ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด: สูตรการคำนวณการตีความตัวอย่าง - ดูดาส - 2026

ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจเป็นตัวเลขระหว่าง 0 และ 1 ที่แสดงถึงส่วนของคะแนน (X, Y) ที่เป็นไปตามสายการถดถอยของความเหมาะสมของชุดข้อมูลที่มีสองตัวแปร

นอกจากนี้ยังเป็นที่รู้จักกันเป็นความดีของพอดีและจะเขียนแทนด้วย R 2 ในการคำนวณผลหารระหว่างความแปรปรวนของข้อมูลŶiที่ประมาณโดยแบบจำลองการถดถอยและความแปรปรวนของข้อมูล Yi ที่สอดคล้องกับ Xi ของข้อมูลแต่ละตัวจะถูกนำมา

R ² = Sŷ / Sy

รูปที่ 1. ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์สำหรับข้อมูลสี่คู่ ที่มา: F. Zapata

ถ้า 100% ของข้อมูลอยู่ในบรรทัดของฟังก์ชันการถดถอยค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดจะเป็น 1

ในทางตรงกันข้ามหากสำหรับชุดข้อมูลและฟังก์ชันความพอดีค่าสัมประสิทธิ์ R ²จะเท่ากับ 0.5 ก็สามารถกล่าวได้ว่าความพอดีนั้นน่าพอใจหรือดี 50%

ในทำนองเดียวกันเมื่อแบบจำลองการถดถอยให้ค่า R ²ต่ำกว่า 0.5 แสดงว่าฟังก์ชันการปรับแต่งที่เลือกไม่ปรับให้เข้ากับข้อมูลได้อย่างน่าพอใจดังนั้นจึงจำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชันการปรับแต่งอื่น

และเมื่อความแปรปรวนร่วมหรือค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ดังนั้นตัวแปร X และ Y ในข้อมูลจะไม่สัมพันธ์กันดังนั้น R ²จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ด้วย

วิธีการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด?

ในส่วนก่อนหน้าได้กล่าวไว้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของการกำหนดคำนวณโดยการหาผลหารระหว่างผลต่าง:

- ประเมินโดยฟังก์ชันการถดถอยของตัวแปร Y

- ตัวแปร Yi ที่สอดคล้องกับตัวแปร Xi แต่ละคู่ของคู่ข้อมูล N

ระบุไว้ในทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนว่า:

R ² = Sŷ / Sy

จากสูตรนี้จะเป็นไปตามที่ R ²แสดงถึงสัดส่วนของความแปรปรวนที่อธิบายโดยแบบจำลองการถดถอย หรืออีกวิธีหนึ่งคือ R ²สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ซึ่งเทียบเท่ากับสูตรก่อนหน้านี้:

ร² = 1 - (Sε / Sy)

โดยที่Sεแสดงถึงความแปรปรวนของเศษเหลือεi = Ŷi - Yi ในขณะที่ Sy คือความแปรปรวนของชุดค่า Yi ของข้อมูล ในการตรวจสอบŶiจะใช้ฟังก์ชันการถดถอยซึ่งหมายถึงการยืนยันว่าŶi = f (Xi)

ความแปรปรวนของชุดข้อมูล Yi โดยมี i ตั้งแต่ 1 ถึง N คำนวณด้วยวิธีนี้:

Sy =

จากนั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกันสำหรับSŷหรือSε

กรณีตัวอย่าง

ในการแสดงรายละเอียดวิธีการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดเราจะใช้ชุดข้อมูลสี่คู่ต่อไปนี้:

(X, Y): {(1, 1); (2. 3); (3, 6) และ (4, 7)}

มีการเสนอความพอดีของการถดถอยเชิงเส้นสำหรับชุดข้อมูลนี้ซึ่งได้มาโดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุด:

f (x) = 2.1 x - 1

ใช้ฟังก์ชั่นการปรับแต่งนี้จะได้รับแรงบิด:

(X, Ŷ): {(1, 1.1); (2, 3.2); (3, 5.3) และ (4, 7.4)}

จากนั้นเราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับ X และ Y:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2.5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4.25

