สเกลลีนสี่เหลี่ยมคางหมู: คุณสมบัติสูตรและสมการตัวอย่าง - เลข - 2025

สี่เหลี่ยมคางหมูย้วยเป็นเหลี่ยมสี่ด้านสองซึ่งจะขนานกับแต่ละอื่น ๆ และกับสี่มุมภายในของมาตรการที่แตกต่างกัน

ABCD รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแสดงด้านล่างโดยที่ด้าน AB และ DC ขนานกัน นี่ก็เพียงพอแล้วสำหรับมันที่จะเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู แต่มุมภายในα, β, γและδก็แตกต่างกันทั้งหมดดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูจึงเป็นย้วย

รูปที่ 1. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโดยเงื่อนไขที่ 1 และสเกลโดยเงื่อนไข 2 ที่มา: F. Zapata

องค์ประกอบของเกล็ดคางหมู

นี่คือองค์ประกอบที่มีลักษณะเฉพาะที่สุด:

- ฐานและด้านข้าง: ด้านที่ขนานกันของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือฐานของมันและด้านที่ไม่ขนานกันสองด้านคือด้านข้าง

ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่ย้อยฐานจะมีความยาวต่างกันและฐานด้านข้างก็เช่นกัน อย่างไรก็ตามรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่ย้อยสามารถมีความยาวด้านข้างเท่ากับฐานได้

-Median:เป็นส่วนที่รวมจุดกึ่งกลางของด้านข้าง

-Diagonals:เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือส่วนที่เชื่อมจุดยอดสองจุดที่ตรงกันข้ามกัน รูปสี่เหลี่ยมคางหมูก็เหมือนรูปสี่เหลี่ยมทุกด้านมีสองเส้นทแยงมุม ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูย้อยมีความยาวต่างกัน

รูปสี่เหลี่ยมคางหมูอื่น ๆ

นอกจากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่ย้วยแล้วยังมีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูอื่น ๆ อีก ได้แก่ รูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้านขวาและรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเมื่อมุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมฉากในขณะที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีด้านยาวเท่ากัน

รูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูมีการใช้งานมากมายในระดับการออกแบบและอุตสาหกรรมเช่นในการกำหนดปีกเครื่องบินรูปร่างของสิ่งของในชีวิตประจำวันเช่นโต๊ะหลังเก้าอี้บรรจุภัณฑ์กระเป๋าพิมพ์สิ่งทอและอื่น ๆ

รูปที่ 2. รูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูมีอยู่ทั่วไปในโครงปีกของเครื่องบิน ที่มา: Wikimedia Commons

คุณสมบัติ

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูมีการระบุไว้ด้านล่างซึ่งหลายอย่างขยายไปถึงรูปสี่เหลี่ยมคางหมูประเภทอื่น ๆ ในสิ่งต่อไปนี้เมื่อพูดถึง "สี่เหลี่ยมคางหมู" คุณสมบัติจะนำไปใช้กับประเภทใดก็ได้รวมทั้งย้อย

1. ค่ามัธยฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนั่นคือส่วนที่รวมจุดกึ่งกลางของด้านที่ไม่ขนานกันขนานกับฐานใด ๆ

2.- ค่ามัธยฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูมีความยาวเท่ากับเซมิซัมของฐานและตัดเส้นทแยงมุมที่จุดกึ่งกลาง

3.- เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่จุดที่แบ่งพวกมันออกเป็นสองส่วนที่เป็นสัดส่วนกับผลหารของฐาน

4.- ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านข้างบวกผลคูณสองของฐาน

5.- ส่วนที่รวมจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมมีความยาวเท่ากับผลต่างครึ่งหนึ่งของฐาน

6.- มุมที่อยู่ติดกับด้านข้างเป็นส่วนเสริม

7. - ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูย้อยความยาวของเส้นทแยงมุมจะแตกต่างกัน

8.- สี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นรอบวงที่จารึกไว้ก็ต่อเมื่อผลรวมของฐานเท่ากับผลรวมด้านข้าง

9.- ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นรอบวงที่จารึกไว้แล้วมุมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางของเส้นรอบวงดังกล่าวและด้านข้างที่ผ่านปลายด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูจะตรง

10. - รูปสี่เหลี่ยมคางหมูไม่มีเส้นรอบวงที่มีเส้นรอบวงซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูชนิดเดียวที่เป็นหน้าจั่ว

สูตรและสมการ

ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่ย้วยจะถูกอ้างถึงดังรูปต่อไปนี้

1.- ถ้า AE = ED และ BF = FC → EF - AB และ EF - DC

2. - EF = (AB + DC) / 2 นั่นคือ: m = (a + c) / 2

3. DI = IB = d ₁ /2 = เอจี GC = d ₂ /2

4.- DJ / JB = (c / a) ในทำนองเดียวกัน CJ / JA = (c / a)

รูปที่ 3. ค่ามัธยฐานและเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสเกลน ที่มา: F. Zapata

5. - DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

เทียบเท่า:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6. - GI = (AB - DC) / 2

