ชุดไม่มีที่สิ้นสุด: คุณสมบัติตัวอย่าง - เลข - 2026

เป็นที่เข้าใจกันว่าเซตอนันต์เป็นเซตที่จำนวนองค์ประกอบนับไม่ได้ นั่นคือไม่ว่าองค์ประกอบจะมีจำนวนมากเพียงใดก็ยังสามารถค้นหาเพิ่มเติมได้เสมอ

ตัวอย่างที่พบมากที่สุดคือชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดของจำนวนธรรมชาติNไม่สำคัญว่าตัวเลขจะมากแค่ไหนเนื่องจากคุณสามารถได้ตัวเลขที่ใหญ่กว่าในกระบวนการที่ไม่มีจุดสิ้นสุด:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… …………………… }

รูปที่ 1. สัญลักษณ์ของอินฟินิตี้ (pixabay)

ชุดของดวงดาวในจักรวาลนั้นยิ่งใหญ่มาก แต่ก็ไม่ทราบแน่ชัดว่าเป็นวง จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด ตรงกันข้ามกับจำนวนดาวเคราะห์ในระบบสุริยะซึ่งเป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นเซต จำกัด

คุณสมบัติของเซตอนันต์

ในคุณสมบัติของเซตอนันต์เราสามารถชี้ให้เห็นสิ่งต่อไปนี้:

1- การรวมกันของชุดอนันต์สองชุดก่อให้เกิดเซตอนันต์ใหม่

2- การรวมกันของเซต จำกัด กับเซตอนันต์ทำให้เกิดเซตอนันต์ใหม่

3- หากเซตย่อยของเซตที่กำหนดเป็นค่าอนันต์เซตเดิมก็จะไม่มีที่สิ้นสุดเช่นกัน คำสั่งต่างตอบแทนไม่เป็นความจริง

คุณไม่สามารถหาจำนวนธรรมชาติที่สามารถแสดงคาร์ดินาลิตี้หรือจำนวนองค์ประกอบของเซตอนันต์ได้ อย่างไรก็ตาม Georg Cantor นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้นำแนวคิดเรื่องจำนวนไม่ จำกัด เพื่ออ้างถึงลำดับอนันต์ที่มากกว่าจำนวนธรรมชาติใด ๆ

ตัวอย่าง

N ธรรมชาติ

ตัวอย่างที่พบบ่อยที่สุดของเซตอนันต์คือจำนวนธรรมชาติ จำนวนธรรมชาติคือจำนวนที่ใช้ในการนับอย่างไรก็ตามจำนวนทั้งหมดที่อาจมีอยู่นั้นนับไม่ได้

ชุดของจำนวนธรรมชาติไม่รวมศูนย์และโดยทั่วไปจะแสดงเป็นเซตNซึ่งในรูปแบบที่ครอบคลุมจะแสดงดังนี้:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ….} และเห็นได้ชัดว่าเป็นเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุด

จุดไข่ปลาใช้เพื่อระบุว่าหลังจากตัวเลขหนึ่งแล้วอีกตัวจะตามด้วยอีกตัวในกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีที่สิ้นสุด

ชุดของจำนวนธรรมชาติร่วมกับชุดที่ประกอบด้วยศูนย์จำนวน (0) เป็นที่รู้จักกันเป็นชุดN +

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, … .} ซึ่งเป็นผลมาจากการรวมกันของชุดอนันต์ที่Nกับชุด จำกัดO = {0} ส่งผลให้ในชุดอนันต์N +

จำนวนเต็ม Z

เซตของจำนวนเต็มZประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติจำนวนธรรมชาติที่มีเครื่องหมายลบและศูนย์

จำนวนเต็มZถือเป็นวิวัฒนาการที่เกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติN ที่ใช้มา แต่ดั้งเดิมและดั้งเดิมในกระบวนการนับ

ในชุดตัวเลขZของจำนวนเต็มศูนย์จะรวมเพื่อนับหรือนับอะไรเลยและจำนวนลบเพื่อนับการสกัดการสูญเสียหรือการขาดบางสิ่ง

เพื่อแสดงแนวคิดสมมติว่ายอดคงเหลือติดลบปรากฏในบัญชีธนาคาร ซึ่งหมายความว่าบัญชีนั้นมีค่าต่ำกว่าศูนย์และไม่เพียง แต่บัญชีนั้นว่างเปล่า แต่ยังมีความแตกต่างที่ขาดหายไปหรือเป็นลบซึ่งจะต้องเปลี่ยนให้กับธนาคาร

ในรูปแบบที่กว้างขวางเซตZของจำนวนเต็มไม่มีที่สิ้นสุดเขียนดังนี้:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… .. }

เหตุผล Q

ในวิวัฒนาการของกระบวนการนับและการแลกเปลี่ยนสิ่งของสินค้าหรือบริการตัวเลขเศษส่วนหรือเหตุผลจะปรากฏขึ้น

ตัวอย่างเช่นในการแลกเปลี่ยนครึ่งก้อนกับแอปเปิ้ลสองลูกในขณะที่บันทึกธุรกรรมนั้นเกิดขึ้นกับคนที่เขียนว่าครึ่งหนึ่งควรจะเขียนโดยแบ่งหรือแบ่งออกเป็นสองส่วน: ½ แต่ครึ่งหนึ่งของขนมปังครึ่งหนึ่งจะถูกบันทึกไว้ในบัญชีแยกประเภทดังนี้½ / ½ = ¼

เป็นที่ชัดเจนว่ากระบวนการแบ่งนี้อาจไม่มีที่สิ้นสุดในทางทฤษฎีแม้ว่าในทางปฏิบัติจะเป็นไปจนกระทั่งถึงอนุภาคสุดท้ายของขนมปังก็ตาม

