การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง: คุณสมบัติการใช้งานตัวอย่าง - เลข - 2025

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องเป็นวิธีการเชิงตัวเลขที่ใช้ในการกำหนดตัวอย่างที่อ้างถึงความถี่สเปกตรัมที่ประกอบเป็นสัญญาณ ศึกษาการทำงานเป็นระยะในพารามิเตอร์แบบปิดโดยให้สัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องอื่นเป็นผล

เพื่อให้ได้การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องของจุด N บนสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องต้องปฏิบัติตามเงื่อนไข 2 ข้อต่อไปนี้บนลำดับ x

TDF

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องสามารถกำหนดเป็นการสุ่มตัวอย่างจุด N ของการแปลงฟูริเยร์

การตีความการแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่อง

ที่มา: Pexels

มีมุมมอง 2 มุมมองซึ่งผลลัพธ์ที่ได้จากลำดับ x _sสามารถตีความผ่านการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง

- ครั้งแรกสอดคล้องกับสัมประสิทธิ์สเปกตรัมซึ่งรู้จักกันแล้วจากอนุกรมฟูริเยร์ มันเป็นที่สังเกตในระยะสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องกับกลุ่มตัวอย่างประจวบกับลำดับ x s

-The ข้อเสนอที่สองกับสเปกตรัมของสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องสม่ำเสมอโดยมีตัวอย่างที่สอดคล้องกับลำดับ x s

การแปลงแบบไม่ต่อเนื่องเป็นการประมาณสเปกตรัมของสัญญาณอนาล็อกดั้งเดิม ระยะของมันขึ้นอยู่กับอินสแตนซ์การสุ่มตัวอย่างในขณะที่ขนาดของมันขึ้นอยู่กับช่วงการสุ่มตัวอย่าง

คุณสมบัติ

พื้นฐานทางพีชคณิตของโครงสร้างประกอบขึ้นเป็นเหตุผลสำหรับส่วนต่อไปนี้

ความเป็นเส้นตรง

ค. S _n →ค. ฉ; หากลำดับคูณด้วยสเกลาร์การแปลงก็จะเป็นเช่นกัน

T _n + V _n = F + F; การแปลงผลรวมเท่ากับผลรวมของการแปลง

ความเป็นคู่

F → (1 / N) S _-k; หากการแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องคำนวณใหม่เป็นนิพจน์ที่เปลี่ยนไปแล้วจะได้นิพจน์เดียวกันปรับขนาดเป็น N และกลับด้านตามแกนแนวตั้ง

การแปลง

ตามวัตถุประสงค์ที่คล้ายคลึงกันในการแปลงลาปลาซการแปลงฟังก์ชันหมายถึงผลิตภัณฑ์ระหว่างการแปลงฟูเรียร์ของพวกเขา Convolution ยังใช้กับเวลาที่ไม่ต่อเนื่องและรับผิดชอบต่อกระบวนการที่ทันสมัยหลายอย่าง

X _n * R _n → F .F; การแปลงคอนโวลูชั่นเท่ากับผลคูณของการแปลง

X _n . R _n → F * F; การเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์จะเท่ากับคอนโวลูชั่นของการแปลง

การกำจัด

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) กม.} ; หากลำดับล่าช้าโดยตัวอย่าง m ผลกระทบต่อการแปลงแบบไม่ต่อเนื่องจะเป็นการปรับเปลี่ยนมุมที่กำหนดโดย (2π / N) กม.

สมมาตร

X _{เสื้อ} = X * _t = X _t

การมอดูเลต

W ^-nm N x ↔ X _t

สินค้า

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

สมมาตร

X ↔ X _t = X * _t

ผัน

x * ↔ X * _t

สมการแยกวิเคราะห์

ในส่วนที่เกี่ยวกับการแปลงฟูเรียร์แบบเดิมนั้นมีความเหมือนและความแตกต่างหลายประการ การแปลงฟูเรียร์จะแปลงลำดับเป็นเส้นทึบ ด้วยวิธีนี้จึงกล่าวได้ว่าผลลัพธ์ของตัวแปรฟูริเยร์เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรจริง

การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องไม่เหมือนกับการรับสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องและแปลงเป็นสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องอื่นนั่นคือลำดับ

การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องมีไว้เพื่ออะไร?

