ARC (เรขาคณิต): การวัดประเภทของส่วนโค้งตัวอย่าง - เลข - 2026

โค้งในรูปทรงเรขาคณิตเป็นเส้นโค้งที่เชื่อมต่อสองจุด เส้นโค้งซึ่งแตกต่างจากเส้นตรงคือเส้นที่มีทิศทางแตกต่างกันในแต่ละจุด ตรงข้ามของส่วนโค้งคือส่วนเนื่องจากเป็นส่วนตรงที่รวมสองจุด

ส่วนโค้งที่ใช้บ่อยที่สุดในรูปทรงเรขาคณิตคือส่วนโค้งของเส้นรอบวง ส่วนโค้งอื่น ๆ ที่ใช้กันทั่วไป ได้แก่ โค้งพาราโบลาโค้งรูปไข่และซุ้มประตู รูปแบบโค้งมักใช้ในสถาปัตยกรรมเป็นองค์ประกอบตกแต่งและองค์ประกอบโครงสร้าง นี่คือกรณีของทับหลังของประตูและหน้าต่างเช่นเดียวกับของสะพานและท่อระบายน้ำ

รูปที่ 1 รุ้งคือเส้นโค้งที่เชื่อมจุดสองจุดบนขอบฟ้า ที่มา: Pixabay

ซุ้มประตูและขนาดของมัน

การวัดส่วนโค้งคือความยาวซึ่งขึ้นอยู่กับประเภทของเส้นโค้งที่เชื่อมต่อจุดทั้งสองและตำแหน่งของพวกเขา

ความยาวของส่วนโค้งวงกลมเป็นหนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณเนื่องจากทราบความยาวของส่วนโค้งหรือเส้นรอบวงที่สมบูรณ์ของเส้นรอบวง

เส้นรอบวงของวงกลมคือสอง pi คูณรัศมี: p = 2 π R เมื่อทราบสิ่งนี้หากเราต้องการคำนวณความยาว s ของส่วนโค้งวงกลมของมุมα (วัดเป็นเรเดียน) และรัศมี R จะใช้สัดส่วน:

(s / p) = (α / 2 π)

จากนั้นการล้าง s จากนิพจน์ก่อนหน้าและแทนที่ปริมณฑล p สำหรับนิพจน์เป็นฟังก์ชันของรัศมี R เรามี:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R

นั่นคือการวัดส่วนโค้งวงกลมคือผลคูณของการเปิดเชิงมุมคูณรัศมีของส่วนโค้งวงกลม

สำหรับซุ้มประตูโดยทั่วไปปัญหามีความซับซ้อนมากขึ้นจนถึงจุดที่นักคิดผู้ยิ่งใหญ่ในสมัยโบราณอ้างว่าเป็นงานที่เป็นไปไม่ได้

จนกระทั่งถึงการถือกำเนิดของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลในปี ค.ศ. 1665 ปัญหาในการวัดส่วนโค้งใด ๆ ก็ได้รับการแก้ไขอย่างน่าพอใจ

ก่อนที่จะมีการประดิษฐ์แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สามารถหาคำตอบได้โดยใช้เส้นหลายเหลี่ยมหรือส่วนโค้งของเส้นรอบวงที่ใกล้เคียงกับส่วนโค้งที่แท้จริง แต่คำตอบเหล่านี้ไม่แน่นอน

ประเภทของคันธนู

จากมุมมองของรูปทรงเรขาคณิตส่วนโค้งจะถูกจำแนกตามเส้นโค้งที่เชื่อมจุดสองจุดบนระนาบ มีการจำแนกประเภทอื่น ๆ ตามการใช้งานและรูปแบบสถาปัตยกรรม

ส่วนโค้งวงกลม

เมื่อเส้นที่เชื่อมต่อจุดสองจุดในระนาบเป็นส่วนหนึ่งของเส้นรอบวงของรัศมีหนึ่งเราจะมีส่วนโค้งวงกลม รูปที่ 2 แสดงส่วนโค้งวงกลม c ของรัศมี R จุดเชื่อมต่อ A และ B