ชุดของตัวเลขที่เป็นเหตุเป็นผล (หรือเศษส่วน) แสดงเป็นดังนี้:

ถาม = {………, -3, …., -2, … .. , -1, ……, 0, … .. , 1, ……, 2, … .. , 3, …… .. }

จุดไข่ปลาระหว่างจำนวนเต็มทั้งสองหมายความว่าระหว่างตัวเลขหรือค่าทั้งสองนั้นมีพาร์ติชันหรือการหารไม่สิ้นสุด นั่นคือเหตุผลที่ว่าเซตของจำนวนตรรกยะมีความหนาแน่นไม่สิ้นสุด เนื่องจากไม่ว่าจำนวนตรรกยะสองจำนวนจะใกล้กันเพียงใดค่าอนันต์ก็สามารถพบได้

เพื่อเป็นตัวอย่างข้างต้นสมมติว่าเราถูกขอให้หาจำนวนตรรกยะระหว่าง 2 ถึง 3 จำนวนนี้อาจเป็น2⅓ซึ่งเรียกว่าจำนวนคละซึ่งประกอบด้วย 2 ส่วนทั้งหมดบวกหนึ่งในสามของหน่วยซึ่งก็คือ เทียบเท่ากับการเขียน 4/3

ระหว่าง 2 ถึง2⅓สามารถหาค่าอื่นได้ตัวอย่างเช่น2⅙ และระหว่าง 2 ถึง2⅙สามารถหาค่าอื่นได้ตัวอย่างเช่น2⅛ ระหว่างสองคนนี้และระหว่างอีกคนหนึ่งและอีกคนหนึ่ง

รูปที่ 2. การหารไม่มีที่สิ้นสุดในจำนวนตรรกยะ (วิกิมีเดียคอมมอนส์)

ตัวเลขไม่ลงตัว I

มีตัวเลขที่ไม่สามารถเขียนเป็นส่วนหรือเศษของจำนวนเต็มสองจำนวนได้ มันคือเซตตัวเลขที่เรียกว่าเซต I ของจำนวนอตรรกยะและยังเป็นเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกด้วย

องค์ประกอบที่โดดเด่นหรือตัวแทนของชุดตัวเลขนี้ ได้แก่ หมายเลข pi (π), หมายเลขออยเลอร์ (e), อัตราส่วนทองคำหรือหมายเลขทองคำ (φ) ตัวเลขเหล่านี้สามารถเขียนได้โดยใช้จำนวนตรรกยะเท่านั้น:

π = 3.1415926535897932384626433832795 …… (และต่อไปไม่มีที่สิ้นสุด…)

e = 2.7182818284590452353602874713527 ……. (และดำเนินต่อไปจนเกินขอบเขต…)

φ = 1.61803398874989484820 …… .. (ถึงอินฟินิตี้… .. และต่อไป… .. )

จำนวนอตรรกยะอื่น ๆ จะปรากฏขึ้นเมื่อพยายามหาคำตอบสำหรับสมการที่ง่ายมากเช่นสมการ X ^ 2 = 2 ไม่มีคำตอบที่เป็นเหตุเป็นผลที่แน่นอน คำตอบที่แน่นอนแสดงโดยสัญลักษณ์ต่อไปนี้: X = √2ซึ่งอ่าน x เท่ากับรากของสอง นิพจน์เชิงเหตุผล (หรือทศนิยม) โดยประมาณสำหรับ√2คือ:

√2≈1.4142135623730950488016887242097

มีจำนวนอตรรกยะจำนวนนับไม่ถ้วน√3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) เพื่อตั้งชื่อไม่กี่ตัว

ชุดของจริง R

จำนวนจริงคือชุดตัวเลขที่ใช้บ่อยที่สุดในแคลคูลัสทางคณิตศาสตร์ฟิสิกส์และวิศวกรรม ชุดตัวเลขนี้คือการรวมกันของจำนวนตรรกยะQและจำนวนอตรรกยะI :

R = Q U ฉัน

อินฟินิตี้มากกว่าอินฟินิตี้

ในเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดบางเซตมีค่ามากกว่าเซตอื่น ๆ ตัวอย่างเช่นชุดของตัวเลขธรรมชาติNเป็นอนันต์ แต่เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนเต็มZซึ่งเป็นที่สิ้นสุดไม่มีที่สิ้นสุดดังนั้นZมากกว่าอนันต์ชุดN

ในทำนองเดียวกันชุดของจำนวนเต็มZเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนจริงRและดังนั้นจึงชุดRคือ "อินฟินิตี้" อนันต์ชุดZ

อ้างอิง

1. Celeberrima ตัวอย่างเซตอนันต์ สืบค้นจาก: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). คณิตศาสตร์พื้นฐาน ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับแคลคูลัส Lulu.com
3. กาโร, M. (2014). คณิตศาสตร์: สมการกำลังสอง: วิธีแก้สมการกำลังสอง Marilù Garo
4. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). คณิตศาสตร์เพื่อการจัดการและเศรษฐศาสตร์. การศึกษาของเพียร์สัน.
5. Jiménez, J. , Rodríguez, M. , Estrada, R. (2005) คณิตศาสตร์ 1 ก.ย. ธรณีประตู
6. Preciado, CT (2005). รายวิชาคณิตศาสตร์ 3. กองบรรณาธิการ Progreso
7. ร็อค, นิวเม็กซิโก (2549). พีชคณิตฉันง่าย! ง่ายมาก. ทีม Rock Press
8. ซัลลิแวนเจ. (2549). พีชคณิตและตรีโกณมิติ. การศึกษาของเพียร์สัน.
9. วิกิพีเดีย ชุดไม่มีที่สิ้นสุด สืบค้นจาก: es.wikipedia.com