ค่าคงที่ของการรวม: ความหมายการคำนวณและตัวอย่าง - เลข - 2026

คงที่ของการรวมเป็นมูลค่าเพิ่มให้กับการคำนวณของปฏิยานุพันธ์หรือปริพันธ์ก็ทำหน้าที่ในการเป็นตัวแทนของการแก้ปัญหาที่ทำขึ้นดั้งเดิมของฟังก์ชั่น เป็นการแสดงออกถึงความคลุมเครือโดยธรรมชาติโดยที่ฟังก์ชันใด ๆ มีจำนวนดั้งเดิมที่ไม่สิ้นสุด

ตัวอย่างเช่นถ้าเราใช้ฟังก์ชัน: f (x) = 2x + 1 และเราจะได้ antiderivative:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ; โดยที่Cคือค่าคงที่ของการรวมและแสดงถึงการแปลในแนวดิ่งระหว่างความเป็นไปได้ที่ไม่มีที่สิ้นสุดของดั้งเดิม มันถูกต้องที่จะบอกว่า (x ² + x) เป็นหนึ่งในดั้งเดิมของ f (x)

ที่มา: ผู้เขียน

ในทำนองเดียวกันเราสามารถกำหนด (x ² + x + C ) เป็นค่าดั้งเดิมของ f (x)

คุณสมบัติย้อนกลับ

มันสามารถจะตั้งข้อสังเกตว่าเมื่อสืบมาแสดงออก (x ² + x) ฟังก์ชัน f (x) = 2x + 1 จะได้รับ. นี้เนื่องจากคุณสมบัติผกผันที่มีอยู่ระหว่างรากศัพท์และบูรณาการการทำงาน คุณสมบัตินี้อนุญาตให้รับสูตรการรวมเริ่มต้นจากการสร้างความแตกต่าง ซึ่งทำให้สามารถตรวจสอบปริพันธ์ผ่านอนุพันธ์เดียวกันได้

ที่มา: ผู้เขียน

อย่างไรก็ตาม (x ² + x) ไม่ใช่ฟังก์ชันเดียวที่มีอนุพันธ์เท่ากับ (2x + 1)

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C ) / dx = 2x + 1

โดยที่ 1, 2, 3 และ 4 แทนค่าดั้งเดิมของ f (x) = 2x + 1 ในขณะที่ 5 หมายถึงอินทิกรัลที่ไม่มีกำหนดหรือดั้งเดิมของ f (x) = 2x + 1

ที่มา: ผู้เขียน

ความดั้งเดิมของฟังก์ชันสามารถทำได้โดยกระบวนการต่อต้านหรือกระบวนการอินทิกรัล โดยที่ F จะเป็นค่าดั้งเดิมของ f ถ้าสิ่งต่อไปนี้เป็นจริง

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = ค่าคงที่ของการรวม
• F '(x) = f (x)

จะเห็นได้ว่าฟังก์ชันมีอนุพันธ์เดียวซึ่งแตกต่างจากอนุพันธ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเป็นผลมาจากการรวม

อินทิกรัลไม่แน่นอน

∫ f (x) dx = F (x) + C

มันสอดคล้องกับกลุ่มของเส้นโค้งที่มีรูปแบบเดียวกันซึ่งพบว่าค่าของภาพแต่ละจุดไม่สอดคล้องกัน (x, y) แต่ละฟังก์ชันที่ตอบสนองรูปแบบนี้จะเป็นแบบดั้งเดิมของแต่ละบุคคลและชุดของฟังก์ชันทั้งหมดเรียกว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด

ค่าคงที่ของการรวมจะเป็นค่าที่ทำให้แต่ละฟังก์ชันแตกต่างกันในทางปฏิบัติ

คงที่ของการรวมกลุ่มแสดงให้เห็นการเปลี่ยนแปลงในแนวตั้งในกราฟทั้งหมดคิดเป็นพื้นฐานของฟังก์ชัน เมื่อสังเกตเห็นความขนานระหว่างพวกเขาและความจริงที่ว่าCคือค่าของการกระจัด

