พื้นฐานของอวัยวะปกติ: คุณสมบัติตัวอย่างและแบบฝึกหัด - กายภาพ - 2025

orthonormal พื้นฐานจะเกิดขึ้นกับเวกเตอร์ตั้งฉากกับแต่ละอื่น ๆ และมีโมดูลัสยังเป็นที่ 1 (หน่วยเวกเตอร์) ขอให้เราจำไว้ว่าฐาน B ในปริภูมิเวกเตอร์ V ถูกกำหนดให้เป็นชุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นที่สามารถสร้างช่องว่างดังกล่าวได้

ในทางกลับกันปริภูมิเวกเตอร์เป็นเอนทิตีทางคณิตศาสตร์นามธรรมซึ่งมีองค์ประกอบเป็นเวกเตอร์โดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับปริมาณทางกายภาพเช่นความเร็วแรงและการกระจัดหรือยังกับเมทริกซ์พหุนามและฟังก์ชัน

รูปที่ 1. ฐานปกติในระนาบ ที่มา: Wikimedia Commons Quartl

เวกเตอร์มีองค์ประกอบที่แตกต่างกันสามประการ ได้แก่ ขนาดหรือโมดูลัสทิศทางและความรู้สึก พื้นฐานออร์โธนอลมีประโยชน์อย่างยิ่งในการแสดงและดำเนินการกับพวกมันเนื่องจากเวกเตอร์ใด ๆ ที่เป็นของเวกเตอร์สเปซ V บางตัวสามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่สร้างพื้นฐานออร์ ธ อนตามปกติได้

ด้วยวิธีนี้การดำเนินการระหว่างเวกเตอร์เช่นการบวกการลบและผลิตภัณฑ์ประเภทต่างๆที่กำหนดไว้ในช่องว่างดังกล่าวจะถูกดำเนินการเชิงวิเคราะห์

ในบรรดาฐานที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในฟิสิกส์คือฐานที่ประกอบขึ้นจากเวกเตอร์หน่วยi , jและkซึ่งแสดงถึงทิศทางที่แตกต่างกันสามทิศทางของปริภูมิสามมิติ ได้แก่ ความสูงความกว้างและความลึก เวกเตอร์เหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าเวกเตอร์บัญญัติหน่วย

หากใช้เวกเตอร์ในระนาบแทนกันส่วนประกอบสองในสามส่วนนี้ก็เพียงพอแล้วในขณะที่เวกเตอร์หนึ่งมิติจำเป็นต้องใช้เพียงตัวเดียว

คุณสมบัติของฐาน

1- A ฐาน B เป็นชุดเวกเตอร์ที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้ที่สร้างพื้นที่เวกเตอร์ V

2- องค์ประกอบของ B เป็นอิสระเชิงเส้น

3- ฐาน B ใด ๆ ของเวกเตอร์สเปซ V อนุญาตให้แสดงเวกเตอร์ทั้งหมดของ V เป็นการรวมเชิงเส้นของมันและรูปแบบนี้จะไม่ซ้ำกันสำหรับเวกเตอร์แต่ละตัว ด้วยเหตุนี้ B จึงเรียกอีกอย่างว่าระบบสร้าง

4- ปริภูมิเวกเตอร์เดียวกัน V อาจมีฐานต่างกัน

ตัวอย่างของฐาน

นี่คือตัวอย่างหลายประการของฐานและฐานปกติทั่วไป:

หลักบัญญัติในℜ

นอกจากนี้ยังเรียกว่าฐานธรรมชาติหรือฐานมาตรฐานℜ ⁿที่ℜ ⁿเป็นพื้นที่ n มิติเช่นพื้นที่สามมิติเป็นℜ 3 ค่าของ n เรียกว่ามิติของปริภูมิเวกเตอร์และแสดงเป็นสลัว (V)

เวกเตอร์ทั้งหมดที่เป็นของℜ ⁿแสดงโดย n-ads ตามลำดับ สำหรับช่องว่างℜ ⁿพื้นฐานที่ยอมรับคือ:

จ₁ = <1,0,. . . , 0>; จ₂ = <0.1,. . . , 0>; …… .. จ_n = <0.0,. . . , 1>

ในตัวอย่างนี้เราได้ใช้สัญกรณ์กับวงเล็บหรือ "วงเล็บ" และตัวหนาสำหรับเวกเตอร์หน่วยe ₁ , e ₂ , e ₃ …

หลักบัญญัติในℜ

เวกเตอร์ที่คุ้นเคยi , jและkยอมรับการเป็นตัวแทนเดียวกันและทั้งสามก็เพียงพอที่จะแสดงเวกเตอร์ในℜ ³ :

ฉัน = <1,0,0>; ญ = <0,1,0>; k = <0,0,1>

หมายความว่าฐานสามารถแสดงได้ดังนี้:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

เพื่อตรวจสอบว่าเป็นอิสระเชิงเส้นดีเทอร์มิแนนต์ที่สร้างขึ้นพร้อมกับพวกเขาจะไม่เป็นศูนย์และเท่ากับ 1:

นอกจากนี้ยังต้องสามารถเขียนเวกเตอร์ใด ๆ ที่เป็นของ belong ³เป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ได้ ตัวอย่างเช่นแรงที่มีส่วนประกอบเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า F _x = 4 N, F _y = -7 N และ F _z = 0 N จะเขียนในรูปแบบเวกเตอร์ดังนี้:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N