ความแปรปรวน Sy

ไซ = / (4-1) =

= = 7,583

ความแปรปรวนSŷ

Sŷ = / (4-1) =

= = 7.35

ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด R ²

R ² = Sŷ / Sy = 7.35 / 7.58 = 0.97

การตีความ

ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดสำหรับกรณีตัวอย่างที่พิจารณาในส่วนก่อนหน้ากลายเป็น 0.98 กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการปรับเชิงเส้นผ่านฟังก์ชัน:

f (x) = 2.1x - 1

มีความน่าเชื่อถือ 98% ในการอธิบายข้อมูลที่ได้มาโดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุด

นอกจากค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดแล้วยังมีค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เชิงเส้นหรือเรียกอีกอย่างว่าสัมประสิทธิ์ของเพียร์สัน ค่าสัมประสิทธิ์นี้แสดงเป็น r คำนวณโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

r = Sxy / (Sx ไซ)

ที่นี่ตัวเศษแสดงถึงความแปรปรวนร่วมระหว่างตัวแปร X และ Y ในขณะที่ตัวส่วนคือผลคูณของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับตัวแปร X และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับตัวแปร Y

ค่าสัมประสิทธิ์ของเพียร์สันสามารถรับค่าได้ระหว่าง -1 ถึง +1 เมื่อสัมประสิทธิ์นี้มีแนวโน้มที่ +1 จะมีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงระหว่าง X และ Y หากมีแนวโน้มที่จะเป็น -1 แทนแสดงว่ามีความสัมพันธ์เชิงเส้น แต่เมื่อ X เพิ่มขึ้น Y จะลดลง ในที่สุดมันก็ใกล้เคียงกับ 0 ไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปร

ควรสังเกตว่าค่าสัมประสิทธิ์ของการกำหนดเกิดขึ้นพร้อมกับกำลังสองของสัมประสิทธิ์เพียร์สันเฉพาะเมื่อค่าแรกได้รับการคำนวณตามความพอดีเชิงเส้น แต่ความเท่าเทียมกันนี้ใช้ไม่ได้กับความพอดีที่ไม่ใช่เชิงเส้นอื่น ๆ

ตัวอย่าง

- ตัวอย่าง 1

นักเรียนมัธยมปลายกลุ่มหนึ่งเริ่มกำหนดกฎหมายเชิงประจักษ์สำหรับช่วงเวลาของลูกตุ้มตามความยาวของมัน เพื่อให้บรรลุวัตถุประสงค์นี้พวกเขาจะทำการวัดแบบต่างๆซึ่งวัดเวลาของการสั่นของลูกตุ้มสำหรับความยาวที่แตกต่างกันโดยได้รับค่าต่อไปนี้:

ความยาว (ม.)	ช่วงเวลา
0.1	0.6
0.4	1.31
0.7	1.78
หนึ่ง	1.93
1.3	2.19
1.6	2.66
1.9	2.77
3	3.62

ขอให้สร้างพล็อตข้อมูลกระจายและดำเนินการพอดีเชิงเส้นผ่านการถดถอย นอกจากนี้แสดงสมการการถดถอยและสัมประสิทธิ์การกำหนด

สารละลาย

รูปที่ 2. กราฟเฉลยแบบฝึกหัด 1. ที่มา: F. Zapata.

สามารถสังเกตค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดได้ค่อนข้างสูง (95%) จึงคิดได้ว่าความพอดีเชิงเส้นเหมาะสมที่สุด อย่างไรก็ตามหากดูจุดร่วมกันดูเหมือนว่าจะมีแนวโน้มที่จะโค้งลง รายละเอียดนี้ไม่ได้พิจารณาในโมเดลเชิงเส้น

- ตัวอย่าง 2

สำหรับข้อมูลเดียวกันในตัวอย่างที่ 1 ให้สร้างแผนภูมิกระจายของข้อมูล ในโอกาสนี้ไม่เหมือนกับตัวอย่างที่ 1 การปรับการถดถอยจะถูกร้องขอโดยใช้ฟังก์ชันที่เป็นไปได้

รูปที่ 3. กราฟเฉลยแบบฝึกหัด 2. ที่มา: F. Zapata.

