ANTIDERIVATIVE: สูตรและสมการตัวอย่างแบบฝึกหัด - เลข - 2026

ปฏิยานุพันธ์ F (x) ของฟังก์ชัน f (x) จะเรียกว่าดั้งเดิมหรือเพียงหนึ่งไม่แน่นอนของฟังก์ชั่นกล่าวว่าถ้าในช่วงเวลาที่กำหนดผมก็เป็นจริงที่ F'(x) = f (x)

ตัวอย่างเช่นลองใช้ฟังก์ชันต่อไปนี้:

f (x) = 4x ³

antiderivative ของฟังก์ชันนี้คือ F (x) = x ⁴เนื่องจากเมื่อแยกความแตกต่างของ F (x) โดยใช้กฎการอนุพันธ์ของอำนาจ:

เราได้รับอย่างแม่นยำ f (x) = 4x 3

อย่างไรก็ตามนี่เป็นเพียงหนึ่งในสารต่อต้านการแยกตัวของ f (x) เนื่องจากฟังก์ชันอื่น ๆ นี้: G (x) = x ⁴ + 2 ก็เช่นกันเนื่องจากเมื่อแยกความแตกต่างของ G (x) กับ x จะได้รับค่าเดียวกัน กลับ f (x)

มาดูกันเลย:

โปรดจำไว้ว่าที่มาของคงเป็น 0 ดังนั้นเราสามารถเพิ่มอย่างต่อเนื่องใด ๆกับคำ x ⁴และอนุพันธ์ของมันจะยังคงอยู่ 4x 3

สรุปได้ว่าฟังก์ชันใด ๆ ของรูปแบบทั่วไป F (x) = x ⁴ + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่จริงทำหน้าที่เป็นตัวต้านการผันแปรของ f (x)

ตัวอย่างภาพประกอบด้านบนสามารถแสดงได้ดังนี้:

dF (x) = 4x ³ dx

อินทิกรัล antiderivative หรือไม่กำหนดจะแสดงด้วยสัญลักษณ์∫ดังนั้น:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

โดยที่ฟังก์ชัน f (x) = 4x ³เรียกว่าอินทิแกรนด์และ C คือค่าคงที่ของการรวม

ตัวอย่างยาต้านไวรัส

รูปที่ 1 antiderivative ไม่มีอะไรมากไปกว่าอินทิกรัลที่ไม่มีกำหนด ที่มา: Pixabay

การค้นหา antiderivative ของฟังก์ชันนั้นตรงไปตรงมาในบางกรณีที่รู้จักกันดีในเรื่องอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่นให้ฟังก์ชัน f (x) = sin x ซึ่ง antiderivative เป็นฟังก์ชันอื่น F (x) ดังนั้นเมื่อแยกความแตกต่างเราจะได้ f (x)

ฟังก์ชันนั้นสามารถ:

F (x) = - เพราะ x

ตรวจสอบว่าเป็นจริง:

F´(x) = (- cos x) ´= - (-sen x) = บาป x

ดังนั้นเราสามารถเขียน:

∫sen x dx = -cos x + C

นอกเหนือจากการรู้อนุพันธ์แล้วยังมีกฎการรวมพื้นฐานและง่าย ๆ เพื่อค้นหาอินทิกรัลที่ต่อต้านหรือไม่กำหนด

ให้ k เป็นค่าคงที่จริงจากนั้น:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

ถ้าฟังก์ชัน h (x) สามารถแสดงเป็นการบวกหรือการลบของสองฟังก์ชันดังนั้นอินทิกรัลไม่ จำกัด ของมันคือ:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ±∫g (x) dx

นี่คือคุณสมบัติของความเป็นเส้นตรง

กฎแห่งอำนาจสำหรับปริพันธ์สามารถกำหนดได้ด้วยวิธีนี้:

สำหรับกรณีของ n = -1 จะใช้กฎต่อไปนี้:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าที่มาของ LN x เป็นอย่างแม่นยำ x -1

สมการเชิงอนุพันธ์

สมการเชิงอนุพันธ์คือหนึ่งในสมการที่ไม่รู้จักเป็นอนุพันธ์

ตอนนี้จากการวิเคราะห์ก่อนหน้านี้มันง่ายที่จะทราบว่าการดำเนินการผกผันกับอนุพันธ์คืออินทิกรัลแอนติเดอร์ไดเอทีฟหรืออินทิกรัลไม่ จำกัด

ให้ f (x) = y´(x) นั่นคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันหนึ่ง ๆ เราสามารถใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้เพื่อระบุอนุพันธ์นี้:

ทันทีตามนั้น:

ไม่ทราบสมการเชิงอนุพันธ์คือฟังก์ชัน y (x) ซึ่งมีอนุพันธ์คือ f (x) ในการแก้ปัญหานิพจน์ก่อนหน้านี้จะถูกรวมเข้ากับทั้งสองด้านซึ่งเทียบเท่ากับการใช้ antiderivative:

อินทิกรัลด้านซ้ายถูกแก้ไขโดยกฎการรวม 1 โดยมี k = 1 ดังนั้นการแก้ค่าที่ไม่รู้จักที่ต้องการ:

และเนื่องจาก C เป็นค่าคงที่จริงเพื่อให้ทราบว่าค่าใดเหมาะสมในแต่ละกรณีคำสั่งต้องมีข้อมูลเพิ่มเติมเพียงพอที่จะคำนวณค่าของ C ซึ่งเรียกว่าเงื่อนไขเริ่มต้น

เราจะดูตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทั้งหมดนี้ในหัวข้อถัดไป

แบบฝึกหัด Antiderivative

- แบบฝึกหัด 1

ใช้กฎการรวมเพื่อรับ antiderivatives ต่อไปนี้หรืออินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชันที่กำหนดทำให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้นมากที่สุด สะดวกในการตรวจสอบผลลัพธ์โดยการหามา

รูปที่ 2 แบบฝึกหัดของ antiderivatives หรือปริพันธ์ที่แน่นอน ที่มา: Pixabay

วิธีแก้ปัญหา

เราใช้กฎ 3 ก่อนเนื่องจาก integrand เป็นผลรวมของสองคำ:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

สำหรับอินทิกรัลแรกจะใช้กฎอำนาจ:

∫ DX = (x ² /2) + C ₁

ในกฎอินทิกรัลที่สอง 1 ถูกนำไปใช้โดยที่ k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

และตอนนี้ผลลัพธ์จะถูกเพิ่ม ค่าคงที่ทั้งสองถูกจัดกลุ่มเป็นหนึ่งโดยทั่วไปเรียกว่า C:

∫ (x + 7) = DX (x ² /2) + 7x + C

แนวทางแก้ไข b

โดยความเป็นเชิงเส้นอินทิกรัลนี้จะถูกย่อยสลายออกเป็นปริพันธ์ที่ง่ายกว่าสามตัวซึ่งจะใช้กฎกำลัง:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

โปรดทราบว่าค่าคงที่ของการรวมจะปรากฏขึ้นสำหรับอินทิกรัลแต่ละตัว แต่จะพบกันในการเรียกครั้งเดียว C

แนวทางแก้ไข c

ในกรณีนี้สะดวกในการใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณเพื่อพัฒนาอินทิแกรนด์ จากนั้นกฎกำลังจะถูกใช้เพื่อค้นหาอินทิกรัลแต่ละรายการแยกกันเช่นเดียวกับในแบบฝึกหัดก่อนหน้านี้

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

ผู้อ่านที่ระมัดระวังจะทราบว่าคำศัพท์กลางทั้งสองมีความคล้ายคลึงกันดังนั้นจึงลดลงก่อนที่จะรวมเข้าด้วยกัน:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

แนวทางแก้ไข e

วิธีหนึ่งในการแก้อินทิกรัลคือการพัฒนากำลังดังที่ทำในตัวอย่างง. อย่างไรก็ตามเนื่องจากเลขชี้กำลังสูงกว่าจึงขอแนะนำให้เปลี่ยนตัวแปรเพื่อไม่ให้ต้องทำการพัฒนาที่ยาวนานเช่นนี้

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรมีดังนี้:

คุณ = x + 7

รับนิพจน์นี้ทั้งสองด้าน:

du = dx

อินทิกรัลถูกเปลี่ยนเป็นตัวแปรใหม่ที่ง่ายกว่าซึ่งแก้ไขได้ด้วยกฎอำนาจ:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

ในที่สุดการเปลี่ยนแปลงจะถูกส่งกลับเพื่อกลับไปยังตัวแปรดั้งเดิม:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- แบบฝึกหัด 2

เริ่มแรกอนุภาคจะหยุดนิ่งและเคลื่อนที่ไปตามแกน x ความเร่งสำหรับ t> 0 ถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน a (t) = cos t เป็นที่ทราบกันดีว่าที่ t = 0 ตำแหน่งคือ x = 3 ทั้งหมดอยู่ในหน่วยของระบบระหว่างประเทศ ระบบจะขอให้หาความเร็ว v (t) และตำแหน่ง x (t) ของอนุภาค

สารละลาย

เนื่องจากความเร่งเป็นอนุพันธ์แรกของความเร็วเทียบกับเวลาเราจึงมีสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้:

a (t) = v´(t) = cos t

เป็นไปตามนั้น:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

ในทางกลับกันเรารู้ว่าความเร็วอยู่ในทางกลับกันอนุพันธ์ของตำแหน่งดังนั้นเราจึงรวมกันใหม่:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

ค่าคงที่ของการรวมถูกกำหนดจากข้อมูลที่ระบุในคำสั่ง ในตอนแรกมันบอกว่าอนุภาคอยู่ในช่วงแรกดังนั้น v (0) = 0:

v (0) = บาป 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

จากนั้นเรามี x (0) = 3:

x (0) = - เพราะ 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

ฟังก์ชั่นความเร็วและตำแหน่งเป็นเช่นนี้:

v (t) = บาป t

x (t) = - cos t + 4

อ้างอิง

1. Engler, A. 2019. แคลคูลัสเชิงปริพันธ์. มหาวิทยาลัยแห่งชาติ Litoral
2. Larson, R. 2010. การคำนวณตัวแปร. 9 ฉบับ McGraw Hill
3. ตำราคณิตศาสตร์ฟรี ปฏิยานุพันธ์ ดึงมาจาก: math.liibretexts.org.
4. วิกิพีเดีย ปฏิยานุพันธ์ สืบค้นจาก: en.wikipedia.org.
5. วิกิพีเดีย บูรณาการไม่แน่นอน สืบค้นจาก: es.wikipedia.org.