รูปที่ 2. ส่วนโค้งวงกลม R ที่เชื่อมต่อจุด A และ B อธิบายโดย Ricardo Pérez

โค้งพาราโบลา

พาราโบลาคือเส้นทางที่ตามด้วยวัตถุที่ถูกเหวี่ยงไปในอากาศ เมื่อเส้นโค้งที่รวมจุดสองจุดเป็นพาราโบลาเราจะมีส่วนโค้งพาราโบลาเหมือนที่แสดงในรูปที่ 3

รูปที่ 3. จุดเชื่อมต่อส่วนโค้งพาราโบลา A และ B อธิบายโดย Ricardo Pérez

นี่คือรูปร่างของไอพ่นน้ำที่ออกมาจากท่อที่ชี้ขึ้น ส่วนโค้งพาราโบลาสามารถสังเกตได้ในแหล่งน้ำ

รูปที่ 4 โค้งพาราโบลาที่เกิดจากน้ำจากน้ำพุในเดรสเดน ที่มา: Pixabay

ซุ้มประตูรั้ว

ซุ้มประตูเป็นอีกหนึ่งซุ้มธรรมชาติ โซ่คือเส้นโค้งที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อโซ่หรือเชือกห้อยหลวม ๆ จากจุดสองจุดที่แยกจากกัน

รูปที่ 5. Catenary arch และเปรียบเทียบกับโค้งพาราโบลา จัดทำโดย Ricardo Pérez

catenary คล้ายกับพาราโบลา แต่ไม่เหมือนกับที่เห็นในรูปที่ 4

ซุ้มประตูแบบกลับด้านใช้ในสถาปัตยกรรมเป็นองค์ประกอบโครงสร้างที่มีกำลังรับแรงอัดสูง ในความเป็นจริงมันสามารถแสดงให้เห็นว่าเป็นธนูประเภทที่แข็งแกร่งที่สุดในบรรดารูปร่างที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ในการสร้างซุ้มประตูที่มั่นคงเพียงแค่คัดลอกรูปร่างของเชือกแขวนหรือโซ่จากนั้นก็พลิกรูปร่างที่คัดลอกมาเพื่อทำซ้ำบนทับหลังประตูหรือหน้าต่าง

โค้งรูปไข่

ส่วนโค้งเป็นวงรีถ้าเส้นโค้งที่เชื่อมต่อจุดสองจุดเป็นวงรี วงรีถูกกำหนดให้เป็นตำแหน่งของจุดที่ระยะทางถึงสองจุดที่กำหนดจะรวมกันเป็นปริมาณคงที่เสมอ

วงรีเป็นเส้นโค้งที่ปรากฏในธรรมชาติซึ่งเป็นเส้นโค้งของการโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ดังที่โจฮันเนสเคปเลอร์แสดงให้เห็นในปี 1609

ในทางปฏิบัติวงรีสามารถวาดได้โดยการตรึงเสาสองอันเข้ากับพื้นหรือหมุดสองอันในกระดาษแล้วผูกเชือกเข้ากับพวกมัน จากนั้นเชือกจะขันด้วยปากกามาร์คเกอร์หรือดินสอแล้วลากเส้นตามเส้นโค้ง วงรีชิ้นหนึ่งคือส่วนโค้งของวงรี ภาพเคลื่อนไหวต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าวงรีถูกวาดอย่างไร:

รูปที่ 5. การติดตามวงรีโดยใช้เชือกตึง ที่มา: Wikimedia Commons

รูปที่ 6 แสดงจุดเชื่อมต่อส่วนโค้งรูปไข่ G และ H

รูปที่ 6. ส่วนโค้งรูปไข่เชื่อมต่อสองจุด จัดทำโดย Ricardo Pérez

ตัวอย่างของซุ้มประตู

ตัวอย่างต่อไปนี้อ้างถึงวิธีการคำนวณขอบเขตของส่วนโค้งเฉพาะบางส่วน

ตัวอย่าง 1

รูปที่ 7 แสดงหน้าต่างที่ทำด้วยส่วนโค้งวงกลมที่ตัดแล้ว ขนาดที่แสดงในรูปเป็นฟุต หาความยาวของส่วนโค้ง