ตามแนวทางปฏิบัติทั่วไปค่าคงที่ของการรวมจะแสดงด้วยตัวอักษร "C" หลังการบวกแม้ว่าในทางปฏิบัติจะไม่สนใจว่าค่าคงที่จะถูกเพิ่มหรือลบ มูลค่าที่แท้จริงที่สามารถพบได้ในรูปแบบต่างๆที่แตกต่างกันภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้น

ความหมายอื่นของค่าคงที่ของการรวม

มีการพูดถึงแล้วว่าค่าคงที่ของการรวมถูกนำไปใช้ในสาขาของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ได้อย่างไร เป็นตัวแทนของตระกูลของเส้นโค้งที่กำหนดอินทิกรัลไม่ จำกัด แต่วิทยาศาสตร์และสาขาอื่น ๆ ได้กำหนดค่าคงที่ของการบูรณาการที่น่าสนใจและใช้งานได้จริงซึ่งช่วยอำนวยความสะดวกในการพัฒนาการศึกษาหลายชิ้น

ในทางฟิสิกส์ค่าคงที่ของการรวมสามารถรับได้หลายค่าขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูล ตัวอย่างทั่วไปคือการรู้ฟังก์ชันV (t)ที่แสดงถึงความเร็วของอนุภาคเทียบกับเวลา t เป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อคำนวณค่าดั้งเดิมของ V (t) ฟังก์ชันR (t) จะได้รับซึ่งแสดงถึงตำแหน่งของอนุภาคเทียบกับเวลา

คงที่ของการรวมกลุ่มจะแทนค่าของตำแหน่งที่เริ่มต้นที่เป็นที่เวลา t = 0

ในทำนองเดียวกันถ้าทราบฟังก์ชันA (t)ที่แสดงถึงความเร่งของอนุภาคเทียบกับเวลา ดั้งเดิมของ (t) จะส่งผลในการทำงาน V (t) ที่คงที่ของการรวมจะมีค่าของความเร็ว V เริ่มต้น0

ในทางเศรษฐศาสตร์โดยการรวมพื้นฐานของฟังก์ชันต้นทุน คงที่ของการรวมกลุ่มจะเป็นตัวแทนของค่าใช้จ่ายคงที่ และแอพพลิเคชั่นอื่น ๆ อีกมากมายที่ใช้ประโยชน์จากแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์

ค่าคงที่ของการรวมคำนวณอย่างไร?

ในการคำนวณค่าคงที่ของการรวมนั้นจำเป็นต้องทราบเงื่อนไขเริ่มต้นเสมอ ซึ่งรับผิดชอบในการกำหนดว่าไพรมารีตัวใดที่เป็นไปได้ที่สอดคล้องกัน

ในหลาย ๆ แอปพลิเคชันจะถือว่าเป็นตัวแปรอิสระ ณ เวลา (t) โดยที่ค่าคงที่Cรับค่าที่กำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นของกรณีเฉพาะ

ถ้าเราใช้ตัวอย่างเริ่มต้น: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

เงื่อนไขเริ่มต้นที่ถูกต้องสามารถกำหนดเงื่อนไขให้กราฟผ่านพิกัดเฉพาะได้ ตัวอย่างเช่นเรารู้ว่าดึกดำบรรพ์ (x ² + x + C)ผ่านจุด (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; นี่คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

F (1) = 2

เราแทนที่คำตอบทั่วไปด้วยความเท่าเทียมกันนี้

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

จากที่มันเป็นไปตามนั้นC = 0

ด้วยวิธีนี้ดั้งเดิมที่สอดคล้องกันสำหรับกรณีนี้คือF (x) = x ² + x

มีหลายประเภทของการออกกำลังกายเป็นตัวเลขที่ทำงานร่วมกับมีค่าคงที่ของการรวมกลุ่มในความเป็นจริงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ไม่ได้หยุดถูกนำไปใช้ในการตรวจสอบในปัจจุบัน สามารถพบได้ในระดับการศึกษาที่แตกต่างกัน ตั้งแต่การคำนวณเบื้องต้นทางฟิสิกส์เคมีชีววิทยาเศรษฐศาสตร์และอื่น ๆ