ดังนั้นฉัน , JและKทำขึ้นระบบเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของℜ 3

ฐานปกติอื่น ๆ ในℜ

ฐานมาตรฐานที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้านี้ไม่ได้เป็นเพียงฐาน orthonormal ในℜ 3 ที่นี่เรามีตัวอย่างฐาน:

B ₁ = {; <- บาปθ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

สามารถแสดงให้เห็นว่าฐานเหล่านี้เป็นสิ่งปกติสำหรับสิ่งนี้เราจำเงื่อนไขที่ต้องปฏิบัติตาม:

- เวกเตอร์ที่สร้างฐานจะต้องตั้งฉากกัน

- แต่ละคนต้องรวมกัน

เราสามารถตรวจสอบได้โดยรู้ว่าดีเทอร์มิแนนต์ที่สร้างขึ้นต้องไม่ใช่ศูนย์และเท่ากับ 1

ฐาน B ₁คือพิกัดทรงกระบอกρ, φและ z ซึ่งเป็นอีกวิธีหนึ่งในการแสดงเวกเตอร์ในอวกาศ

รูปที่ 2. พิกัดทรงกระบอก ที่มา: Wikimedia Commons นักคณิตศาสตร์

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- แบบฝึกหัด 1

แสดงว่าฐาน B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>} คือ orthonormal

สารละลาย

เพื่อแสดงว่าเวกเตอร์ตั้งฉากกันเราจะใช้ผลคูณสเกลาร์หรือที่เรียกว่าผลคูณภายในหรือจุดของเวกเตอร์สองตัว

ให้เวกเตอร์สองตัวuและvผลิตภัณฑ์ดอทถูกกำหนดโดย:

คุณ • v = uv cosθ

ในการแยกแยะเวกเตอร์ของโมดูลเราจะใช้ตัวหนาสำหรับตัวอักษรตัวแรกและตัวอักษรปกติสำหรับตัวที่สอง θคือมุมระหว่างuและvดังนั้นถ้าพวกมันตั้งฉากกันแสดงว่าθ = 90ºและผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์

หรืออีกวิธีหนึ่งหากกำหนดเวกเตอร์ในรูปของส่วนประกอบ: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z > ผลคูณสเกลาร์ของทั้งสองซึ่งเป็นการสับเปลี่ยนจะคำนวณด้วยวิธีนี้:

u • v = u _x .v _x + u _y .v _y + u _z .v _z

ด้วยวิธีนี้ผลคูณสเกลาร์ระหว่างเวกเตอร์แต่ละคู่มีดังนี้:

ผม) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0.0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

สำหรับเงื่อนไขที่สองโมดูลของแต่ละเวกเตอร์จะถูกคำนวณซึ่งได้มาจาก:

│u│ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ² )

ดังนั้นโมดูลของแต่ละเวกเตอร์คือ:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0.1> │ = √ = 1

ดังนั้นทั้งสามจึงเป็นเวกเตอร์หน่วย สุดท้ายดีเทอร์มิแนนต์ที่พวกมันก่อตัวขึ้นไม่เป็นศูนย์และเท่ากับ 1:

- แบบฝึกหัด 2

เขียนพิกัดของเวกเตอร์w = <2, 3,1> ในแง่ของฐานด้านบน

สารละลาย

ในการทำสิ่งนี้จะใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ + … < w • v _n > v _n

ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเขียนเวกเตอร์ในฐาน B โดยใช้สัมประสิทธิ์ < w • v ₁ >, < w • v ₂ >, … < w • v _n > ซึ่งเราต้องคำนวณผลคูณสเกลาร์ที่ระบุ:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

เมื่อได้ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เมทริกซ์จะถูกสร้างขึ้นเรียกว่าเมทริกซ์พิกัด w

ดังนั้นพิกัดของเวกเตอร์wในฐาน B จึงแสดงโดย:

_B =

เมทริกซ์พิกัดไม่ใช่เวกเตอร์เนื่องจากเวกเตอร์ไม่เหมือนกับพิกัด นี่เป็นเพียงชุดของตัวเลขที่แสดงเวกเตอร์ในฐานที่กำหนดเท่านั้นไม่ใช่เวกเตอร์ดังกล่าว นอกจากนี้ยังขึ้นอยู่กับฐานที่เลือก

สุดท้ายตามทฤษฎีบทเวกเตอร์wจะแสดงดังนี้:

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

ด้วย: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; v ₃ = <0,0,1>} นั่นคือเวกเตอร์ของฐาน B

อ้างอิง

1. Larson, R. รากฐานของพีชคณิตเชิงเส้น 6 ฉบับ การเรียนรู้ Cengage
2. Larson, R. 2006. แคลคูลัส. 7 ฉบับ เล่ม 2 McGraw Hill.
3. Salas, J. Linear Algebra. หน่วยการเรียนรู้ที่ 10 ฐานปกติ กู้คืนจาก: ocw.uc3m.es.
4. มหาวิทยาลัยเซบีญ่า พิกัดทรงกระบอก. ฐานเวกเตอร์ ดึงมาจาก: laplace.us.es.
5. วิกิพีเดีย ฐานปกติ สืบค้นจาก: es.wikipedia.org.