนวณอนุพันธ์ที่สี่ของฟังก์ชันต่อไปนี้:

การรับฟังก์ชั่นที่กำหนดเรามีผลลัพธ์:

ความเร็วและความเร่ง

แรงจูงใจอย่างหนึ่งที่นำไปสู่การค้นพบอนุพันธ์คือการค้นหาคำจำกัดความของความเร็วทันที คำจำกัดความอย่างเป็นทางการมีดังนี้:

ให้ y = f (t) เป็นฟังก์ชันที่กราฟอธิบายวิถีของอนุภาค ณ เวลา t จากนั้นความเร็วของมันในเวลา t จะได้รับจาก:

เมื่อได้ความเร็วของอนุภาคแล้วเราสามารถคำนวณความเร่งทันทีซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

ความเร่งทันทีของอนุภาคที่กำหนดเส้นทางโดย y = f (t) คือ:

ตัวอย่าง 1

อนุภาคเคลื่อนที่ไปตามเส้นตามฟังก์ชันตำแหน่ง:

โดยที่ "y" วัดเป็นเมตรและ "t" เป็นวินาที

- ความเร็ว 0 ในทันทีคืออะไร?

- อัตราเร่ง 0 ในทันทีคืออะไร?

เมื่อได้รับฟังก์ชันตำแหน่ง«และ»เราพบว่าความเร็วและความเร่งได้รับตามลำดับโดย:

เพื่อที่จะตอบคำถามแรกก็เพียงพอที่จะกำหนดว่าเมื่อใดที่ฟังก์ชัน v กลายเป็นศูนย์ นี่คือ:

เราดำเนินการกับคำถามต่อไปนี้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกัน:

ตัวอย่าง 2

อนุภาคเคลื่อนที่ไปตามเส้นตามสมการการเคลื่อนที่ต่อไปนี้:

กำหนด "t, y" และ "v" เมื่อ a = 0

รู้ว่าความเร็วและความเร่งได้รับจาก

เราดำเนินการเพื่อรับและรับ:

การสร้าง = 0 เรามี:

จากที่เราสามารถอนุมานได้ว่าค่าของ t สำหรับ a เท่ากับศูนย์คือ t = 1

จากนั้นประเมินฟังก์ชันตำแหน่งและฟังก์ชันความเร็วที่ t = 1 เรามี:

การประยุกต์ใช้งาน

ที่มาที่ชัดเจน

อนุพันธ์ต่อเนื่องสามารถหาได้จากอนุพันธ์โดยนัย

ตัวอย่าง

จากวงรีต่อไปนี้ให้ค้นหา "y":

โดยปริยายเทียบกับ x เรามี:

จากนั้นการหาค่าใหม่โดยปริยายเมื่อเทียบกับ x ทำให้เรา:

ในที่สุดเรามี:

ญาติสุดขั้ว

การใช้งานอีกอย่างหนึ่งที่เราสามารถมอบให้กับอนุพันธ์ลำดับที่สองคือในการคำนวณความสุดขั้วสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน

เกณฑ์ของอนุพันธ์แรกสำหรับความสุดขั้วในท้องถิ่นบอกเราว่าถ้าเรามีฟังก์ชันต่อเนื่อง f ในช่วงเวลา (a, b) และมี c ที่อยู่ในช่วงเวลาดังกล่าวซึ่ง f 'หายไปใน c (นั่นคือ c เป็นจุดวิกฤต) หนึ่งในสามกรณีอาจเกิดขึ้น:

- ถ้า f´(x)> 0 สำหรับ x ใด ๆ ที่เป็นของ (a, c) และ f´(x) <0 สำหรับ x ที่เป็นของ (c, b) ดังนั้น f (c) คือค่าสูงสุดในพื้นที่

- ถ้า f´(x) <0 สำหรับ x ใด ๆ ที่เป็นของ (a, c) และ f´(x)> 0 สำหรับ x ที่เป็นของ (c, b) ดังนั้น f (c) เป็นค่าต่ำสุดในพื้นที่

- ถ้า f´(x) มีเครื่องหมายใน (a, c) และใน (c, b) เหมือนกันแสดงว่า f (c) ไม่ใช่จุดสุดขั้วในท้องถิ่น