นอกจากนี้ยังได้รับการชื่นชมในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งค่าคงที่ในการรวมสามารถรับค่าและการแก้ปัญหาที่แตกต่างกันได้เนื่องจากการหาอนุพันธ์และการบูรณาการหลายแบบที่ดำเนินการในเรื่องนี้

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

1. ปืนใหญ่ที่อยู่สูง 30 เมตรยิงโพรเจกไทล์ในแนวตั้งขึ้นไป ความเร็วเริ่มต้นของโพรเจกไทล์คือ 25 m / s ตัดสินใจว่า:

• ฟังก์ชันที่กำหนดตำแหน่งของโพรเจกไทล์ตามเวลา
• เวลาบินหรือช่วงเวลาที่อนุภาคกระทบพื้น

เป็นที่ทราบกันดีว่าในการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงความเร่งจะแปรผันอย่างสม่ำเสมอเป็นค่าคงที่ นี่คือกรณีของการยิงโพรเจกไทล์ซึ่งความเร่งจะเป็นแรงโน้มถ่วง

g = - 10 เมตร / วินาที²

เป็นที่ทราบกันดีว่าความเร่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งซึ่งบ่งบอกถึงการรวมสองครั้งในความละเอียดของการออกกำลังกายจึงได้ค่าคงที่การรวมสองค่า

A (เสื้อ) = -10

V (เสื้อ) = ∫A (เสื้อ) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

เงื่อนไขเริ่มต้นของการออกกำลังกายระบุว่าความเร็วเริ่มต้นคือ V ₀ = 25 m / s นี่คือความเร็วในช่วงเวลาหนึ่ง t = 0 ด้วยวิธีนี้จึงเป็นที่พอใจว่า:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ และC ₁ = 25

ด้วยฟังก์ชันความเร็วที่กำหนดไว้

V (เสื้อ) = -10t + 25; สามารถสังเกตความคล้ายคลึงกันได้ด้วยสูตร MRUV (V _f = V ₀ + axt)

ในลักษณะที่คล้ายคลึงกันเราจะดำเนินการรวมฟังก์ชันความเร็วเพื่อให้ได้นิพจน์ที่กำหนดตำแหน่ง:

R (เสื้อ) = ∫V (เสื้อ) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (ตำแหน่งดั้งเดิม)

ทราบตำแหน่งเริ่มต้น R (0) = 30 ม. จากนั้นจะคำนวณค่าดั้งเดิมของกระสุนปืน

R (0) = 30 ม. = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂ . โดยที่C ₂ = 30

ตัวอย่าง 2

1. ค้นหา f (x) ดั้งเดิมที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น:

• ฉ '' (x) = 4; ฉ '(2) = 2; ฉ (0) = 7

ด้วยข้อมูลของอนุพันธ์อันดับสอง f '' (x) = 4 กระบวนการต่อต้านจะเริ่มขึ้น

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

จากนั้นเมื่อทราบเงื่อนไข f '(2) = 2 เราจะดำเนินการต่อ:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 และ f '(x) = 4x - 8

เราดำเนินการในลักษณะเดียวกันสำหรับค่าคงที่สองของการรวม

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

ทราบเงื่อนไขเริ่มต้น f (0) = 7 แล้วเราดำเนินการต่อ:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 และf (x) = 2x ² - 8x + 7

• ฉ '' (x) = x ² ; ฉ '(0) = 6; ฉ (0) = 3

ในทำนองเดียวกันกับปัญหาก่อนหน้านี้เรากำหนดอนุพันธ์แรกและฟังก์ชันดั้งเดิมจากเงื่อนไขเริ่มต้น

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ² ) DX = (x ³ /3) + C ₁

ด้วยเงื่อนไข f '(0) = 6 เราดำเนินการต่อ:

