สัจพจน์ความน่าจะเป็น: ประเภทคำอธิบายตัวอย่างแบบฝึกหัด - ดูดาส - 2026

สัจพจน์ของความน่าจะเป็นข้อเสนอทางคณิตศาสตร์หมายถึงทฤษฎีของความน่าซึ่งไม่ได้มีหลักฐานบุญ สัจพจน์ก่อตั้งขึ้นในปี 2476 โดย Andrei Kolmogorov นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย (1903-1987) ในทฤษฎีความน่าจะเป็นพื้นฐานและวางรากฐานสำหรับการศึกษาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับความน่าจะเป็น

เมื่อทำการทดลองแบบสุ่มξพื้นที่ตัวอย่าง E คือชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดสอบหรือที่เรียกว่าเหตุการณ์ เหตุการณ์ใด ๆ แสดงเป็น A และ P (A) คือความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้น จากนั้น Kolmogorov ก็จัดตั้งขึ้นว่า:

รูปที่ 1. สัจพจน์ของความน่าจะเป็นช่วยให้เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของการตีเกมแห่งโอกาสเช่นรูเล็ต ที่มา: Pixabay

- สัจพจน์ 1 (ไม่ใช่เชิงลบ) : ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ ที่เกิดขึ้นจะเป็นบวกหรือศูนย์เสมอ, P (A) ≥0 เมื่อความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็น 0 จะเรียกว่าเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้

- สัจพจน์ 2 (ความแน่นอน) : เมื่อใดก็ตามที่มีเหตุการณ์บางอย่างที่เป็นของ E ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นคือ 1 ซึ่งเราสามารถแสดงเป็น P (E) = 1 สิ่งนี้เรียกว่าเหตุการณ์หนึ่งเนื่องจากเมื่อทำการทดลองย่อมมีผลลัพธ์ที่แน่นอน

- สัจพจน์ 3 (นอกจากนี้) : ในกรณีของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้อย่างน้อยสองเหตุการณ์สองโดยสองเรียกว่า A ₁ , A ₂ , A ₃ … ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A ₁บวก A ₂บวก A _{3 จะ}เกิดขึ้นเป็นต้น ตามลำดับคือผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละสิ่งที่เกิดขึ้นแยกกัน

แสดงเป็น: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U …) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) + …

รูปที่ 2 Andrei Kolmogorov นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียที่น่าทึ่ง (1903-1987) ซึ่งเป็นผู้วางรากฐานสำหรับความน่าจะเป็นเชิงสัจพจน์ ที่มา: Wikimedia Commons

ตัวอย่าง

สัจพจน์ของความน่าจะเป็นถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในแอพพลิเคชั่นมากมาย ตัวอย่างเช่น:

หมุดหรือตะปูจะถูกโยนขึ้นไปในอากาศและเมื่อมันตกลงไปที่พื้นจะมีตัวเลือกในการลงจอดด้วยจุดขึ้น (U) หรือด้วยจุดลง (D) (เราจะไม่พิจารณาความเป็นไปได้อื่น ๆ ) พื้นที่ตัวอย่างสำหรับการทดสอบนี้ประกอบด้วยเหตุการณ์เหล่านี้ตามด้วย E = {U, D}

รูปที่ 3 ในการทดลองขว้างตะปูมีสองเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน: ลงจอดโดยให้จุดขึ้นหรือลงสู่พื้น ที่มา: Pixabay

โดยใช้สัจพจน์ที่เรามี:

หากมีแนวโน้มที่จะร่อนขึ้นหรือลงเท่า ๆ กัน P (U) = P (D) = ½ (ความจริง 1) อย่างไรก็ตามการสร้างและออกแบบเป๊กอาจทำให้มีโอกาสล้มไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ตัวอย่างเช่นอาจเป็นได้ว่า P (U) = ¾ในขณะที่ P (D) = ¼ (ความจริง 1)

โปรดสังเกตว่าในทั้งสองกรณีผลรวมของความน่าจะเป็นจะให้ 1 อย่างไรก็ตามสัจพจน์ไม่ได้ระบุวิธีกำหนดความน่าจะเป็นอย่างน้อยก็ไม่สมบูรณ์ แต่พวกเขาระบุว่าเป็นตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1 และในกรณีนี้ผลรวมของทั้งหมดคือ 1

วิธีกำหนดความน่าจะเป็น

สัจพจน์ของความน่าจะเป็นไม่ใช่วิธีการกำหนดมูลค่าของความน่าจะเป็น สำหรับสิ่งนี้มีสามตัวเลือกที่เข้ากันได้กับสัจพจน์:

กฎของ Laplace

แต่ละเหตุการณ์ได้รับการกำหนดความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นเท่ากันจากนั้นความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นจะถูกกำหนดเป็น:

ตัวอย่างเช่นความน่าจะเป็นของการวาดเอซจากสำรับไพ่ฝรั่งเศสคืออะไร? สำรับมีไพ่ 52 ใบชุดละ 13 ใบและมี 4 ชุด แต่ละชุดมี 1 เอซดังนั้นทั้งหมดจึงมี 4 เอซ:

