KURTOSIS: คำจำกัดความประเภทสูตรมันคืออะไรตัวอย่างเช่น - ดูดาส - 2026

โด่งหรือโด่งเป็นพารามิเตอร์ที่สถิติที่ใช้ลักษณะการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแสดงให้เห็นระดับของความเข้มข้นของค่ารอบวัดกลาง ซึ่งเรียกอีกอย่างว่า "เกรดสูงสุด"

คำนี้มาจากภาษากรีก "kurtos" ซึ่งแปลว่าโค้งดังนั้น kurtosis จึงระบุระดับของการชี้หรือการกระจายของการกระจายดังที่เห็นในรูปต่อไปนี้:

รูปที่ 1. kurtosis ประเภทต่างๆ ที่มา: F. Zapata

ค่าเกือบทั้งหมดของตัวแปรสุ่มมักจะจับกลุ่มรอบค่ากลางเช่นค่าเฉลี่ย แต่ในการแจกแจงบางค่าจะกระจายมากกว่าค่าอื่น ๆ ส่งผลให้เส้นโค้งที่แบนราบหรือบางลง

คำนิยาม

kurtosis เป็นค่าตัวเลขโดยทั่วไปของการแจกแจงความถี่แต่ละครั้งซึ่งตามความเข้มข้นของค่ารอบค่าเฉลี่ยแบ่งออกเป็นสามกลุ่ม:

- Leptokurtic:ซึ่งมีค่ากระจุกอยู่รอบ ๆ ค่าเฉลี่ยดังนั้นการแจกแจงจึงค่อนข้างแหลมและเรียว (รูปที่ 1 ซ้าย)

- Mesocúrtic:มีค่าความเข้มข้นปานกลางรอบค่าเฉลี่ย (รูปที่ 1 ตรงกลาง)

- Platicúrtica:การกระจายนี้มีรูปร่างกว้างขึ้นเนื่องจากค่ามีแนวโน้มที่จะกระจายตัวมากขึ้น (รูปที่ 1 ทางด้านขวา)

สูตรและสมการ

kurtosis สามารถมีมูลค่าใด ๆ โดยไม่มีข้อ จำกัด การคำนวณจะดำเนินการขึ้นอยู่กับวิธีการส่งข้อมูล สัญกรณ์ที่ใช้ในแต่ละกรณีมีดังต่อไปนี้:

- ค่าสัมประสิทธิ์ของ kurtosis: g ₂

- ค่าเฉลี่ยเลขคณิต: X หรือ x พร้อมแถบ

- ค่า i-th: x _i

- ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน: σ

- จำนวนข้อมูล: N

- ความถี่ของค่า i-th: f _i

- แบรนด์คลาส: mx _i

ด้วยสัญกรณ์นี้เราจึงนำเสนอสูตรที่ใช้มากที่สุดในการค้นหา kurtosis:

- Kurtosis ตามการนำเสนอข้อมูล

ข้อมูลไม่ได้จัดกลุ่มหรือจัดกลุ่มตามความถี่

ข้อมูลจัดกลุ่มตามช่วงเวลา

kurtosis ส่วนเกิน

เรียกอีกอย่างว่าค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดเป้าหมายของฟิชเชอร์หรือการวัดของฟิชเชอร์ใช้เพื่อเปรียบเทียบการแจกแจงภายใต้การศึกษากับการแจกแจงปกติ

เมื่อ kurtosis ส่วนเกินเป็น 0 แสดงว่าเราอยู่ต่อหน้าการแจกแจงแบบปกติหรือ Gaussian bell ด้วยวิธีนี้เมื่อใดก็ตามที่มีการคำนวณความเคอร์โทซิสของการแจกแจงส่วนเกินเราจะเปรียบเทียบกับการแจกแจงแบบปกติ

สำหรับทั้งข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่มและข้อมูลรวมค่าสัมประสิทธิ์การชี้ตำแหน่งของฟิชเชอร์ซึ่งแสดงโดย K คือ:

K = กรัม₂ - 3

ตอนนี้สามารถแสดงให้เห็นว่าเคอร์โทซิสของการแจกแจงแบบปกติคือ 3 ดังนั้นหากค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดเป้าหมายของฟิชเชอร์เป็น 0 หรือใกล้เคียงกับ 0 และมีการแจกแจงแบบmesocúrtic ถ้า K> 0 การแจกแจงเป็น leptokurtic และถ้า K <0 มันเป็นplaticúrtic

Kurtosis คืออะไร?

Kurtosis เป็นการวัดความแปรปรวนที่ใช้ในการระบุลักษณะสัณฐานวิทยาของการกระจาย ด้วยวิธีนี้สามารถเปรียบเทียบการแจกแจงแบบสมมาตรกับค่าเฉลี่ยเดียวกันและการกระจายตัวเดียวกัน (กำหนดโดยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน)

การมีการวัดความแปรปรวนช่วยให้มั่นใจได้ว่าค่าเฉลี่ยมีความน่าเชื่อถือและช่วยในการควบคุมการเปลี่ยนแปลงในการแจกแจง ตัวอย่างเช่นลองดูสองสถานการณ์นี้

เงินเดือนของ 3 แผนก

สมมติว่ากราฟต่อไปนี้แสดงการกระจายเงินเดือนของ 3 แผนกใน บริษัท เดียวกัน:

รูปที่ 2 การแจกแจงสามครั้งที่มี kurtosis ต่างกันแสดงให้เห็นสถานการณ์จริง (จัดทำโดย Fanny Zapata)