(0 ^3/3 ) + ค₁ = 6; ที่ไหน C ₁ = 6 และ F '(x) = (x ³ /3) + 6

จากนั้นค่าคงที่สองของการรวม

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ DX = (x ⁴ /12) + 6x + C ₂

ทราบเงื่อนไขเริ่มต้น f (0) = 3 แล้วเราดำเนินการต่อ:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; โดยที่ C ₂ = 3

ดังนั้นเราจึงได้รับเฉพาะดั้งเดิม

f (x) = (x ⁴ /12) + 6x + 3

ตัวอย่างที่ 3

1. กำหนดฟังก์ชันดั้งเดิมตามอนุพันธ์และจุดบนกราฟ:

• dy / dx = 2x - 2 ซึ่งผ่านจุด (3, 2)

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าอนุพันธ์หมายถึงความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดที่กำหนด ในกรณีที่ไม่ถูกต้องที่จะสมมติว่ากราฟของอนุพันธ์สัมผัสกับจุดที่ระบุเนื่องจากสิ่งนี้เป็นของกราฟของฟังก์ชันดั้งเดิม

ด้วยวิธีนี้เราจะแสดงสมการเชิงอนุพันธ์ดังนี้:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

การใช้เงื่อนไขเริ่มต้น:

2 = (3) ² - 2 (3) + ค

C = -1

ได้รับ: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1 ที่ผ่านจุด (0, 2)

เราแสดงสมการเชิงอนุพันธ์ดังนี้:

การใช้เงื่อนไขเริ่มต้น:

2 = (0) ² - 2 (0) + ค

C = 2

เราได้รับ: f (x) = x ³ - x + 2

แบบฝึกหัดที่เสนอ

แบบฝึกหัด 1

1. ค้นหา f (x) ดั้งเดิมที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น:

• ฉ '' (x) = x; ฉ '(3) = 1; ฉ (2) = 5
• ฉ '' (x) = x + 1; ฉ '(2) = 2; ฉ (0) = 1
• ฉ '' (x) = 1; ฉ '(2) = 3; ฉ (1) = 10
• ฉ '' (x) = -x; ฉ '(5) = 1; ฉ (1) = -8

แบบฝึกหัด 2

1. บอลลูนที่พุ่งขึ้นด้วยความเร็ว 16 ฟุต / วินาทีทำให้ถุงทรายตกลงมาจากความสูง 64 ฟุตเหนือระดับพื้นดิน

• กำหนดเวลาบิน
• เวกเตอร์ V _{f จะเป็นอย่างไร}เมื่อกระทบพื้น?

แบบฝึกหัด 3

1. รูปแสดงกราฟเวลาเร่งความเร็วของรถที่เคลื่อนที่ไปในทิศทางบวกของแกน x รถกำลังแล่นด้วยความเร็วคงที่ 54 กม. / ชม. เมื่อคนขับใช้เบรกเพื่อหยุดใน 10 วินาที ตรวจสอบ:

• การเร่งความเร็วเริ่มต้นของรถ
• ความเร็วของรถที่ t = 5s
• การเคลื่อนที่ของรถระหว่างการเบรก

ที่มา: ผู้เขียน

แบบฝึกหัด 4

1. กำหนดฟังก์ชันดั้งเดิมตามอนุพันธ์และจุดบนกราฟ:

• dy / dx = x ที่ผ่านจุด (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1 ซึ่งผ่านจุด (0, 0)
• dy / dx = -x + 1 ซึ่งผ่านจุด (-2, 2)

อ้างอิง

1. แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ วิธีการอินทิกรัลและอินทิเกรตที่ไม่มีกำหนด Wilson, Velásquez Bastidas มหาวิทยาลัย Magdalena 2014
2. สจ๊วต, J. (2001). การคำนวณตัวแปร วิชชาต้น เม็กซิโก: Thomson Learning.
3. Jiménez, R. (2011). คณิตศาสตร์ VI. แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ เม็กซิโก: การศึกษาของเพียร์สัน.
4. ฟิสิกส์ I. Mc Graw hill