พวกเขาทำหน้าที่หลักเพื่อทำให้สมการง่ายขึ้นอย่างมากในขณะที่เปลี่ยนนิพจน์ที่ได้รับมาเป็นองค์ประกอบของพลัง การแสดงนิพจน์ที่แตกต่างในรูปแบบพหุนามเชิงปริพันธ์

ในการเพิ่มประสิทธิภาพการมอดูเลตและการสร้างแบบจำลองของผลลัพธ์จะทำหน้าที่เป็นนิพจน์มาตรฐานซึ่งเป็นแหล่งข้อมูลที่ใช้บ่อยสำหรับงานวิศวกรรมหลังจากหลายชั่วอายุคน

ที่มา: pixabay

ประวัติศาสตร์

แนวคิดทางคณิตศาสตร์นี้ได้รับการแนะนำโดย Joseph B.Fourier ในปีพ. ศ. 2354 ในขณะที่พัฒนาบทความเกี่ยวกับการแพร่กระจายของความร้อน ได้รับการนำไปใช้อย่างรวดเร็วโดยสาขาวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมต่างๆ

มันถูกจัดตั้งขึ้นเพื่อเป็นเครื่องมือในการทำงานหลักในการศึกษาสมการกับอนุพันธ์บางส่วนแม้กระทั่งการเปรียบเทียบกับความสัมพันธ์ของงานที่มีอยู่ระหว่างการแปลงลาปลาซกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

ทุกฟังก์ชันที่สามารถทำงานร่วมกับการแปลงฟูริเยร์ต้องแสดงค่าว่างนอกพารามิเตอร์ที่กำหนด

การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องและการผกผัน

การแปลงแบบไม่ต่อเนื่องได้มาจากนิพจน์:

หลังจากกำหนดลำดับ X ที่ไม่ต่อเนื่อง

การผกผันของการแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องถูกกำหนดผ่านนิพจน์:

ย้อนกลับ PTO

เมื่อการแปลงแบบไม่ต่อเนื่องสำเร็จจะอนุญาตให้กำหนดลำดับในโดเมนเวลา X

มีปีก

กระบวนการพารามีทรีเซชันที่สอดคล้องกับการแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องอยู่ในหน้าต่าง ในการแปลงร่างเราต้อง จำกัด ลำดับให้ทันเวลา ในหลายกรณีสัญญาณที่เป็นปัญหาไม่มีข้อ จำกัด เหล่านี้

ลำดับที่ไม่ตรงตามเกณฑ์ขนาดที่จะใช้กับการแปลงแบบไม่ต่อเนื่องสามารถคูณด้วยฟังก์ชัน "หน้าต่าง" V ซึ่งกำหนดลักษณะการทำงานของลำดับในพารามิเตอร์ที่ควบคุม

X. วี

ความกว้างของสเปกตรัมจะขึ้นอยู่กับความกว้างของหน้าต่าง เมื่อความกว้างของหน้าต่างเพิ่มขึ้นการเปลี่ยนแปลงที่คำนวณจะแคบลง

การประยุกต์ใช้งาน

การคำนวณวิธีแก้ปัญหาพื้นฐาน

การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการศึกษาลำดับแบบไม่ต่อเนื่อง

การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องจะแปลงฟังก์ชันตัวแปรต่อเนื่องเป็นการแปลงตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่อง

ปัญหา Cauchy สำหรับนำเสนอสมการความร้อนสนามบ่อยของการประยุกต์ใช้ที่ไม่ต่อเนื่องฟูเรียร์ ที่ฟังก์ชันหลักของความร้อนหรือแกน Dirichlet ถูกสร้างขึ้นซึ่งใช้กับค่าการสุ่มตัวอย่างในพารามิเตอร์ที่กำหนด

ทฤษฎีสัญญาณ

เหตุผลทั่วไปสำหรับการประยุกต์ใช้การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องในสาขานี้ส่วนใหญ่เกิดจากลักษณะการสลายตัวของสัญญาณเป็นการซ้อนทับที่ไม่มีที่สิ้นสุดของสัญญาณที่รักษาได้ง่ายกว่า

อาจเป็นคลื่นเสียงหรือคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าการแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องจะแสดงออกในรูปคลื่นที่เรียบง่ายซ้อนทับกัน การแสดงนี้ค่อนข้างบ่อยในวิศวกรรมไฟฟ้า

อนุกรมฟูริเยร์

เป็นอนุกรมที่กำหนดในรูปแบบของโคไซน์และไซน์ พวกเขาทำหน้าที่อำนวยความสะดวกในการทำงานกับฟังก์ชันประจำงวดทั่วไป เมื่อนำไปใช้เป็นส่วนหนึ่งของเทคนิคการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

อนุกรมฟูเรียร์มีความกว้างมากกว่าอนุกรมเทย์เลอร์เนื่องจากมีการพัฒนาฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องเป็นระยะซึ่งไม่มีการแสดงอนุกรมเทย์เลอร์