P (เป็น) = 4/52 = 1/13

กฎของ Laplace จำกัด เฉพาะช่องว่างตัวอย่าง จำกัด ซึ่งแต่ละเหตุการณ์มีโอกาสเท่ากัน

ความถี่สัมพัทธ์

ที่นี่การทดสอบจะต้องทำซ้ำได้เนื่องจากวิธีนี้ขึ้นอยู่กับการทำซ้ำจำนวนมาก

มาทำให้การทดลองซ้ำกันξซึ่งเราพบว่า n คือจำนวนครั้งที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้นความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นคือ:

P (A) = แขน_{i →∞} (n / i)

โดยที่ n / i คือความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์

การกำหนด P (A) ด้วยวิธีนี้เป็นไปตามสัจพจน์ของ Kolmogorov แต่มีข้อเสียคือต้องทำการทดสอบหลายครั้งเพื่อความน่าจะเป็นที่เหมาะสม

วิธีอัตนัย

บุคคลหรือกลุ่มบุคคลสามารถตกลงที่จะกำหนดความน่าจะเป็นให้กับเหตุการณ์ได้โดยผ่านการตัดสินใจของตนเอง วิธีนี้มีข้อเสียตรงที่บุคคลต่างกันสามารถกำหนดความน่าจะเป็นที่แตกต่างกันให้กับเหตุการณ์เดียวกันได้

การออกกำลังกายได้รับการแก้ไข

ในการทดลองโยน 3 เหรียญซื่อสัตย์พร้อมกันรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่อธิบายไว้:

ก) 2 หัวและหาง

b) 1 หัวและสองหาง

c) 3 ไม้กางเขน

d) อย่างน้อย 1 ใบหน้า

วิธีแก้ปัญหา

หัวแสดงด้วย C และหางด้วย X แต่มีหลายวิธีที่จะได้รับสองหัวและหาง ตัวอย่างเช่นสองเหรียญแรกสามารถลงหัวได้และเหรียญที่สามสามารถลงสู่หางได้ หรือหัวแรกตกได้หางที่สองและหัวที่สาม และในที่สุดคนแรกสามารถเป็นหางและหัวที่เหลือได้

ในการตอบคำถามจำเป็นต้องรู้ความเป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งอธิบายไว้ในเครื่องมือที่เรียกว่าแผนภาพต้นไม้หรือต้นไม้แห่งความน่าจะเป็น:

รูปที่ 4. แผนผังต้นไม้สำหรับการโยนเหรียญซื่อสัตย์สามเหรียญพร้อมกัน ที่มา: F. Zapata

ความน่าจะเป็นที่เหรียญใด ๆ จะเป็นหัวคือ½เช่นเดียวกับก้อยเนื่องจากเหรียญมีความซื่อสัตย์ คอลัมน์ทางขวาแสดงรายการความเป็นไปได้ทั้งหมดที่การโยนมีนั่นคือพื้นที่ตัวอย่าง

จากพื้นที่ตัวอย่างชุดค่าผสมที่ตอบสนองต่อเหตุการณ์ที่ร้องขอจะถูกเลือกเนื่องจากลำดับที่ใบหน้าปรากฏไม่สำคัญ มีสามเหตุการณ์ที่ดี: CCX, CXC และ XCC ความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคือ:

P (CCX) = ½. ½ ½ = 1/8

เหตุการณ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นกับเหตุการณ์ CXC และ XCC แต่ละเหตุการณ์มีความน่าจะเป็น 1/8 ที่จะเกิดขึ้น ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ 2 หัวคือผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่น่าพอใจทั้งหมด:

P (2 ด้าน) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375

แนวทางแก้ไข b

การค้นหาความน่าจะเป็นที่จะเกิดการข้ามสองอันนั้นเป็นปัญหาที่คล้ายคลึงกับอันก่อนหน้านี้นอกจากนี้ยังมีเหตุการณ์ที่ดีสามอย่างที่นำมาจากพื้นที่ตัวอย่าง: CXX, XCX และ XXC ดังนั้น:

P (2 กากบาท) = 3/8 = 0.375

แนวทางแก้ไข c

โดยสัญชาตญาณเรารู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ 3 หาง (หรือ 3 หัว) นั้นต่ำกว่า ในกรณีนี้เหตุการณ์ที่ต้องการคือ XXX ที่ส่วนท้ายของคอลัมน์ทางขวาซึ่งความน่าจะเป็นคือ:

P (XXX) = ½. ½ ½ = 1/8 = 0.125

แนวทางแก้ไข d

ขอให้ได้ใบหน้าอย่างน้อย 1 ใบหน้าซึ่งหมายความว่า 3 ใบหน้า 2 ใบหน้าหรือ 1 ใบหน้าสามารถออกมาได้ เหตุการณ์เดียวที่เข้ากันไม่ได้กับเหตุการณ์นี้คือเหตุการณ์ที่ 3 หางออกมาซึ่งความน่าจะเป็นคือ 0.125 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ:

P (อย่างน้อย 1 หัว) = 1 - 0.125 = 0.875

อ้างอิง

1. Canavos, G. 1988. ความน่าจะเป็นและสถิติ: การประยุกต์ใช้และวิธีการ. McGraw Hill
2. Devore, J. 2012. ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์. 8 ฉบับ คลิกที่นี่
3. Lipschutz, S. 1991. ซีรี่ส์ Schaum: ความน่าจะเป็น. McGraw Hill
4. Obregón, I. 1989. ทฤษฎีความน่าจะเป็น. กองบรรณาธิการ Limusa
5. Walpole, R. 2007. ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์. เพียร์สัน