การใช้เกณฑ์ของอนุพันธ์อันดับสองเราสามารถทราบได้ว่าจำนวนวิกฤตของฟังก์ชันเป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดในพื้นที่โดยไม่ต้องดูว่าสัญลักษณ์ของฟังก์ชันอยู่ในช่วงเวลาดังกล่าว

เกณฑ์การดริฟท์ที่สองบอกเราว่าถ้า f´(c) = 0 และ f´´ (x) นั้นต่อเนื่องกันใน (a, b) จะเกิดขึ้นว่าถ้า f´´ (c)> 0 แล้ว f (c) เป็นค่าต่ำสุดในพื้นที่และถ้า f´´ (c) <0 ดังนั้น f (c) เป็นค่าสูงสุดในพื้นที่

ถ้า f´´ (c) = 0 เราไม่สามารถสรุปอะไรได้

ตัวอย่าง

ให้ฟังก์ชัน f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ²ค้นหาค่า maxima และ minima ของ f โดยใช้เกณฑ์ของอนุพันธ์อันดับสอง

ก่อนอื่นเราคำนวณ f´(x) และ f´´ (x) และเรามี:

f´(x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

ทีนี้ f´(x) = 0 ถ้าและเฉพาะถ้า 4x (x + 2) (x - 1) = 0 และสิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อ x = 0, x = 1 หรือ x = - 2

ในการตรวจสอบว่าจำนวนวิกฤตที่ได้รับนั้นมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์หรือไม่ก็เพียงพอที่จะประเมินที่ f´´ และสังเกตสัญลักษณ์ของมัน

f´´ (0) = - 8 ดังนั้น f (0) จึงเป็นค่าสูงสุดในพื้นที่

f´´ (1) = 12 ดังนั้น f (1) จึงเป็นค่าต่ำสุดในพื้นที่

f´´ (- 2) = 24 ดังนั้น f (- 2) จึงเป็นค่าต่ำสุดในพื้นที่

ชุดเทย์เลอร์

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่กำหนดดังนี้:

ฟังก์ชันนี้มีรัศมีของการลู่เข้า R> 0 และมีอนุพันธ์ของคำสั่งทั้งหมดใน (-R, R) อนุพันธ์ต่อเนื่องของ f ให้เรา:

การ x = 0 เราจะได้ค่าของ c _nเป็นฟังก์ชันของอนุพันธ์ดังนี้:

ถ้าเราใช้ = 0 เป็นฟังก์ชัน f (นั่นคือ f ^ 0 = f) เราสามารถเขียนฟังก์ชันใหม่ได้ดังนี้:

ทีนี้ลองพิจารณาฟังก์ชั่นเป็นอนุกรมของพาวเวอร์ที่ x = a:

หากเราทำการวิเคราะห์ที่คล้ายคลึงกับก่อนหน้านี้เราจะต้องเขียนฟังก์ชัน f เป็น:

ซีรีส์เหล่านี้เรียกว่าชุดเทย์เลอร์จาก f ถึง a เมื่อ a = 0 เรามีกรณีเฉพาะที่เรียกว่าชุด Maclaurin อนุกรมประเภทนี้มีความสำคัญทางคณิตศาสตร์อย่างยิ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเนื่องจากสิ่งเหล่านี้ทำให้เราสามารถกำหนดฟังก์ชันในคอมพิวเตอร์เช่น e ^x , sin (x) และ cos (x)

ตัวอย่าง

ขอรับชุด Maclaurin สำหรับ e x

โปรดสังเกตว่าถ้า f (x) = e ^xดังนั้น f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^xและ f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1 ดังนั้นอนุกรม Maclaurin ของมันคือ:

อ้างอิง

1. Frank Ayres, J. , & Mendelson, E. (nd) การคำนวณ 5ed. Mc Graw Hill
2. Leithold, L. (1992). การคำนวณด้วยเรขาคณิตวิเคราะห์ ฮาร์ลา, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D. , & Rigdon, SE (2007) การคำนวณ เม็กซิโก: การศึกษาของเพียร์สัน.
4. แสนซ, เจ. (2548). แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ด้านของสามเหลี่ยม
5. แสนซ. (น.). แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ด้านของสามเหลี่ยม