Curve A เป็นเส้นโค้งที่บางที่สุดและจากรูปแบบของมันสามารถอนุมานได้ว่าเงินเดือนส่วนใหญ่ของแผนกนั้นใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยมากดังนั้นพนักงานส่วนใหญ่จึงได้รับค่าตอบแทนที่ใกล้เคียงกัน

ในส่วนของมันในแผนก B เส้นโค้งค่าจ้างจะเป็นไปตามการแจกแจงปกติเนื่องจากเส้นโค้งเป็นแบบ mesocurtic ซึ่งเราถือว่าค่าจ้างถูกกระจายแบบสุ่ม

และในที่สุดเราก็มีเส้นโค้ง C ซึ่งแบนมากเป็นสัญญาณว่าในแผนกนี้ช่วงเงินเดือนกว้างกว่าในแผนกอื่น ๆ มาก

ผลการสอบ

ตอนนี้สมมติว่าเส้นโค้งสามเส้นในรูปที่ 2 แสดงถึงผลลัพธ์ของการสอบที่นำไปใช้กับนักเรียนสามกลุ่มในวิชาเดียวกัน

กลุ่มที่มีการให้คะแนนแสดงโดย A leptokurtic curve ค่อนข้างเป็นเนื้อเดียวกันส่วนใหญ่ได้รับคะแนนเฉลี่ยหรือใกล้เคียง

นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ว่าผลลัพธ์เกิดจากคำถามทดสอบที่มีระดับความยากไม่มากก็น้อยเหมือนกัน

ในทางกลับกันผลลัพธ์ของกลุ่ม C บ่งบอกถึงความแตกต่างที่มากขึ้นในกลุ่มซึ่งอาจมีนักเรียนโดยเฉลี่ยนักเรียนระดับสูงกว่าบางคนและเอาใจใส่น้อยกว่า

หรืออาจหมายความว่าคำถามทดสอบมีระดับความยากต่างกันมาก

Curve B คือ mesocutic ซึ่งบ่งชี้ว่าผลการทดสอบเป็นไปตามการแจกแจงปกติ โดยปกติจะเป็นกรณีที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุด

ตัวอย่างการทำงานของ kurtosis

ค้นหาค่าสัมประสิทธิ์การให้คะแนนของฟิชเชอร์สำหรับเกรดต่อไปนี้ซึ่งได้รับจากการสอบฟิสิกส์ไปยังกลุ่มนักเรียนโดยมีสเกลตั้งแต่ 1 ถึง 10:

สารละลาย

นิพจน์ต่อไปนี้จะถูกใช้สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่มซึ่งกำหนดไว้ในส่วนก่อนหน้านี้:

K = กรัม₂ - 3

ค่านี้ช่วยให้คุณทราบประเภทของการกระจาย

ในการคำนวณ g _{2 นั้น}สะดวกในการทำอย่างเป็นระเบียบทีละขั้นตอนเนื่องจากต้องแก้ไขการคำนวณทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง

ขั้นตอนที่ 1

ขั้นแรกให้คำนวณค่าเฉลี่ยของผลการเรียน มีข้อมูล N = 11

ขั้นตอนที่ 2

พบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานซึ่งใช้สมการนี้:

σ = 1.992

หรือคุณยังสามารถสร้างตารางซึ่งจำเป็นสำหรับขั้นตอนต่อไปและในแต่ละเทอมของผลรวมที่ต้องการจะถูกเขียนโดยเริ่มต้นด้วย (x _i - X) จากนั้น (x _i - X) ²แล้ว (x _i - X) ⁴ :

ขั้นตอนที่ 3

ดำเนินการจำนวนที่ระบุไว้ในเศษของสูตรสำหรับกรัม2 สำหรับสิ่งนี้จะใช้ผลลัพธ์ของคอลัมน์ทางขวาของตารางก่อนหน้า:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290.15

ดังนั้น:

ก₂ = (1/11) x 290.15 /1.992 ⁴ = 1.675

ค่าสัมประสิทธิ์การชี้ของฟิชเชอร์คือ:

K = กรัม₂ - 3 = 1.675 - 3 = -1.325

สิ่งที่น่าสนใจคือสัญญาณของผลลัพธ์ซึ่งเป็นลบสอดคล้องกับการแจกแจงแบบพลาติคซึ่งสามารถตีความได้ตามที่เคยทำในตัวอย่างก่อนหน้านี้: อาจเป็นหลักสูตรที่แตกต่างกันกับนักเรียนที่มีความสนใจต่างกันหรือคำถามเกี่ยวกับการสอบคือ ระดับความยากต่างกัน

การใช้สเปรดชีตเช่น Excel ช่วยอำนวยความสะดวกในการแก้ไขปัญหาประเภทนี้เป็นอย่างมากและยังมีตัวเลือกในการสร้างกราฟการกระจาย

อ้างอิง

1. Levin, R. 1988. สถิติสำหรับผู้ดูแลระบบ. ครั้งที่ 2 ฉบับ ศิษย์ฮอลล์.
2. มาร์โกเอฟเคอร์โทซิส สืบค้นจาก: economipedia.com.
3. Oliva, J. Asymmetry และ kurtosis สืบค้นจาก: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. การตัดสินใจในการบริหาร. Limusa
5. วิกิพีเดีย โด่ง สืบค้นจาก: en.wikipedia.org.