กล่าวคือ:

n = (ก - ค) / 2

7. - α + δ = 180⁰และβ + γ = 180⁰

8.- ถ้าα≠β≠γ≠δแล้ว d1 ≠ d2

9.- รูปที่ 4 แสดงรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีเส้นรอบวงจารึกไว้ในกรณีนี้มันเป็นความจริงที่ว่า:

a + c = d + b

10.- ใน ABCD สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีเส้นรอบวงที่จารึกไว้ของศูนย์ O สิ่งต่อไปนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

รูปที่ 4 หากในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้รับการตรวจสอบแล้วว่าผลรวมของฐานเท่ากับผลรวมของฐานด้านข้างแสดงว่ามีเส้นรอบวงจารึกอยู่ในนั้น ที่มา: F. Zapata

ความสูง

ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูถูกกำหนดให้เป็นส่วนที่ไปจากจุดหนึ่งของฐานที่ตั้งฉากกับฐานตรงข้าม (หรือส่วนขยาย)

ความสูงทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูมีการวัด h เท่ากันดังนั้นส่วนใหญ่แล้วความสูงของคำจะหมายถึงการวัด ในระยะสั้นความสูงคือระยะห่างหรือการแยกระหว่างฐาน

ความสูง h สามารถกำหนดได้โดยการทราบความยาวของด้านหนึ่งและมุมใดมุมหนึ่งที่อยู่ติดกับด้านข้าง:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

ค่ามัธยฐาน

หน่วยวัด m ของค่ามัธยฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือผลกึ่งรวมของฐาน:

ม = (a + b) / 2

เส้นทแยงมุม

วันที่₁ = √

วันที่₂ = √

นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณได้หากทราบเฉพาะความยาวของด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู:

วันที่₁ = √

วันที่₂ = √

ปริมณฑล

เส้นรอบวงคือความยาวทั้งหมดของรูปร่างนั่นคือผลรวมของทุกด้าน:

P = a + b + c + d

พื้นที่

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือเซมิซัมของฐานคูณด้วยความสูง:

A = h ∙ (a + b) / 2

นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณได้หากทราบค่ามัธยฐาน m และความสูง h:

ก = ม. ∙ชม

ในกรณีที่ทราบเฉพาะความยาวของด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเท่านั้นพื้นที่สามารถกำหนดได้โดยใช้สูตรของ Heron สำหรับรูปสี่เหลี่ยมคางหมู:

A = ∙√

เซมิเปอร์มิเตอร์อยู่ที่ไหน: s = (a + b + c + d) / 2

อัตราส่วนอื่น ๆ สำหรับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเกล็ด

จุดตัดของค่ามัธยฐานกับเส้นทแยงมุมและเส้นขนานที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมก่อให้เกิดความสัมพันธ์อื่น ๆ

รูปที่ 5. ความสัมพันธ์อื่น ๆ สำหรับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเกล็ด ที่มา: F. Zapata

- ความสัมพันธ์สำหรับค่ามัธยฐาน EF

EF = (a + c) / 2; เช่น = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

- ความสัมพันธ์สำหรับส่วนขนานกับฐาน KL และผ่านจุดตัดกัน J ของเส้นทแยงมุม

ถ้า KL - AB - DC กับ J ∈ KL ดังนั้น KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

การสร้างรูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยไม้บรรทัดและเข็มทิศ

กำหนดฐานของความยาว a และ c โดยที่ a> cy ที่มีด้านของความยาว b และ d โดยที่ b> d ให้ดำเนินการตามขั้นตอนเหล่านี้ (ดูรูปที่ 6):

1.- ด้วยกฎส่วนของ AB หลักจะถูกดึงออกมา

2.- จาก A se และบนเครื่องหมาย AB จุด P เพื่อให้ AP = c

3.- ด้วยเข็มทิศที่มีศูนย์กลางใน P และรัศมี d จะมีการวาดส่วนโค้ง

4.- จุดศูนย์กลางอยู่ที่ B โดยมีรัศมี b วาดส่วนโค้งที่สกัดกั้นส่วนโค้งที่วาดในขั้นตอนก่อนหน้า เราเรียก Q จุดตัด

รูปที่ 6 การสร้างรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่ย้อยให้ด้านข้าง ที่มา: F. Zapata

5.- ด้วยจุดศูนย์กลางที่ A วาดส่วนโค้งของรัศมี d

6.- ด้วยจุดศูนย์กลางที่ Q ให้วาดส่วนโค้งของรัศมี c ที่สกัดกั้นส่วนโค้งที่วาดในขั้นตอนก่อนหน้า จุดตัดจะเรียกว่า R

7.- ส่วน BQ, QR และ RA วาดด้วยไม้บรรทัด

8.- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABQR เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเนื่องจาก APQR เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งรับประกันว่า AB - QR