แสดงฟังก์ชันความพอดีและค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด R ²ด้วย

สารละลาย

ฟังก์ชันที่เป็นไปได้อยู่ในรูปแบบ f (x) = Ax ^Bโดยที่ A และ B เป็นค่าคงที่ที่กำหนดโดยวิธีกำลังสองน้อยที่สุด

รูปก่อนหน้านี้แสดงฟังก์ชันที่เป็นไปได้และพารามิเตอร์ตลอดจนค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดที่มีค่าสูงมากถึง 99% สังเกตว่าข้อมูลเป็นไปตามความโค้งของเส้นแนวโน้ม

- ตัวอย่าง 3

การใช้ข้อมูลเดียวกันจากตัวอย่างที่ 1 และตัวอย่างที่ 2 ทำการพอดีกับพหุนามดีกรีที่สอง แสดงกราฟพหุนามพอดีและสัมประสิทธิ์การกำหนดที่สอดคล้องกันR ²

สารละลาย

รูปที่ 4. กราฟเฉลยแบบฝึกหัด 3. ที่มา: F. Zapata.

ด้วยความพอดีของพหุนามดีกรีที่สองคุณจะเห็นเส้นแนวโน้มที่พอดีกับความโค้งของข้อมูล นอกจากนี้ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดยังอยู่เหนือความพอดีเชิงเส้นและต่ำกว่าความพอดีที่เป็นไปได้

เปรียบเทียบพอดี

จากสามความพอดีที่แสดงสิ่งที่มีค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดสูงสุดคือความพอดีที่เป็นไปได้ (ตัวอย่างที่ 2)

ความพอดีที่เป็นไปได้เกิดขึ้นพร้อมกับทฤษฎีทางกายภาพของลูกตุ้มซึ่งเป็นที่ทราบกันดีว่าระยะเวลาของลูกตุ้มเป็นสัดส่วนกับรากที่สองของความยาวค่าคงที่ของสัดส่วนคือ2π / √gโดยที่ g คือความเร่งของแรงโน้มถ่วง

ความพอดีประเภทนี้ไม่เพียง แต่มีค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดสูงสุด แต่เลขชี้กำลังและค่าคงที่ของสัดส่วนตรงกับแบบจำลองทางกายภาพ

สรุปผลการวิจัย

- การปรับการถดถอยจะกำหนดพารามิเตอร์ของฟังก์ชันที่มีจุดมุ่งหมายเพื่ออธิบายข้อมูลโดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุด วิธีนี้ประกอบด้วยการลดผลรวมของความแตกต่างของกำลังสองระหว่างค่า Y การปรับปรุงและค่า Yi ของข้อมูลสำหรับค่า Xi ของข้อมูล สิ่งนี้กำหนดพารามิเตอร์ของฟังก์ชันการปรับแต่ง

- อย่างที่เราเห็นกันแล้วว่าฟังก์ชันการปรับค่าที่พบมากที่สุดคือเส้น แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันเดียวเนื่องจากการปรับเปลี่ยนยังสามารถเป็นพหุนามศักยภาพเลขชี้กำลังลอการิทึมและอื่น ๆ

- ไม่ว่าในกรณีใดค่าสัมประสิทธิ์ของการกำหนดจะขึ้นอยู่กับข้อมูลและประเภทของการปรับปรุงและเป็นตัวบ่งชี้ความดีของการปรับปรุงที่ใช้

สุดท้ายค่าสัมประสิทธิ์ของการกำหนดจะระบุเปอร์เซ็นต์ของความแปรปรวนทั้งหมดระหว่างค่า Y ของข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับค่าŶของการปรับปรุงสำหรับ X ที่กำหนด

อ้างอิง

1. González C. สถิติทั่วไป. กู้คืนจาก: tarwi.lamolina.edu.pe
2. IACS สถาบันวิทยาศาสตร์สุขภาพอาราโกเนส สืบค้นจาก: ics-aragon.com
3. Salazar C. และ Castillo S. หลักการพื้นฐานของสถิติ (2018) กู้คืนจาก: dspace.uce.edu.ec
4. Superprof ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด ดึงมาจาก: superprof.es
5. USAC คู่มือสถิติเชิงพรรณนา. (2011) ดึงมาจาก: statistics.ingenieria.usac.edu.gt.
6. วิกิพีเดีย ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด สืบค้นจาก: es.wikipedia.com.