รูปที่ 7. การคำนวณความยาวของส่วนโค้งวงกลมของหน้าต่าง (คำอธิบายประกอบของตัวเอง - ภาพหน้าต่างบน Pixabay)

เพื่อให้ได้จุดศูนย์กลางและรัศมีของส่วนโค้งวงกลมของทับหลังหน้าต่างโครงสร้างต่อไปนี้ถูกสร้างขึ้นบนภาพ:

- ส่วน KL ถูกวาดและวาดเส้นแบ่งครึ่ง

- จากนั้นจุดสูงสุดของทับหลังจะอยู่ซึ่งเราเรียกว่า M.

จุดตัดของเส้นแบ่งสองเส้นคือจุด N และเป็นจุดศูนย์กลางของส่วนโค้งวงกลมด้วย

- ตอนนี้เราต้องวัดความยาวของส่วน NM ซึ่งตรงกับรัศมี R ของส่วนโค้งวงกลม: R = 2.8 ฟุต

- หากต้องการทราบความยาวของส่วนโค้งนอกเหนือจากรัศมีจำเป็นต้องทราบมุมที่ส่วนโค้งเกิดขึ้น ซึ่งสามารถกำหนดได้ด้วยสองวิธีไม่ว่าจะวัดด้วยไม้โปรแทรกเตอร์หรือจะคำนวณโดยใช้ตรีโกณมิติก็ได้

ในกรณีที่แสดงมุมที่เกิดจากส่วนโค้งคือ91.13ºซึ่งต้องแปลงเป็นเรเดียน:

91.13º = 91.13º * π / 180º = 1.59 เรเดียน

ในที่สุดเราก็คำนวณความยาว s ของส่วนโค้งโดยใช้สูตร s = α R

s = 1.59 * 2.8 ฟุต = 4.45 ฟุต

ตัวอย่าง 2

ค้นหาความยาวของส่วนโค้งรูปไข่ที่แสดงในรูปที่ 8 โดยทราบแกนกึ่งสำคัญ r และแกนกึ่งรอง s ของวงรี

รูปที่ 8. ส่วนโค้งรูปไข่ระหว่าง GH จัดทำโดย Ricardo Pérez

การหาความยาวของวงรีเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยากที่สุดในคณิตศาสตร์มาช้านาน คุณสามารถหาคำตอบที่แสดงโดยปริพันธ์รูปไข่ แต่หากต้องการให้มีค่าตัวเลขคุณต้องขยายปริพันธ์เหล่านี้ในอนุกรมกำลัง ผลลัพธ์ที่แน่นอนจะต้องมีเงื่อนไขที่ไม่สิ้นสุดของอนุกรมเหล่านั้น

โชคดีที่รามานุจันอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ชาวฮินดูซึ่งมีชีวิตอยู่ระหว่างปี พ.ศ. 2430 ถึง พ.ศ. 2463 พบสูตรที่ใกล้เคียงกับเส้นรอบวงของวงรี:

เส้นรอบวงของวงรีที่มี r = 3 ซม. และ s = 2.24 ซม. คือ 16.55 ซม. อย่างไรก็ตามส่วนโค้งรูปไข่ที่แสดงมีค่าครึ่งหนึ่ง:

ความยาวของซุ้มวงรี GH = 8.28 ซม.

อ้างอิง

1. Clemens S. 2008. เรขาคณิตและตรีโกณมิติ. การศึกษาของเพียร์สัน.
2. García F. ขั้นตอนตัวเลขใน Java ความยาวของวงรี กู้คืนจาก: sc.ehu.es
3. เรขาคณิตแบบไดนามิก โบว์ กู้คืนจาก geometriadinamica.es
4. Piziadas วงรีและพาราโบลารอบตัวเรา สืบค้นจาก: piziadas.com
5. วิกิพีเดีย Arch (เรขาคณิต) สืบค้นจาก: es.wikipedia.com