ตัวอย่าง

ความยาวต่อไปนี้กำหนดเป็นซม.: 7, 3, 4 และ 6

a) ตรวจสอบว่าพวกเขาสามารถสร้างรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่สามารถล้อมรอบวงกลมได้หรือไม่

b) ค้นหาเส้นรอบวงพื้นที่ความยาวของเส้นทแยงมุมและความสูงของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูดังกล่าวรวมทั้งรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

- วิธีแก้ปัญหา

การใช้ส่วนของความยาว 7 และ 3 เป็นฐานและส่วนที่มีความยาว 4 และ 6 เป็นด้านข้างสามารถสร้างรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้โดยใช้ขั้นตอนที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า

ยังคงต้องตรวจสอบว่ามีเส้นรอบวงที่จารึกไว้หรือไม่ แต่การจดจำคุณสมบัติ (9):

เราเห็นว่ามีประสิทธิภาพ:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

จากนั้นสภาพการดำรงอยู่ของเส้นรอบวงที่จารึกไว้ก็เป็นที่พอใจ

- แนวทางแก้ไขข

ปริมณฑล

เส้นรอบวง P หาได้จากการเพิ่มด้านข้าง เนื่องจากฐานรวมกันได้ถึง 10 และด้านข้างด้วยเส้นรอบวงคือ:

P = 20 ซม

พื้นที่

ในการกำหนดพื้นที่ซึ่งรู้จักเฉพาะด้านข้างความสัมพันธ์จะถูกนำไปใช้:

A = ∙√

เซมิเปอร์มิเตอร์อยู่ที่ไหน:

s = (a + b + c + d) / 2.

ในกรณีของเราเซมิเปอร์มิเตอร์มีค่า s = 10 ซม. หลังจากแทนที่ค่าตามลำดับ:

a = 7 ซม. b = 6 ซม. c = 3 ซม. d = 4 ซม

ยังคงอยู่:

A = √ = (5/2) √63 = 19.84 ซม. ²

ความสูง

ความสูง h สัมพันธ์กับพื้นที่ A ตามนิพจน์ต่อไปนี้:

A = (a + c) ∙ h / 2 ซึ่งสามารถรับความสูงได้โดยการล้าง:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19.84 / 10 = 3.988 ซม.

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้เท่ากับครึ่งหนึ่งของความสูง:

r = h / 2 = 1,984 ซม

เส้นทแยงมุม

ในที่สุดเราก็พบความยาวของเส้นทแยงมุม:

วันที่₁ = √

วันที่₂ = √

แทนที่ค่าที่เรามีอย่างเหมาะสม:

วันที่₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

วันที่₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

นั่นคือ d ₁ = 4.69 ซม. และ d ₂ = 8.49 ซม

รูปที่ 7 สเกลลีนสี่เหลี่ยมคางหมูที่ตรงตามเงื่อนไขของการมีอยู่ของเส้นรอบวงที่จารึกไว้ ที่มา: F. Zapata

การออกกำลังกายได้รับการแก้ไข

กำหนดมุมภายในของสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยฐาน AB = a = 7, CD = c = 3 และมุมด้านข้าง BC = b = 6, DA = d = 4

สารละลาย

สามารถใช้ทฤษฎีบทโคไซน์เพื่อกำหนดมุมได้ ตัวอย่างเช่นมุม∠A = αถูกกำหนดจากรูปสามเหลี่ยม ABD ด้วย AB = a = 7, BD = d2 = 8.49 และ DA = d = 4

ทฤษฎีบทโคไซน์ที่ใช้กับสามเหลี่ยมนี้มีลักษณะดังนี้:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α) นั่นคือ:

72 = 49 + 16-56 ∙คอส (α)

ในการหาค่าโคไซน์ของมุมαจะได้รับ:

คอส (α) = -1/8

นั่นคือα = ArcCos (-1/8) = 97.18⁰

มุมอื่น ๆ จะได้รับในลักษณะเดียวกันค่าของพวกเขาคือ:

β = 41.41⁰; γ = 138.59⁰และสุดท้ายδ = 82.82⁰

อ้างอิง

1. CEA (2003) องค์ประกอบเรขาคณิต: พร้อมแบบฝึกหัดและเรขาคณิตของเข็มทิศ มหาวิทยาลัย Medellin
2. Campos, F. , Cerecedo, FJ (2014). คณิตศาสตร์ 2. Grupo Editorial Patria.
3. อิสระ, K. (2550). ค้นพบรูปหลายเหลี่ยม Benchmark Education Company.
4. เฮนดริก, V. (2013). รูปหลายเหลี่ยมทั่วไป Birkhäuser
5. IGER. (เอสเอฟ) คณิตศาสตร์ภาคเรียนที่ 1 Tacaná IGER.
6. เรขาคณิตจูเนียร์ (2014) รูปหลายเหลี่ยม Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren และ Hornsby (2549). คณิตศาสตร์: การใช้เหตุผลและการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่สิบ). การศึกษาของเพียร์สัน.
8. ปาติโญ, ม. (2549). คณิตศาสตร์ 5. บรรณาธิการ Progreso.
9. วิกิพีเดีย ราวสำหรับออกกำลังกาย. สืบค้นจาก: es.wikipedia.com