อนุกรมฟูริเยร์ในรูปแบบอื่น ๆ

เพื่อทำความเข้าใจการแปลงฟูริเยร์ในเชิงวิเคราะห์สิ่งสำคัญคือต้องทบทวนวิธีอื่น ๆ ที่สามารถหาอนุกรมฟูริเยร์ได้จนกว่าเราจะสามารถกำหนดอนุกรมฟูริเยร์ในสัญกรณ์ที่ซับซ้อนได้

-Fourier series ในฟังก์ชันของคาบเวลา 2L:

มีการพิจารณาช่วงเวลาซึ่งมีข้อดีเมื่อใช้ประโยชน์จากลักษณะสมมาตรของฟังก์ชัน

ถ้า f เท่ากันอนุกรมฟูเรียร์จะถูกกำหนดเป็นอนุกรมของโคไซน์

ถ้า f เป็นเลขคี่อนุกรมฟูริเยร์จะถูกสร้างเป็นอนุกรมของไซน์

- สัญกรณ์ที่ซับซ้อนของอนุกรมฟูริเยร์

หากเรามีฟังก์ชัน f (t) ซึ่งตรงตามข้อกำหนดทั้งหมดของอนุกรมฟูริเยร์เป็นไปได้ที่จะแสดงเป็นช่วงเวลาโดยใช้สัญกรณ์ที่ซับซ้อน:

ตัวอย่าง

เกี่ยวกับการคำนวณวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานจะมีตัวอย่างต่อไปนี้:

ในทางกลับกันต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องในด้านทฤษฎีสัญญาณ:

- ปัญหาการระบุระบบ ก่อตั้ง f และ g

- ปัญหาเกี่ยวกับความสอดคล้องของสัญญาณเอาต์พุต

- ปัญหาเกี่ยวกับการกรองสัญญาณ

การออกกำลังกาย

แบบฝึกหัด 1

คำนวณการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องสำหรับลำดับต่อไปนี้

คุณสามารถกำหนด PTO ของ x เป็น:

X _t = {4, -j2, 0, j2} สำหรับ k = 0, 1, 2, 3

แบบฝึกหัด 2

เราต้องการที่จะตรวจสอบสัญญาณสเปกตรัมที่กำหนดโดยการแสดงออก x (t) = อี^-tผ่านขั้นตอนวิธีดิจิตอล โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์การร้องขอความถี่สูงสุดคือ f _m = 1Hz ฮาร์มอนิกสอดคล้องกับ f = 0.3 Hz ข้อผิดพลาดถูก จำกัด ให้น้อยกว่า 5% คำนวณ f _s , D และ N

คำนึงถึงทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่าง f _s = 2f _m = 2 Hz

เลือกความละเอียดความถี่ f ₀ = 0.1 Hz ซึ่งเราได้รับ D = 1 / 0.1 = 10s

0.3 Hz คือความถี่ที่สอดคล้องกับดัชนี k = 3 โดยที่ N = 3 × 8 = 24 ตัวอย่าง ระบุว่า f _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2

เนื่องจากจุดมุ่งหมายคือเพื่อให้ได้ค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้สำหรับ N ค่าต่อไปนี้จึงถือได้ว่าเป็นโซลูชัน:

f ₀ = 0.3 เฮิรตซ์

D = 1 / 0.3 = 3.33 วินาที

k = 1

N = 1 × 8 = 8

อ้างอิง

1. การเรียนรู้การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องในมิติเดียวสองหรือหลายมิติ: หลุมพรางและสิ่งประดิษฐ์ ไอแซคท่ามกลางความหวาดกลัว Springer Science & Business Media 19 ก.ค. พ.ศ. 2556
2. DFT: คู่มือสำหรับเจ้าของสำหรับการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง วิลเลียมแอล. บริกส์แวนเอ็มเดนเฮนสัน สยาม 1 ม.ค. 1995
3. การประมวลผลสัญญาณดิจิทัล: ทฤษฎีและการปฏิบัติ ง. สุนทราจารย์. วิทยาศาสตร์โลก, 2546
4. แปลงและอัลกอริทึมที่รวดเร็วสำหรับการวิเคราะห์สัญญาณและการเป็นตัวแทน กั๋วอันบี, หย่งหงเซิง. Springer Science & Business Media, 6 ธ.ค. 2555
5. การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง: การวิเคราะห์การใช้งานและอัลกอริทึมที่รวดเร็ว เอลินอร์ชู. CRC Press 19 มี.ค. 2008